第三章不等式 复习课讲义（含答案）

编号：017 课题: §3 不等式复习课
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解并掌握不等式基本性质．
2、理解并掌握基本不等式及其应用．
3、会求解与一元二次不等式有关的综合问题.
本节重点难点
重点：基本不等式及其应用；
难点：求解与一元二次不等式有关的综合问题．
学科素养目标
在本章教材注重突出不等式的实际背景和实际运用，通过对背景的分析、概括和抽象，建立不等式模型，进而对不等式模型进行数学研究，最后再回到实际问题中．这里的展开过程与教材的其它章节是一致的，即按照数学研究的一般程序进行展开．（如图）
教材在研究一元二次不等式的图象解法时，首先提出这样的问题“一元二次不等式与相应的二次函数是否有内在的联系？” 这为学生的活动与发现提供了基础，也为研究不等式的解法指明了方向，即数形结合．教材在研究线性规划的求解方法时，也运用了数形结合的思想方法．
基础知识积累
构建网络结构简图
1. 实数比较大小的基本事实
文字语言 符号表示
如果a＞b，那么a－b是______； 如果a＜b，那么a－b是______； 如果a＝b，那么a－b等于______ a＞b a－b____0 a＜b a－b____0 a＝b a－b____0
2.不等式的基本性质
别名 性质内容 注意
性质1 对称性 a>b b____a 可逆
性质2 传递性 a>b,b>c ____ 同向
性质3 可加性 a>b ________ 可逆
性质3 的推论 移项 法则 a+b>c a____c-b 可逆
性质4 可乘性 a>b,c>0 ac____bc a>b,c<0 _____ c的 符号
性质5 同向可加性 a>b,c>d ______ 同向
性质6 同向同 正可乘性 a>b>0,c>d>0 ______ 同向 同正
3. 算术平均数与几何平均数
对于正数a，b，我们把__________称为a，b的算术平均数，________称为a，b的几何平均数．
4．基本不等式
(1)公式：
①条件：a，b是正数；
②结论：___________________；
③等号成立：当且仅当a＝b时．
(2)本质：基本不等式表明，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
(3)变形式：当a，b∈R时，a2＋b2____2ab，a2＋b2＋2ab______4ab，ab _____，
Ab____(当且仅当a＝b时，等号成立).
5．用基本不等式求最值的结论
对于正数a，b，
(1)和a＋b为定值时，积ab有最____值；积ab为定值时，和a＋b有最____值．
(2)取等号的条件：当且仅当________时，＝.
(3)应用：求和式的最小值，乘积式的最大值．
6. 二次函数的零点
一般地,一元二次方程的根就是二次函数当函数值取零时____________,即二次函数的图象与_______________,也称为二次函数的零点.
7.一元二次方程的根、二次函数的图象、二次函数的零点之间的关系
(1)关系(当a>0时).
二次函数 （）的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根
二次函数的零点
(2)本质:判别式Δ>0,Δ=0,Δ<0的情况决定着一元二次方程根、二次函数图象与x轴交点和二次函数零点的情况.
(3)应用:①求二次函数的零点;②证明二次函数零点的个数;③判断二次函数零点所在的区间.
8. 一元二次不等式的概念
只含有一个未知数,并且未知数最高次数是2的____________叫作一元二次不等式.
9.一元二次不等式和相应的二次函数的对应关系
(1)关系:(a>0)
二次函数 （）的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根
二次函数的解集 _______________ _______________
二次函数的解集 ______________ ______________ _____________
(2)本质:判别式Δ>0,Δ=0,Δ<0的情况决定着一元二次方程根、二次函数图象与x轴交点和二次函数零点的情况.
(3)应用:①求二次函数的零点;②证明二次函数零点的个数;③判断二次函数零点所在的区间.
