第四章 指数与对数 复习讲义（含解析）

编号：021 课题: §4 指数与对数复习
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
理解并掌握指、对数的概念；
理解并掌握指、对数的运算性质；
本节重点难点
重点：指、对数的运算性质；
难点：实际问题中的指、对数运算．
学科素养目标
本章旨在学习指数与对数的基本概念及运算性质，通过对具体数式的分析，使学生体会分数指数幂、对数的概念和意义，掌握有理指数幂、对数的运算性质. 根式、分数指数幂、对数都是具体的对应法则，是学习指数函数、幂函数、对数函数的基础，应讲清、讲透．学生在初中学习了数的开平方、开立方、二次根式、整数指数幂的意义及运算法则．有了这些知识作准备，教科书通过实际问题引出了分数指数幂，说明了扩张指数取值范围的必要性，由此先将平方根与立方根的概念扩充到n次方根，将二次根式扩充到一般根式，进一步探究了分数指数幂及其运算性质，通过一个实例介绍有理指数幂逼近无理指数幂，从而将指数的范围扩充到实数．这很好地体现了承上启下的作用，不仅可以加深与巩固对初中所学知识，而且为高中后期学习指数函数与对数函数知识埋下伏笔.
教学过程
知识结构简图
基础知识积累
1. n次方根
一般地,如果,那么称为的次方根.可用下表表示:
n为奇数 n为偶数
a∈R a>0 a=0 a<0
_________________ ______________ x=0 不存在
2.根式
(1)式子叫作根式,n叫作根指数,a叫作被开方数.
(2)性质:当时,
①;
②
3.分数指数幂的意义(a>0,m,n均为正整数)
正分数指数幂 ____________
负分数指数幂
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
4.有理数指数幂的运算性质()
(1). (2).
(3).
5. 对数的概念
(1)定义:一般地,如果,那么就称b是以a为底N的对数,记作
___________,其中,a叫作对数的底数,N叫作真数.
(2)特殊对数:
常用对数:以10为底,记作___________;
自然对数:以e为底,记作__________.
(3)指数与对数的关系:
当, _______________.
6.对数的性质
(1)负数和0没有对数;
(2) ;
(3) .
7.对数恒等式
.
8. 对数的运算性质
(1)性质:
如果,那么
①积的对数:;
②商的对数:;
③幂的对数:.
(2)本质:正用是将积、商、幂的对数进行拆分计算;逆用是将同底数对数的和、差分别合并成积、商计算,数与对数的乘积转化成幂的对数计算.
(3)应用:广泛用于对数式的化简求值中,解决对数式的计算问题.
9.换底公式
(1)公式:.
(2)本质:将对数的底数换成任意大于零,且不等于1的实数.
(3)应用:将底数换成10或e,即将任意对数运算统一为常用对数或自然对数进行计算.
【课堂题组训练】
题1. 用分数指数幂表示为(　　)
A． B．
C． D．都不对
题2．已知a＝lg 2，10b＝3，则log56＝(　　)
A． B．
C． D．
题3．已知lg 2≈0.301 0，由此可以推断22 014是________位整数．(　　)
A．605 B．606 C．607 D．608
题4．已知2log2x＝log7y，且x＝14，则xy的值是(　　)
A．98 B．49 C．28 D．14
题5．化简(其中a＞0，b＞0)的结果是(　　)
A． B．－
C． D．－
题6．对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提高计算速度和准确度．已知M＝{1，3}，N＝{1，3，5，7，9}，若从集合M，N中各任取一个数x，y，则log3(xy)为整数的个数为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
题7．化简(a2－2＋a－2)÷(a2－a－2)的结果为(　　)
A．1 B．－1
C． D．
题8．中国的5G技术世界领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2(1＋)，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变信道带宽W，而将信噪比从1 000提升至5 000，则C大约增加了____(附：lg 2≈0.301 0)(　　)
A．20% B．23% C．28% D．50%
题9（多选题）．已知－1≤x＋y≤1，1≤x－y≤3，则8x·()y可能取到的值是(　　)
A．1 B．132 C．16.5 D．102
题10（多选题）．正实数x，y满足xlg yylg x＝100，则xy的可能取值是(　　)
A．0.000 5 B．200
C．6 D．e
题11（多选题）．已知某抽气机每次可抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.2%，则可以抽的次数是(参考数据：lg 2≈0.301)(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
题12（多选题）．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布的数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则与t*值的差的绝对值不超过2的值为____(ln 19≈3)(　　)
A．60 B．65 C．66 D．69
题13（多选题）．下列根式与分数指数幂的互化中正确的有 (　 　)
A.=-(x≠0) B.=(x>0)
C.=(x>0,y>0) D.=
题14（多选题）．下列各式正确的有 (　 　)
A．lg (lg 10)＝0 B．lg (ln e)＝0 C．若10＝lg x，则x＝10 D．若log25x＝，则x＝±5．
题15．(1)化简：··(xy)－1(xy≠0)＝____________；
(2)计算：＋＋－·＝____________．
题16．已知log5[log2(4lg x)]＝0，则x的值为____________．
题17．已知实数x，y满足(x＋2y)3＋x3＋2x＋2y＝0，则lg (x＋y＋1)＝____________．
题18．已知x＞0且x≠1，y＞0且y≠1，方程组的解为或，则lg (x1x2y1y2)＝____________．
题19．解方程：2x＋1·＋22x·＝5.
