正方形导学案
学习目标
1. 掌握正方形的概念、性质。
2. 运用正方形的性质进行有关的论证和计算。
重点与难点
重点：掌握正方形的概念、性质。 难点：运用正方形的性质进行有关的论证和计算。
学习过程
任务一：（一）、自主学习
1、有一组_______相等并且有一个角是________的平行四边形叫做正方形。
有一个角是________的菱形叫做正方形；一组________相等的矩形叫做正方形。
2、正方形既是_____，又是_____，所以它具有_____ 和 _____ 的性质：
（1）正方形的四个角都是_____ ，四条边都 _____ ；
（2）正方形的对角线_____且 ________，每条对角线平分__________；
（3）正方形是_______图形，____________的交点是它的对称中心；
（4）正方形是_______图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴。如上图，画出该正方形的对称轴。
3、正方形ABCD的对角线把它分成了____个三角形，它们是_____三角形，它们全等吗？请简单说明理由_________ ________。
（二）、问题探究（小组交流合作并展示归纳）
1、正方形具有而一般菱形不具有的性质是 （ ）
A. 四条边都相等 B. 对角线互相垂直平分
C. 对角线相等 D. 每一条对角线平分一组对角
2、正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是 （ ）
A. 四个角相等 B. 四条边相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等
3、已知一个正方形的边长为2cm，则对角线长为______。如果对角线长为2cm，则它的边长为_______。
5、若正方形的一条对角线长为4cm，则正方形的周长为______，面积为________；对角线的交点到边的距离为_______。
6、顺次连接正方形各边中点，得4个等腰直角三角形，则每个小三角形的面积为原正方形面积的______ 。
7、如图，四边形ABCD是正方形，∠CAB是多少度？为什么？至少用两种方法说明理由。
任务二、（一）自主学习
正方形的判定方法
（1）有一组_____________的矩形是正方形。（2）有一个_____的菱形是正方形。
注：判定正方形的一般顺序：先证明它是平行四边形→再证明它是菱形（或矩形）→最后证明它是正方形。
（二）、问题探究
如图，已知E、F、G、H分别是正方形ABCD四条边上的点，且
AE＝BF＝CG＝DH。求证：四边形EFGH为正方形。
（三）巩固练习
1、下列说法中错误的是（ ）
A、对角线相等的菱形是正方形 B、有一组邻边相等的矩形是正方形
C、四条边都相等的四边形是正方法 D、有一个角为直角的菱形是正方形
2、已知四边形两对角线：①互相垂直；②相等；③互相平分。具备条件____可得平行四边形；具备条件_______可得矩形；具备条件_______ 可得是菱形；具备条件________可得正方形。（填序号）
3、已知四边形ABCD是菱形，当满足条件_________时，它成为正方形(填上你认为正确的一个条件即可).
课堂小结：本节课你学会了什么？还有什么疑问？
课堂检测
1、下列判断正确的是（ ）
A、四边相等的四边形是正方形 B、四个角相等的四边形是正方形C、对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形
3、正方形是轴对称图形，它的对称轴有____条，正方形也中心对称图形，它的对称中心是________。
4、已知一正方形的对角线长为6cm，则它的边长为_______。
5、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别是E，F。求证：（1）四边形CFDE是平行四边形。
（2）四边形CFDE是矩形或菱形（任选一项）。
（3）四边形CFDE是正方形。
5、选择题
（1）正方形的边和对角线构成的等腰直角三角形共有（ ）
A、4个 B、6个 C、8个 D、10个
（2）如图，在正方形ABCD中，∠DAE＝25°，AE交对角线BD于E点，
那么∠BEC等于（ ）
A、45° B、60° C、70° D、75°
（3）如图，在正方形ABCD中作等边△AEF，则∠AFD的度数为（ ）
A、40° B、75° C、50° D、55°
6、如图，在正方形ABCD是，E为对角线AC上一点，连结EB、ED。
（1）求证：△BEC≌△DEC。
（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°，求∠AFE的度数。
效果检测
1、在箭头上填上适当的条件
（ ） （ ）
2、在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，当有_________________条件时，可判定它是正方形。
3、如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点，EF⊥BC于F，EG⊥CD于G。
（1）证明：四边形EFCG是正方形
（2）如果AC＝6cm，AE＝2EC，求四边形EFCG的面积。
第19章 平行四边形的认识
§19.2 矩形、菱形与正方形的性质
课时三 正方形的性质
【学习目标】
会归纳正方形的特性并进行证明.