【综合复习题练】
题1．已知－3＜a＜－2，3＜b＜4，则的取值范围为(　　)
A．(1，3) B．
C． D．
题2．已知a，b∈R，则“＞”是“＜”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题3．若a＞b＞0，m＞0，n＞0，则，，，按由小到大的顺序排列为(　　)
A．＜＜＜
B．＜＜＜
C．＜＜＜
D．＜＜＜
题4．若两个正实数x，y满足4x＋y＝xy且存在这样的x，y使不等式x＋＜m2＋3m有解，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－1，4)
B．(－4，1)
C．(－∞，－4)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0，＋∞)
题5．设x＞0，y＞0，且＝，则当x＋取最小值时，x2＋＝(　　)
A．12 B．8 C．16 D．
题6．已知a，b∈R且ab≠0，若对任意的x≤0均有(x－a)(x－b)(x－2a－b)≤0，则(　　)
A．a＜0 B．a＞0 C．b＜0 D．b＞0
题7．已知0＜a＜1，0＜b＜1，且4(a＋b)＝4ab＋3，则a＋2b的最大值为(　　)
A．2 B．2
C．3－ D．3－2
题8．若实数x，y，z满足，记P＝xy＋yz＋xz＋y2，Q＝x＋2y＋z，则P与Q的大小关系是(　　)
A．P＜Q B．P＞Q
C．P＝Q D．不确定
题9（多选题）．下列结论不正确的是(　　)
A．＜＜0 |a|＞|b|
B．＞ a＞b
C． ＜
D． ＜
题10（多选题）．周长为3＋2的直角三角形的面积可能为(　　)
A．3 B．3
C． D．
题11（多选题）．已知不等式x2＋ax＋b＞0(a＞0)的解集是{x|x≠d}，则下列四个结论中正确的是(　　)
A．a2＝4b
B．a2＋≥4
C．若不等式x2＋ax－b＜0的解集为(x1，x2)，则x1x2＞0
D．若不等式x2＋ax＋b＜c的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则c＝4
题12（多选题）．下列关于一元二次不等式叙述正确的是(　　)
A．若一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为 ，则a＜0，且Δ≤0
B．若＝＝，则一元二次不等式a1x2＋b1x＋c1＞0的解集与一元二次不等式a2x2＋b2x＋c2＞0的解集相等
C．已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是22
D．若一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R，且b＞a，则的最小值为3
题13．若－10＜a＜b＜8，则a＋b的取值范围是__________；＋b的取值范围是__________.
题14．已知正实数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值是__________.
题15．若正实数x，y满足x＋＋y＋＝10，则－的最大值是__________.
题16．若A＝(－2，5)，则以A为解集的一个一元二次不等式可以是__________．
题17．某种商品计划提价，现有四种方案：
方案(1)先提价m%，再提价n%；
方案(2)先提价n%，再提价m%；
方案(3)分两次提价，每次提价%；
方案(4)一次性提价(m＋n)%.
已知m＞n＞0，那么四种提价方案中，提价最多的是哪种方案？
题18．若a，b，c都是正数，求证：a2＋b2＋c2≥＋＋.
题19．设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0).
(1)若b＝2，c＝－1且二次函数的最大值为正数，求a的取值范围．
(2)若ax2－x－2＜0的解集是，求y＞c2的解集．
(3)设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的两个零点分别为x1，x2，满足0＜x1＜x2＜，证明：当x∈(0，x1)时，0＜y＜x1－x.
题20．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3 m，底面积为12 m2，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7 200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m(2≤x≤6).
(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元(a＞0)；若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围．
编号：017 课题: §3 不等式复习课
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解并掌握不等式基本性质．
2、理解并掌握基本不等式及其应用．
3、会求解与一元二次不等式有关的综合问题.