题20．设logac，logbc是方程x2－3x＋1＝0的两根，求logc的值．
题21．(1)已知x＝a－3＋b－2，化简.
(2)设a＋b＝4，x＝a＋3ab，y＝b＋3ab，求(x＋y)＋(x－y)的值．
题22．令P＝80.25×＋()－(－2 018)0，Q＝2log32－log3＋log38.
(1)分别求P和Q.
(2)若2a＝5b＝m，且＋＝Q，求m.
编号：021 课题: §4 指数与对数复习
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
理解并掌握指、对数的概念；
理解并掌握指、对数的运算性质；
本节重点难点
重点：指、对数的运算性质；
难点：实际问题中的指、对数运算．
学科素养目标
本章旨在学习指数与对数的基本概念及运算性质，通过对具体数式的分析，使学生体会分数指数幂、对数的概念和意义，掌握有理指数幂、对数的运算性质. 根式、分数指数幂、对数都是具体的对应法则，是学习指数函数、幂函数、对数函数的基础，应讲清、讲透．学生在初中学习了数的开平方、开立方、二次根式、整数指数幂的意义及运算法则．有了这些知识作准备，教科书通过实际问题引出了分数指数幂，说明了扩张指数取值范围的必要性，由此先将平方根与立方根的概念扩充到n次方根，将二次根式扩充到一般根式，进一步探究了分数指数幂及其运算性质，通过一个实例介绍有理指数幂逼近无理指数幂，从而将指数的范围扩充到实数．这很好地体现了承上启下的作用，不仅可以加深与巩固对初中所学知识，而且为高中后期学习指数函数与对数函数知识埋下伏笔.
教学过程
知识结构简图
基础知识积累
1. n次方根
一般地,如果,那么称为的次方根.可用下表表示:
n为奇数 n为偶数
a∈R a>0 a=0 a<0
x=0 不存在
2.根式
(1)式子叫作根式,n叫作根指数,a叫作被开方数.
(2)性质:当时,
①;
②
3.分数指数幂的意义(a>0,m,n均为正整数)
正分数指数幂
负分数指数幂
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
4.有理数指数幂的运算性质()
(1). (2).
(3).
5. 对数的概念
(1)定义:一般地,如果,那么就称b是以a为底N的对数,记作
___ ____,其中,a叫作对数的底数,N叫作真数.
(2)特殊对数:
常用对数:以10为底,记作__ ___;
自然对数:以e为底,记作__ ___.
(3)指数与对数的关系:
当, _______.
6.对数的性质
(1)负数和0没有对数;
(2) ;
(3) .
7.对数恒等式
.
8. 对数的运算性质
(1)性质:
如果,那么
①积的对数:;
②商的对数:;
③幂的对数:.
(2)本质:正用是将积、商、幂的对数进行拆分计算;逆用是将同底数对数的和、差分别合并成积、商计算,数与对数的乘积转化成幂的对数计算.
(3)应用:广泛用于对数式的化简求值中,解决对数式的计算问题.
9.换底公式
(1)公式:.
(2)本质:将对数的底数换成任意大于零,且不等于1的实数.
(3)应用:将底数换成10或e,即将任意对数运算统一为常用对数或自然对数进行计算.
【课堂题组训练】
题1. 用分数指数幂表示为(　　)
A． B．
C． D．都不对
【解析】选A.原式＝＝＝()＝．
题2．已知a＝lg 2，10b＝3，则log56＝(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选B.因为a＝lg 2，10b＝3，所以b＝lg 3，
所以log56＝＝＝＝.