能运用正方形的性质定理进行简单的计算与证明.
【课前导习】
1. 有一个角是 的菱形，用几何语言表述为：
如图，在菱形中，若 = ，则四边形是正方形.
2. 有一组邻边 的矩形，用几何语言表述为：
如图，在矩形中， = ，则四边形是正方形.
3. 在下列图中，有多少个正方形?有多少个矩形?
（１） （２）
4. 已知正方形ABCD的边AB长2cm，这个正方形的周长是 对角线长是
面积是 ．
【主动探究】
正方形是特殊的 ，特殊的 ， 特殊的 ，
所以正方形具有平行四边形、菱形和矩形的所有性质。
对称性：正方形是 对称图形，也是 对称图形.
边： .
角： .
对角线: .
例题讲解
例1如图，在正方形 ABCD 中，求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度数．
【当堂训练】
1. 在下列性质中，平行四边形具有的是__________，矩形具有的是_________，菱形具有的是__________，正方形具有的是____________。
①四边都相等；②对角线互相平分；③对角线相等；④对角线互相垂直；
⑤四个角都是直角；⑥每条对角线平分一组对角；⑦对边相等且平行；
2.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上的一点，且CE=AC，AE交CD于点F，
则∠E=▁▁▁，∠AFD=▁▁▁；
3. 如图，正方形的边长为，分别交于点，在上任取两点，那么图中阴影部分的面积是 ．
4. 如图,正方形ABCD中,点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论:
（1）∠E=22.5°； (2) ∠AFC=112.5°； (3) ∠ACE=135°；（4）AC=CE；(5) AD∶CE=1∶. 其中正确的有（ ）
A．5个 B.4个 C.3个 D.2个
5．如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）
A．3cm B.4cm C.5cm D.6cm
【回学反馈】
1.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F，
(1) 若E是BC的中点，求证：OE=OF.
(2)若正方形A′B′C′D′绕点O旋转某个角度后，OE=OF吗？两正方形重合部分的面积怎样变化？为什么？
由（1）（2）可以得到什么结论？
第19章 平行四边形的认识
§19.2 矩形、菱形与正方形的性质
课时二 菱形的性质
【学习目标】
了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；
掌握菱形的性质，并能运用菱形的性质进行简单的计算；
【课前导习】
1.菱形是 的平行四边形，用几何语言表述为：
如图，在中，若AB BC，则四边形是菱形.
2.菱形的四条边都 ，用几何语言表述为：
在菱形中 ，
3.菱形的对角线 ，并且 用几何语言表述为：在菱形中，
4. 如图，已知菱形ABCD的边AB长5cm，一条对角线ＡＣ长6cm，
则这个菱形的周长是 ，它的面积是 ．
【主动探究】
试一试
将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢?
概括
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
菱形是特殊的平行四边形，所以平行四边形所有的性质，菱形都具有.
对称性： 菱形是 图形，也是 图形，对称轴为 ．
边： 菱形的四条边都 ．
对角线： 菱形的对角线 ，并且每一条对角线平分 ．
菱形的面积计算公式：① S=底×高
② S=对角线乘积的一半
例题讲解
例1如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，试求出∠B的度数，并说明△ABC是等边三角形．
例2如图，已知菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD＝120°，对角线AC、BD相交于点O，试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长．
【当堂训练】
1. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5， OA＝4，则菱形的周长是 AC= BD= ．
（第1题） （第2题） （第3题）
2. 如图，已知菱形ABCD的边AB长5cm，一条对角线ＡＣ长6cm，则菱形的周长是
面积是 ．
3．如图，已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD分别长6cm和8cm，则菱形的周长是
面积是 ．
4.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是________和________．
5.若菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8．则菱形的高为________．
6．如果菱形的周长为8.4cm，相邻两角之比为5：1，那么菱形的一组对边之间的距离为（ ） A．4.2cm B．2.1cm C．1.05cm D．0.525cm 7．如图，已知菱形ABCD的一条对角线BD恰好与其边AB的长相等，
求这个菱形的各个内角的度数．
【回学反馈】
1.如图,3个全等的菱形构成的木制活动衣帽架,顶点A、E、F、G、H处是下、下两排挂钩,根据需要可以改变挂钩间的距离并在点B、M处固定.已知菱形ABCD的边长为13cm,要使挂钩A、C之间的距离为24cm,求B、M间的距离.
2.操作题：你能把有一个内角为72°的菱形ABCD分成4个等腰三角形.