本节重点难点
重点：基本不等式及其应用；
难点：求解与一元二次不等式有关的综合问题．
学科素养目标
在本章教材注重突出不等式的实际背景和实际运用，通过对背景的分析、概括和抽象，建立不等式模型，进而对不等式模型进行数学研究，最后再回到实际问题中．这里的展开过程与教材的其它章节是一致的，即按照数学研究的一般程序进行展开．（如图）
教材在研究一元二次不等式的图象解法时，首先提出这样的问题“一元二次不等式与相应的二次函数是否有内在的联系？” 这为学生的活动与发现提供了基础，也为研究不等式的解法指明了方向，即数形结合．教材在研究线性规划的求解方法时，也运用了数形结合的思想方法．
基础知识积累
构建网络结构简图
1. 实数比较大小的基本事实
文字语言 符号表示
如果a＞b，那么a－b是_正数_； 如果a＜b，那么a－b是_负数_； 如果a＝b，那么a－b等于_0_ a＞b a－b_＞_0 a＜b a－b_＜_0 a＝b a－b_＝_0
2.不等式的基本性质
别名 性质内容 注意
性质1 对称性 a>b b < a 可逆
性质2 传递性 a>b,b>c a>c 同向
性质3 可加性 a>b a+c>b+c 可逆
性质3 的推论 移项 法则 a+b>c a > c-b 可逆
性质4 可乘性 a>b,c>0 ac > bc a>b,c<0 ac性质5 同向可加性 a>b,c>d a+c>b+d 同向
性质6 同向同 正可乘性 a>b>0,c>d>0 ac>bd 同向 同正
3. 算术平均数与几何平均数
对于正数a，b，我们把 称为a，b的算术平均数， 称为a，b的几何平均数．
4．基本不等式
(1)公式：
①条件：a，b是正数；
②结论： ；
③等号成立：当且仅当a＝b时．
(2)本质：基本不等式表明，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
(3)变形式：当a，b∈R时，a2＋b2 ≥ 2ab，a2＋b2＋2ab ≥ 4ab，ab ≤ ，
ab ≤ (当且仅当a＝b时，等号成立).
5．用基本不等式求最值的结论
对于正数a，b，
(1)和a＋b为定值时，积ab有最 大 值；积ab为定值时，和a＋b有最 小 值．
(2)取等号的条件：当且仅当 a＝b 时， .
(3)应用：求和式的最小值，乘积式的最大值．
6. 二次函数的零点
一般地,一元二次方程的根就是二次函数当函数值取零时_自变量的值_,即二次函数的图象与__轴交点的横坐标____,也称为二次函数的零点.
7.一元二次方程的根、二次函数的图象、二次函数的零点之间的关系
(1)关系(当a>0时).
二次函数 （）的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根
二次函数的零点 有两个零点 有一个零点 无零点
(2)本质:判别式Δ>0,Δ=0,Δ<0的情况决定着一元二次方程根、二次函数图象与x轴交点和二次函数零点的情况.
(3)应用:①求二次函数的零点;②证明二次函数零点的个数;③判断二次函数零点所在的区间.
8. 一元二次不等式的概念
只含有一个未知数,并且未知数最高次数是2的_整式不等式_叫作一元二次不等式.
9.一元二次不等式和相应的二次函数的对应关系
(1)关系:(a>0)
二次函数 （）的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根
二次函数的解集
二次函数的解集
(2)本质:判别式Δ>0,Δ=0,Δ<0的情况决定着一元二次方程根、二次函数图象与x轴交点和二次函数零点的情况.
(3)应用:①求二次函数的零点;②证明二次函数零点的个数;③判断二次函数零点所在的区间.
【综合复习题练】
题1．已知－3＜a＜－2，3＜b＜4，则的取值范围为(　　)
A．(1，3) B．
C． D．
【解析】选A.因为－3＜a＜－2，所以a2∈(4，9)，而3＜b＜4，所以＜＜，故的取值范围为(1，3).
题2．已知a，b∈R，则“＞”是“＜”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】选C.由＞得a2＋b2－2ab＞b2，所以a(a－2b)＞0，
所以＞0，所以1－＞0，所以＜.反之，也成立．
所以“＞”是“＜”的充要条件．
题3．若a＞b＞0，m＞0，n＞0，则，，，按由小到大的顺序排列为(　　)
A．＜＜＜
B．＜＜＜
C．＜＜＜
D．＜＜＜
【解析】选A.－＝＝，
因为a＞b＞0，m＞0，所以＜0，所以＜，－
＝
＝，
因为a＞b＞0，m＞0，n＞0，
所以＜0，
所以＜，－＝＝，
因为a＞b＞0，n＞0，所以＜0，所以＜，所以＜＜＜.
