(共23张PPT)
4.1 指数
课时2 无理数指数幂及其运算性质
教学目标
1. 了解无理数指数幂的概念和意义,体会无限逼近、由特殊到一般等数学探究方法.
2. 在经历无理数指数幂的概念形成过程中,感受类比、归纳和联想等数学学习方法.
3. 了解实数指数幂的变化特点和规律,初步感受“爆炸式”增长或减少的变化趋势.
学习目标
课程目标 学科核心素养
了解无理数指数幂的概念 初步接触无限逼近的数学思想方法，借助由特殊到一般的推广学习，培养数学抽象及数据分析素养
掌握实数指数幂及其运算性质 通过类比和联想，掌握实数指数幂的运算性质，发展数学抽象、数学运算素养
了解实数指数幂的变化规律 通过具体实例的探究，了解实数指数幂的变化规律，培养数据分析素养
情境导学
1637年，法国数学家笛卡儿开始以较小的印度阿拉伯数字放于右上角来表示正指数幂，在他的《几何学》一书中，用a2代表aa，用a3代表aaa.1655年，英国的沃利斯在《无穷算术》中首次完整地提出负指数幂和分数指数幂这两个概念，牛顿在其基础上，用 ，被公认并沿用至今，从而将正整数指数推广到了有理数指数．到了19世纪末，无理数最初是由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现的．德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，实数的理论完全建立．
无理数指数通过有理数数列无限逼近来定义，例如，如何说明2 有意义呢？
【活动1】探究无理数指数幂的意义
【问题1】根据的不足近似值和过剩近似值逐渐逼近时，的变化趋势，探究的意义．无理数指数幂的值可以通过计算器或计算机软件方便地求得．试通过相应计算软件，在运算区计算．
初探新知
【问题2】观察上述结果，你有什么发现吗？ax(a>0)中指数 x是无理数时，ax是一个确定的数吗？
【问题3】我们已经学习过有理数指数幂的运算性质：
am·an＝am＋n(m，n∈Q)；(am)n＝amn(m，n∈Q)；
(ab)n＝an·bn(n∈Q).
那么对于无理数指数幂，这些运算性质是否同样适用？
【活动2】探究无理数指数幂的运算性质
【问题4】x取正实数，使得其值逐渐增大时，试计算3x的值，观察其变化趋势．
【活动3】探究实数指数幂的变化规律
【问题5】x取负实数，使得其绝对值逐渐增大并趋向于无穷大时，试计算3x的值，观察其变化趋势．
【问题6】x取正实数，使得其值逐渐增大并趋向于无穷大时，试计算的值，观察其变化趋势．
【问题7】通过上述探究，你发现实数指数幂有怎样的变化规律？
典例精析
思路点拨：利用分数指数幂的运算性质及计算工具求解．
【例1】（教材改编题）求值与化简：
【方法规律】
掌握实数指数幂的运算性质，感受实数指数幂的变化规律：
运算性质：(1) ar·as＝ar＋s；(2) (ar)s＝ars；(3) (ab)r＝arbr.其中，a，b，r，s的取值范围是a＞0，b＞0，r，s∈R.
变化规律：在某一范围内，实数指数幂的变化趋势呈“爆炸式”增长或减少．
【解】
【变式训练1】
思路点拨：利用实数指数幂的运算性质进行计算．
【例2】
【方法规律】
有理数指数幂的运算性质可以拓展到实数指数幂的运算中来,因此,对于有关实数指数幂的运算和化简,与有理数指数幂的运算和化简一样,只要正确地运用四则运算的性质进行运算,将其化为最简结果就行了.