题3．已知lg 2≈0.301 0，由此可以推断22 014是________位整数．(　　)
A．605 B．606 C．607 D．608
【解析】选C.因为lg 2≈0.301 0，令22 014＝t，
所以2 014×lg 2＝lg t，则lg t≈2 014×0.301 0＝606.214，所以22 014是607位整数．
题4．已知2log2x＝log7y，且x＝14，则xy的值是(　　)
A．98 B．49 C．28 D．14
【解析】选A.由对数性质，得log2x2＝log7y，
令z＝log2x2＝log7y，则x2＝2z，y＝7z；
因为x＝14，所以x2y＝196，即2z×7z＝(2×7)z＝14z＝196，
解得z＝2；所以x＝2，y＝49，从而xy＝98.
题5．化简(其中a＞0，b＞0)的结果是(　　)
A． B．－
C． D．－
【解析】选C.＝()＝()4＝.
题6．对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提高计算速度和准确度．已知M＝{1，3}，N＝{1，3，5，7，9}，若从集合M，N中各任取一个数x，y，则log3(xy)为整数的个数为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】选C.若log3(xy)为正整数，则xy＝3n(n∈N*)，则x，y共有以下几种情况：x＝1，y＝1；x＝1，y＝3；x＝1，y＝9；x＝3，y＝1；x＝3，y＝3；x＝3，y＝9，共6个．
题7．化简(a2－2＋a－2)÷(a2－a－2)的结果为(　　)
A．1 B．－1
C． D．
【解析】选C.(a2－2＋a－2)÷(a2－a－2)＝＝＝＝.
题8．中国的5G技术世界领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2(1＋)，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变信道带宽W，而将信噪比从1 000提升至5 000，则C大约增加了____(附：lg 2≈0.301 0)(　　)
A．20% B．23% C．28% D．50%
【解析】选B.将信噪比从1 000提升至5 000，C大约增加了
＝
≈≈＝＝≈0.233，所以C大约增加了23%.
题9（多选题）．已知－1≤x＋y≤1，1≤x－y≤3，则8x·()y可能取到的值是(　　)
A．1 B．132 C．16.5 D．102
【解析】选CD.由题知，8x·＝23x·2－y＝23x－y，令3x－y＝s(x＋y)＋t(x－y)＝(s＋t)x＋(s－t)y，
则，所以，
又－1≤x＋y≤1，…①
1≤x－y≤3，所以2≤2(x－y)≤6…②，
所以①＋②得1≤3x－y≤7，则2≤23x－y≤128.所以C，D满足题意．
题10（多选题）．正实数x，y满足xlg yylg x＝100，则xy的可能取值是(　　)
A．0.000 5 B．200
C．6 D．e
【解析】选AB.正实数x，y满足xlg yylg x＝100，两边取对数可得2lg x lg y＝2，
所以lg x lg y＝1，所以1＝lg x lg y≤()2＝[]2，即lg2(xy)≥4，所以lg (xy)≥2或lg (xy)≤－2，解得xy≥100或0＜xy≤，所以xy的取值范围是(0，]∪[100，＋∞).所以A，B满足题意．
题11（多选题）．已知某抽气机每次可抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.2%，则可以抽的次数是(参考数据：lg 2≈0.301)(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
【解析】选BCD.抽气机抽n(n∈N*)次后，容器内的空气为原来的()n，
由题意可得()n＜0.2%＝，
所以n＞＝＝≈6.78，因此至少要抽的次数是7.所以B，C，D满足题意．
题12（多选题）．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布的数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则与t*值的差的绝对值不超过2的值为____(ln 19≈3)(　　)
A．60 B．65 C．66 D．69
【解析】选BC.因为I(t)＝，所以I(t*)＝
＝0.95K，则＝19，
所以0.23(t*－53)＝ln 19≈3，解得t*≈＋53≈66.所以B，C满足题意．
题13（多选题）．下列根式与分数指数幂的互化中正确的有 (　 　)
A.=-(x≠0) B.=(x>0)
C.=(x>0,y>0) D.=
【解析】选BCD.A.=(x≠0),故错误;B.=((x>0) ,故正确;
C.=·=(x>0,y>0),故正确;D.====,故正确.
