2.1命题、定理、定义 小练习（含解析）

2.1　命题、定理、定义小练习
一、 单项选择题
1. “红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思”．这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是(　　)
A. 红豆生南国 B. 春来发几枝
C. 愿君多采撷 D. 此物最相思　
2. 下列命题中，是假命题的有(　　)
A. 若x∈A，则x∈A∩BB. 若x∈A∩B，则x∈A
C. 若x∈A∩B，则x∈A∪BD. 若x∈A，则x∈A∪B
3. 关于区间M＝(a，＋∞)，有下列四个命题：
甲：小于1的数都不在区间M内乙：区间M内不存在两个数互为倒数
丙：区间M内存在小于1的数丁：区间M内每个数的平方都大于它本身
如果只有一个假命题，则该命题是(　　)
A.甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁　
4. 若命题“关于x的方程ax2＋4x＋1＝0有两个不等实数根”为真命题，则实数a的取值范围是　(　　)
A. (－∞，4)B. (－∞，4]
C. (－∞，0)∪(0，4)D. (－∞，0)∪(0，4]　
二、 多项选择题
5. 下列命题中，是真命题的有(　　)
A. 集合{x|x2＋2x＋1＝0}有两个子集
B. 若a∈N，则－a N　
C. 集合里面有6个元素
D. 平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合可以表示为{(x，y)|xy<0}
6. 下列命题中，是真命题的有(　　)
A. 若|a|＝|b|，则a＝bB. 若A＝60°，则cosA＝
C. 若xy＝0，则|x|＋|y|＝0D. 菱形的对角线互相垂直
三、 填空题
7. 命题“若x<0，则x≤0”是________命题．(填“真”或“假”)
8. 已知命题“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”，则条件p：______________，结论q：____________；是________命题．(填“真”或“假”)
四、 解答题
9. 将下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
(1) 等腰三角形底边上的中线垂直于底边并且平分顶角；
(2) 二次函数的图象关于y轴对称；
(3) 已知x，y∈N*，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；
(4) 当m＞时，方程mx2－x＋1＝0无实数根；
10. 设全集U=R,集合A={x|1≤x≤5},集合B={x|a+2≤x≤2a+1},其中a∈R．若A∩B= 是真命题，求实数a的取值范围．
参考答案
一、 单项选择题
1. “红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思”．这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是(　　)
A. 红豆生南国 B. 春来发几枝
C. 愿君多采撷 D. 此物最相思　
【解析】“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.
2. 下列命题中，是假命题的有(　　)
A. 若x∈A，则x∈A∩BB. 若x∈A∩B，则x∈A
C. 若x∈A∩B，则x∈A∪BD. 若x∈A，则x∈A∪B　
【解析】对于A，若x∈A，x可能不属于B，故A错误；对于B，若x∈A∩B，则x是集合A和B的公共元素，那么x∈A，故B正确；对于C，若x∈A∩B，则x∈A∪B，故C正确；对于D，若x∈A，则x∈A∪B，故D正确．故选A.
3. 关于区间M＝(a，＋∞)，有下列四个命题：
甲：小于1的数都不在区间M内乙：区间M内不存在两个数互为倒数
丙：区间M内存在小于1的数丁：区间M内每个数的平方都大于它本身
如果只有一个假命题，则该命题是(　　)
A.甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁　
【解析】由题意得，根据甲和丙两个命题可知甲和丙互相矛盾，故两个命题必然一真一假．又因为只有一个假命题，所以乙和丁都为真命题．根据乙和丁可知M＝(a，＋∞) (1，＋∞)，故丙为假命题．故选C.
4. 若命题“关于x的方程ax2＋4x＋1＝0有两个不等实数根”为真命题，则实数a的取值范围是　(　　)
A. (－∞，4)B. (－∞，4]
C. (－∞，0)∪(0，4)D. (－∞，0)∪(0，4]　
【解析】由题意知，解得a<4，且a≠0.故选C.
二、 多项选择题
5. 下列命题中，是真命题的有(　　)
A. 集合{x|x2＋2x＋1＝0}有两个子集
B. 若a∈N，则－a N
C. 集合里面有6个元素
D. 平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合可以表示为{(x，y)|xy<0}　
【解析】对于A，{x|x2＋2x＋1＝0}＝{－1}，则有2个子集，故A正确；对于B，当a＝0∈N，则－a＝0∈N，故B错误；对于C，的自然数元素有1，2，3，4，6，12，而，，…∈共有无数个元素，故C错误；对于D，若点坐标为(x，y)，则第二象限内的点有x<0，y>0，第四象限内的点有x>0，y<0，故第二、四象限内的点的集合可以表示为{(x，y)|xy<0}，故D正确．故选AD.
6. 下列命题中，是真命题的有(　　)
A. 若|a|＝|b|，则a＝bB. 若A＝60°，则cosA＝
C. 若xy＝0，则|x|＋|y|＝0D. 菱形的对角线互相垂直　
【解析】对于A，因为|a|＝|b|，所以a＝b或a＝－b，故A错误；对于B，cos60°＝，故B正确；对于C，若x＝3，y＝0，则xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故C错误；对于D，菱形的对角线一定互相垂直，故D正确．故选BD.
三、 填空题
7. 命题“若x<0，则x≤0”是________命题．(填“真”或“假”)　
【解析】因为“x≤0”等价于“x<0或x＝0”，若“x<0”为真，则“x<0或x＝0”，即“x≤0”为真，所以“若x<0，则x≤0”是真命题．故答案为：真
8. 已知命题“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”，则条件p：______________，结论q：____________；是________命题．(填“真”或“假”)
答案为：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0　有两个不相等的实数根　假
四、 解答题
9. 将下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
(1) 等腰三角形底边上的中线垂直于底边并且平分顶角；
(2) 二次函数的图象关于y轴对称；
(3) 已知x，y∈N*，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；
(4) 当m＞时，方程mx2－x＋1＝0无实数根；
【解析】(1) 若一个三角形是等腰三角形，则其底边上的中线垂直于底边且平分顶角．真命题．
(2) 若一个函数是二次函数，则它的图象关于y轴对称．假命题．
(3) 已知x，y∈N*，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2.假命题．
(4) 若m＞，则方程mx2－x＋1＝0无实数根．真命题．
10. 设全集U=R,集合A={x|1≤x≤5},集合B={x|a+2≤x≤2a+1},其中a∈R．若A∩B= 是真命题，求实数a的取值范围．
【解析】若B= ，则满足A∩B= 是真命题，此时有2a+1当时解得a∈ .综上可得实数的取值范围是a<1或a3.