【变式训练2】计算下列各式：
（1）
思路点拨：要善于利用实数指数幂的运算性质，借助整体代换进行化简计算．
【例3】
【解】
【变式训练3】
【备选例题】
(1) (a>0，b>0); (2)+
【解】
思路点拨
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
A
A
ABD
2
同学们再见！
Goodbye Students！(共32张PPT)
第四章
指数函数与对数函数
知识要点及教学要求
1. 通过对有理数指数幂、实数指数幂含义的认识，引导学生了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质；通过具体实例，帮助学生了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念，并能借助描点法、信息技术画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．
2. 帮助学生理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过具体实例，引导学生了解对数函数的概念，并能借助描点法、信息技术画出具体对数函数的图象， 探索并了解对数函数的单调性与特殊点；让学生知道对数函数y＝x与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1)．
3. 结合指数函数与对数函数的图象，指导学生进一步了解函数的零点与方程的实数解的关系；结合具体连续函数及其图象的特点，帮助学生了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路，并能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性．
4. 帮助学生进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，使其能结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义，指导学生在实际情境中选择合适的函数类型刻画现实问题中的变化规律．
知识要点及教学要求
高考导向
高考对本章的考查主要有两种形式：
一是考查学生对指数和对数的运算，指数函数和对数函数的定义、图象、性质，以及函数的零点等基础知识的理解与掌握的情况；
二是在指数函数和对数函数的图象和性质、函数的零点以及不等式等知识的交汇处命题,考查学生综合运用函数、方程、不等式等知识分析问题和解决问题的能力.其中,指数函数和对数函数的图象和性质的应用,函数的奇偶性、单调性、值域和最值的研究是考查的重点.具体地讲:
高考导向
1. 在考查内容上，以考查指数和对数的运算、指数函数与对数函数的图象和单调性以及函数的零点为主，突出对指数函数、对数函数这两个基本初等函数模型的基础知识、研究函数的图象和性质的一般方法、指数函数与对数函数的图象和性质的应用以及建立指数函数与对数函数模型解决实际问题的考查．其中，指数函数与对数函数的图象和性质、函数的零点、指数函数与对数函数模型的实际应用是考查的重点，几乎每年必考，并且常考常新．
高考导向
2. 在能力要求上，着力考查学生综合运用指数与对数的运算、指数函数和对数函数的图象和性质、函数的零点等核心知识分析问题、解决问题的能力；考查学生运用研究函数的一般方法，抓住函数与方程及不等式之间的有机联系，从数和形两个角度入手研究函数的单调性、最值、零点等问题以及运用指数函数和对数函数模型解决实际应用问题的能力；考查学生对数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想方法的运用；考查学生数学运算、逻辑推理、数学抽象和数学建模等素养．
3. 在呈现方式上，可以是直接考查指数与对数的运算或指数函数与对数函数的图象和性质的应用，也可以是融指数函数和对数函数的图象与性质、方程与不等式或实际问题等于一体进行交汇考查.从题型上来讲，也很丰富.既有可能是选择题或填空题，也有可能与导数相融合以解答题的形式呈现.
学法指导
1. 提升数学运算能力．数及其运算是数学学习的基石，要重视指数幂运算及对数运算，打好指数函数与对数函数的运算基础.
2. 善于从实际问题入手，抽象出数学问题的一般规律．要掌握指数函数、对数函数所刻画的运动变化现象的数学规律，体会指数函数的“爆炸式”增长的实际背景．
3. 掌握数学基本方法并积累研究函数的一般方法．加强“数”与“形”的融合，体会“背景—概念—图象和性质—应用”的函数研究套路，掌握建立函数概念、研究函数性质、应用函数解决问题的一般思路和方法．
学法指导
4. 以具体函数为载体进一步理解函数思想，并且通过不同函数的增长差异，进一步理解不同类型函数的变化规律．
5. 善于通过多种方式提升数学学科素养．通过对教材中大量的指数函数和对数函数的有关素材进行抽象概括，将实际问题抽象为数学模型，从而解决实际问题，提升数学素养．
6.学会借助信息技术研究指数函数与对数函数，并注重对无理数指数幂学习中的极限思想的认识．
4．1 指数
课时1 n次方根与分数指数幂
教学目标
1. 通过对整数指数幂的含义的回顾,了解指数幂的概念的拓展过程和指数运算的意义.
2. 理解n次方根与分数指数幂的关系,掌握其互化方法,会求特殊的分数指数幂的值.
3. 掌握有理数指数幂的运算性质,能正确地运用指数幂概念和运算法则进行指数运算.