题14（多选题）．下列各式正确的有 (　 　)
A．lg (lg 10)＝0 B．lg (ln e)＝0 C．若10＝lg x，则x＝10 D．若log25x＝，则x＝±5．
【解析】选AB．对于A，因为lg (lg 10)＝lg 1＝0，所以A对；对于B，因为lg (ln e)＝lg 1＝0，所以B对；对于C，因为10＝lg x，所以x＝1010，C错；对于D，因为log25x＝，所以x＝25＝5．
所以只有AB正确．
题15．(1)化简：··(xy)－1(xy≠0)＝____________；
(2)计算：＋＋－·＝____________．
【解析】(1)由题中式子可知xy＞0，当x＞0，y＞0时，
原式＝[xy2·(xy－1)]·(xy)·(xy)－1＝x·y·x·y·x·y·x－1·y－1＝x·y＝x0·y0＝1；
当x＜0，y＜0时，原式＝[xy2·(xy－1)]·(xy)·(xy)－1＝x·y·(－x)·
(－y)·(－x)·(－y)·x－1·y－1
＝x (－x)·y·(－y)＝x·(－x)·y·(－y)＝－1.
综上··(xy)－1＝.
(2)原式＝＋＋＋1－4＝2－3.
答案：(1)　(2)2－3
题16．已知log5[log2(4lg x)]＝0，则x的值为____________．
【解析】由log5[log2(4lg x)]＝0，
得log2(4lg x)＝50＝1，所以4lg x＝21＝2，
即22lg x＝2，所以2lg x＝1，lg x＝，所以x＝10＝.
答案：
题17．已知实数x，y满足(x＋2y)3＋x3＋2x＋2y＝0，则lg (x＋y＋1)＝____________．
【解析】由题意，实数x，y满足(x＋2y)3＋x3＋2x＋2y＝0，
则(x＋2y)3＋x3＋2x＋2y＝(2x＋2y)[(x＋2y)2－x(x＋2y)＋x2]＋2(x＋y)
＝2(x＋y)[(x＋2y)2－x(x＋2y)＋x2＋1]＝2(x＋y)(x2＋2xy＋4y2＋1)
＝2(x＋y)[(x＋y)2＋3y2＋1)＝0，
又由(x＋y)2＋3y2＋1＞0，则x＋y＝0，所以x＋y＋1＝1，所以lg (x＋y＋1)＝lg 1＝0.
答案：0
题18．已知x＞0且x≠1，y＞0且y≠1，方程组的解为或，则lg (x1x2y1y2)＝____________．
【解析】由换底公式得，
由①得log5x＝4－log8y，代入②并整理得(log8y)2－2log8y－4＝0，
由根与系数的关系得log8y1＋log8y2＝2，即log8(y1y2)＝2，
则y1y2＝82＝26，所以log5x1＋log5x2＝8－(log8y1＋log8y2)＝6，所以x1x2＝56，
因此，lg (x1x2y1y2)＝lg 106＝6.
答案：6
题19．解方程：2x＋1·＋22x·＝5.
【解析】因为2x＋1·＋22x·＝5，
所以2×2x·＋3×22x·＝5，所以2×2x·＋3×(2x·)2＝5，
令t＝2x·，则3t2＋2t－5＝0，解得t＝1或t＝－(舍去)，
所以2x·＝1，所以(2×3x)x＝1，则x＝0或2×3x＝1，
解得x＝log3或x＝0.
题20．设logac，logbc是方程x2－3x＋1＝0的两根，求logc的值．
【解析】由题意，得，即，
于是有，(logca－logcb)2＝(logca＋logcb)2－
4logca·logcb＝32－4＝5，故logca－logcb＝±，即logc＝±，
于是logc＝＝±.故logc的值为±.
题21．(1)已知x＝a－3＋b－2，化简.
(2)设a＋b＝4，x＝a＋3ab，y＝b＋3ab，求(x＋y)＋(x－y)的值．
【解析】(1)由x＝a－3＋b－2，得x－a－3＝b－2，
所以＝＝＝.
(2)令a＝A，b＝B，
则x＝A3＋3AB2，y＝B3＋3A2B，
x＋y＝A3＋3AB2＋3A2B＋B3＝(A＋B)3，
x－y＝A3＋3AB2－3A2B－B3＝(A－B)3.
所以(x＋y)＋(x－y)＝(A＋B)2＋(A－B)2＝2(A2＋B2)＝2(a＋b)＝8.
题22．令P＝80.25×＋()－(－2 018)0，Q＝2log32－log3＋log38.
(1)分别求P和Q.
(2)若2a＝5b＝m，且＋＝Q，求m.
【解析】(1)P＝2×2＋()－1＝2＋－1＝.
Q＝log3＝log39＝2.
(2)2a＝5b＝m，且＋＝Q＝2，
所以a＝，b＝，所以＋＝＝2，可得lg m＝，
所以m＝.
- 0 -