题4．若两个正实数x，y满足4x＋y＝xy且存在这样的x，y使不等式x＋＜m2＋3m有解，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－1，4)
B．(－4，1)
C．(－∞，－4)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0，＋∞)
【解析】选C.由4x＋y＝xy ＋＝1知，
＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当x＝2，y＝8时，等号成立，则使不等式x＋＜m2＋3m有解，只需满足m2＋3m＞4即可，解得m的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞).
题5．设x＞0，y＞0，且＝，则当x＋取最小值时，x2＋＝(　　)
A．12 B．8 C．16 D．
【解析】选A.因为x＞0，y＞0，所以当x＋取最小值时，取最小值，
因为＝x2＋＋，＝，所以x2＋＝＋，
所以＝＋≥2＝16，
所以x＋≥4，当且仅当＝，即x＝2y时取等号，
所以x2＋＋＝16，所以x2＋＋＝16，
所以x2＋＝16－＝12.
题6．已知a，b∈R且ab≠0，若对任意的x≤0均有(x－a)(x－b)(x－2a－b)≤0，则(　　)
A．a＜0 B．a＞0 C．b＜0 D．b＞0
【解析】选D.因为ab≠0，所以b≠ab＋b，若对任意的x≤0均有(x－a)(x－b)(x－2a－b)≤0，则ab(2a＋b)≥0，
所以a，b不可能同时为负，至少有一个为正，
①若a＞0，b＞0，显然成立；
②若a＞0，b＜0，则2a＋b≤0，此时要使(x－a)(x－b)(x－2a－b)≤0在(－∞，0]上恒成立，则必有b＝2a＋b，则a＝0，矛盾；
③若a＜0，b＞0，则2a＋b≤0，此时要使(x－a)(x－b)(x－2a－b)≤0在(－∞，0]上恒成立，则必有a＝2a＋b，则a＋b＝0，符合题意；
综上，b＞0.
题7．已知0＜a＜1，0＜b＜1，且4(a＋b)＝4ab＋3，则a＋2b的最大值为(　　)
A．2 B．2
C．3－ D．3－2
【解析】选C.因为4(a＋b)＝4ab＋3，所以4ab－4a－4b＋3＝0，
所以4ab－4a－4b＋4＝1，即ab－a－b＋1＝，
即(1－a)(1－b)＝.令x＝1－a＞0，y＝1－b＞0，则a＝1－x，b＝1－y，y＝，
所以a＋2b＝1－x＋2(1－y)＝－x－2y＋3＝－x－＋3
＝－(x＋)＋3≤－2＋3
＝3－(当且仅当x＝，即x＝时，等号成立).
故a＋2b的最大值为3－.
题8．若实数x，y，z满足，记P＝xy＋yz＋xz＋y2，Q＝x＋2y＋z，则P与Q的大小关系是(　　)
A．P＜Q B．P＞Q
C．P＝Q D．不确定
【解析】选A.P－Q＝xy＋yz＋xz＋y2－(x＋2y＋z)＝xz＋(y－1)(x＋z)＋(y－1)2－1＝(x＋y－1)(z＋y－1)－1，
因为，所以x＋y－1∈(0，1)，z＋y－1∈(0，1)，
所以(x＋y－1)(z＋y－1)∈(0，1)，
所以P－Q＜1－1＝0，即P＜Q.