学习目标
课程目标 学科核心素养
了解 n次方根的概念，掌握 n次方根的性质 在回顾平方根、立方根概念的过程中学习n次方根的概念，发展数学抽象、逻辑推理及数学建模素养
理解分数指数幂的概念 借助由特殊到一般的推广学习过程，培养逻辑推理及数据分析素养
掌握有理数指数幂的运算性质 通过类比和联想，掌握有理数指数幂的运算性质，发展数学抽象和数学运算素养
情境导学
1.薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它所到之处，树木枯萎，花草凋零．经测算，薇甘菊的侵害面积S(单位：hm2)与它的生长年份t满足关系式S＝S0·1.057t，其中S0(单位：hm2)为侵害面积的初始值．
根据上述关系式，可以计算出10年后薇甘菊的侵害面积为S0·1.05710 hm2，其中1.05710是整数指数幂的形式．那么，经过15.5年，薇甘菊的侵害面积是多少？可否表示为S0·1.05715.5 hm2？如果可以，数1.05715.5表示什么含义呢？
情境导学
2.初中我们已经学习过整数指数幂．在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长c关于面积S的函数c＝记作c＝，像这样以分数为指数的幂，叫做分数指数幂．
3.在初中，我们学方根和立方根.4的平方根是多少？8的立方根是多少？是不是任何数的平方根都有两个、立方根都只有一个？若x5＝32，x可以取什么值？若x4＝16，x可以取什么值？你能发现它们的共同特点吗？
【活动1】探究n次方根的概念,深化对根式的认识和理解
初探新知
【问题1】 我们知道:若x2=2,则x=± ,± 称为2的平方根,(-2)3=-8,-2称为-8的立方根.如果xn=a(n>1,n∈N*),那么x称为a的什么呢 怎样表示出x呢
【问题2】 求下列式子的值: 观察其结果,你有什么发现吗
【问题3】探究与有什么关系？ 与 呢？
【活动2】探究分数指数幂与根式的关系
【问题5】由问题3，4你能得出什么结论？
【问题6】当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式？
【问题4】能否把 表示成分数指数幂的形式呢
【问题7】我们已经学过整数指数幂的运算性质：am·an＝am＋n(m，n∈Z)；(am)n＝amn(m，n∈Z)；(ab)n＝an·bn(n∈Z).那么，对于分数指数幂，这些运算性质是否同样适用？
【活动3】探究有理数指数幂的运算性质
【问题8】试通过n次方根与有理数指数幂的关系证明你的结论.
典例精析
【例1】（教材改编题）求值与化简：
思路点拨：
【解】 (1)原式＝－2.
(2) 原式＝|π－4|＋π－4＝4－π＋π－4＝0.
(3) 原式＝a＋|1－a|＝
【方法规律】在根式的化简中，要注意与)n的区别，以便正确求解．
对()n ：当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义，且)n ＝a；当n为大于1的偶数时，( )n只有当a≥0时才有意义，且()n ＝a(a≥0).
(2) 对：对任意a∈R都有意义，当n为奇数时， ＝a；当n为偶数时，
＝|a|＝
【变式训练1】
【解】
思路点拨：利用分数指数幂的定义将根式转化为分数指数幂．
【例2】（教材改编题）用分数指数幂表示下列各式:
【方法规律】
此类问题应熟练应用公式＝(a>0，m，n∈N*，n>1).此外，当所求根式中含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简
【解】 (1)
(2)
(3)= (x )
【变式训练2】将下列根式化成分数指数幂的形式：
【解析】：
思路点拨:按照指数幂的运算性质进行化简计算.
【例3】计算下列各式：
(1)
(2)
【解】
(1)原式
（2）原式=
【方法规律】
指数幂运算的一般原则：
(1) 有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2) 先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3) 底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数．
(4) 若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用指数幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
【变式训练3】 计算下列各式：
(1) (a>0，b>0); (2)+
【解】
【备选例题】
(1) (a>0，b>0); (2)+
【解】
思路点拨：含字母的根式与分数指数幂的互化,从分数指数幂的定义入手,按照指数幂的运算性质进行计算.
课堂反思
通过本节课的学习,你学到了哪些知识
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1. 当a>0时，下列运算中正确的是( )
A. a2·a3＝a6 B. (－a2)3＝(－a3)2
C. ＝ D. (－a2)5＝－a10
D
2.下列说法中正确的是( )
A.16的4次方根是2
B.的运算结果是±2
C.当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义
D.当n为大于1的偶数时， 只有当a>0时才有意义
C
AC
π
4a
同学们再见！
Goodbye Students！