题9（多选题）．下列结论不正确的是(　　)
A．＜＜0 |a|＞|b|
B．＞ a＞b
C． ＜
D． ＜
【解析】选ABD.A：因为＜＜0，所以ab＞0且－＞－＞0，
因此－·ab＞－·ab＞0·ab，
即－b＞－a＞0 ＞＞0 ＞，故A不正确，符合题意；
B：因为＞，显然4＞8不成立，所以B不正确，符合题意；
C：由a3＞b3 a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＞0，而ab＞0，
所以有a＞b，而－＝＜0 ＜，故C正确，不符合题意；
D：若a＝－2，b＝－1，显然成立，但是＜不成立，故D不正确，符合题意．
题10（多选题）．周长为3＋2的直角三角形的面积可能为(　　)
A．3 B．3
C． D．
【解析】选CD.设直角三角形的三边分别为a，b，c且c为斜边，
所以a＋b＋c＝3＋2 a＋b＋＝3＋2 3＋2≥2＋ ab≤，而直角三角形的面积S＝≤，当且仅当a＝b时等号成立，而a＝b时，可得，
所以0＜S≤.所以C，D满足题意．
题11（多选题）．已知不等式x2＋ax＋b＞0(a＞0)的解集是{x|x≠d}，则下列四个结论中正确的是(　　)
A．a2＝4b
B．a2＋≥4
C．若不等式x2＋ax－b＜0的解集为(x1，x2)，则x1x2＞0
D．若不等式x2＋ax＋b＜c的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则c＝4
【解析】选ABD.由题意得Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b，所以A正确；
对于B：a2＋＝a2＋≥2＝4，当且仅当a2＝，即a＝时等号成立，所以B正确；
对于C：由根与系数的关系，知x1x2＝－b＝－＜0，所以C错误；
对于D：由根与系数的关系，知x1＋x2＝－a，x1x2＝b－c＝－c，
则|x1－x2|＝＝＝2＝4，解得c＝4，所以D正确．
题12（多选题）．下列关于一元二次不等式叙述正确的是(　　)
A．若一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为 ，则a＜0，且Δ≤0
B．若＝＝，则一元二次不等式a1x2＋b1x＋c1＞0的解集与一元二次不等式a2x2＋b2x＋c2＞0的解集相等
C．已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是22
D．若一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R，且b＞a，则的最小值为3
【解析】选AD.对A，若一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为 ，
则ax2＋bx＋c≤0恒成立，所以a＜0，且Δ≤0，故A正确；
对B，若a1和a2的符号相反，则两个一元二次不等式解集不同，故B错误；
对C，设f(x)＝x2－6x＋a＝(x－3)2＋a－9，
有，解得5＜a≤8，由a∈Z，知a＝6，7，8，和为21，故C错误；
对D，则有a＞0，Δ＝b2－4ac＝0，所以b＞a＞0，
令t＝，则t＞1，t－1＞0，
＝＝＝＝＝＋＋≥2＋＝3，
当且仅当＝，即t＝4时取等号，故D正确．
题13．若－10＜a＜b＜8，则a＋b的取值范围是__________；＋b的取值范围是__________.
【解析】当a≥0时，0≤a＜8，0＜b＜8，故0＜a＋b＜16，
而＋b＝a＋b，所以0＜＋b＜16；
当a＜0时，－10＜a＜0，故0＜＝－a＜10，
又－10＜b＜8，所以－20＜a＋b＜8，－10＜＋b＜18，
又a＜b，所以＋b＞0，所以0＜＋b＜18.
综上，a＋b的取值范围是(－20，16)，＋b的取值范围是(0，18).
答案：(－20，16)　(0，18)
题14．已知正实数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值是__________.
【解析】＋＝＋＝1＋＋
＝＋＋3≥2＋3＝3＋2，当且仅当a＝2－，b＝－1时取等号．
所以＋的最小值是3＋2.
答案：3＋2
题15．若正实数x，y满足x＋＋y＋＝10，则－的最大值是__________.
【解析】由题意可得x＋＋y＋－10＝0，
所以－＝x＋＋y＋－10≥2＋2－10＝－4，
所以－≤4，
当且仅当时，等号成立，
因此－的最大值是4.
答案：4
题16．若A＝(－2，5)，则以A为解集的一个一元二次不等式可以是__________．
【解析】设关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(－2，5).
则－2和5是关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c＝0的两根，且a＞0.
即，不妨设a＝1，解得b＝－3，c＝－10.
所以以A为解集的一个一元二次不等式可以是x2－3x－10＜0.
答案：x2－3x－10＜0(答案不唯一)
题17．某种商品计划提价，现有四种方案：
方案(1)先提价m%，再提价n%；
方案(2)先提价n%，再提价m%；
方案(3)分两次提价，每次提价%；
方案(4)一次性提价(m＋n)%.
已知m＞n＞0，那么四种提价方案中，提价最多的是哪种方案？
【解析】依题意，设单价为1，方案(1)提价后的价格是(1＋)(1＋)＝1＋＋；
方案(2)提价后的价格是＝1＋＋；
方案(3)提价后的价格是＝1＋＋；
方案(4)提价后的价格是1＋，
所以，提价最少的是方案(4)，方案(1)和方案(2)提价后的价格是一样的，
只需比较与的大小即可，因为m＞n＞0，则(m－n)2＞0，
所以－＝＝＞0，所以(1＋)2＞(1＋)(1＋)，因此方案(3)提价最多．
题18．若a，b，c都是正数，求证：a2＋b2＋c2≥＋＋.
【证明】欲证原不等式即证：
＋＋≥＋＋.即可分别证明如下三个不等式：≥，≥，≥.
而要证≥，可寻找适当的媒介不等式．
因为a，b都是正数，所以≥，≥，
于是＋＋≥＋＋.
因为≥，
所以a2＋b2＋c2≥＋＋成立．
这样原不等式一定成立．
题19．设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0).
(1)若b＝2，c＝－1且二次函数的最大值为正数，求a的取值范围．
(2)若ax2－x－2＜0的解集是，求y＞c2的解集．
(3)设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的两个零点分别为x1，x2，满足0＜x1＜x2＜，证明：当x∈(0，x1)时，0＜y＜x1－x.
【解析】(1)当b＝2，c＝－1时，y＝ax2＋2x－1，
由最大值为正数可得a＜0，4＋4a＞0，
则－1＜a＜0，即a的取值范围是(－1，0).
(2)由题意知b，2为方程ax2－x－2＝0两解，
则b＋2＝，2b＝，解得a＝1，b＝－1，又y＞c2，
即x2－x＋c＞c2，又x2－x－(c2－c)＞0，则[x＋(c－1)](x－c)＞0，
当－(c－1)＜c，即c＞时，解集为(－∞，－c＋1)∪(c，＋∞)；
当－(c－1)＝c，即c＝时，解集为(－∞，)∪(，＋∞)；
当－(c－1)＞c，即c＜时，解集为(－∞，c)∪(－c＋1，＋∞).
(3)由二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的两个零点分别为x1，x2，
可得y＝a(x－x1)(x－x2)，x∈(0，x1)时，x－x1＜0，x－x2＜0，a＞0，则y＞0；
y＋x－x1＝a(x－x1)(x－x2)＋x－x1＝(x－x1)[a(x－x2)＋1]，
由0＜x1＜x2＜，x∈(0，x1)时－＜x－x2＜0，则a(x－x2)＋1＞0，
由x－x1＜0，则y＋x－x1＜0，y＜x1－x.
综上，0＜y＜x1－x.
题20．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3 m，底面积为12 m2，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7 200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m(2≤x≤6).
(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元(a＞0)；若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围．
【解析】(1)设甲工程队的总造价为y元，依题意左右两面墙的长度均为x m(2≤x≤6)，则屋子前面新建墙体长为 m，
则y＝3(150×2x＋400×)＋7 200＝900(x＋)＋7 200(2≤x≤6).
因为900＋7 200≥900×2×＋7 200＝14 400.
当且仅当x＝，即x＝4时等号成立．
所以当x＝4时，ymin＝14 400，
即当左右两面墙的长度为4 m时，甲工程队的报价最低为14 400元．
(2)由题意可得，900(x＋)＋7 200＞对任意的x∈[2，6]恒成立．
即＞，从而＞a，即x＋1＋＋6＞a恒成立，
又x＋1＋＋6≥2＋6＝12.
当且仅当x＋1＝，即x＝2时等号成立．
所以0＜a＜12，即a的取值范围是{a|0＜a＜12}．
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