人教A版必修第一册高一数学4.5.1函数的零点与方程的解 同步培优题典(含详细解析)

人教A版必修第一册高一数学4.4函数的零点与方程的解同步培优题典(原卷版)
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·沈阳二中北校高三其他（文））函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·全国高三（文））函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2020·全国高三（文））已知函数在区间内有零点，则正数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·全国高三（文））若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
5．（2020·全国高一专题练习）某同学用二分法求方程在x∈（1，2）内近似解的过程中，设
，且计算f（1）<0，f（2）>0，f（1.5）>0，则该同学在第二次应计算的函数值为
A．f（0.5） B．f（1.125）
C．f（1.25） D．f（1.75）
6．（2020·浙江高一课时练习）当时，，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
7．（多选）（2019·辽宁葫芦岛 高一月考）（多选题）已知函数，的图象分别如图1，2所示，方程，，的实根个数分别为a，b，c，则（ ）
A． B． C． D．
8.（多选）（2020·化州市第一中学高二月考）（多选）已知函数，则下列对于的性质表述正确的是（ ）
A．为偶函数
B．
C．在上的最大值为
D．在区间上至少有一个零点
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2020·全国高一课时练习）若二次函数的两个零点分别是和，则的值为________.
10．（2020·全国高一课时练习）若函数有零点，则实数k的取值范围是________．
11．（2020·全国高三（文））若函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是________．
12．（一题双空）（2018·北京海淀 人大附中高三零模（理））已知函数，
①若a＝1，f（x）的最小值是_____；
②若f（x）恰好有2个零点，则实数a的取值范围是_____．
三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
13．（2020·浙江高一课时练习）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
14．（2020·浙江高一单元测试）研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是，其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数.
（1）当一条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时，它的游速是多少？
（2）计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数.
（3）若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速，问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说明理由.
15．（2020·浙江高一课时练习）某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）．
（1）把利润表示为年产量的函数．
（2）年产量为多少时，企业所得利润最大？
（3）年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？
16．（2020·浙江高一单元测试）甲商店某种商品4月份（30天，4月1日为第一天）的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系如图所示（1），该商品日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系如图(2)所示.
（1）（2）
（1）写出图（1）表示的销售价格与时间的函数关系式，写出图（2）表示的日销售量与时间的函数关系式及日销售金额M（元）与时间的函数关系式.
（2）乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N（元）与时间t（天）之间的函数关系式为，试比较4月份每天两商店销售金额的大小关系。
人教A版必修第一册高一数学4.4函数的零点与方程的解同步培优题典(原卷版)
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·沈阳二中北校高三其他（文））函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，，则，
∴函数的零点所在区间是 ，
当，且时，
，
，
，
ACD中函数在区间端点的函数值均同号，根据零点存在性定理，B为正确答案.故选：B.
2．（2020·全国高三（文））函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】函数f(x)=ex|lnx|﹣2的零点可以转化为：|lnx|的零点；
在坐标系中画出两个函数的图象，根据图象可得有两个交点；
故原函数有两个零点.故选：B.
3．（2020·全国高三（文））已知函数在区间内有零点，则正数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题得，且函数在定义域内单调递增（增+增=增），
所以，得.故选：A
4．（2020·全国高三（文））若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【答案】C
【解析】由表中参考数据可得，，，
所以，由二分法定义得零点应该存在于区间内，又
精确度为，且，故方程的一个近似根为.
故选：C
5．（2020·全国高一专题练习）某同学用二分法求方程在x∈（1，2）内近似解的过程中，设
，且计算f（1）<0，f（2）>0，f（1.5）>0，则该同学在第二次应计算的函数值为
A．f（0.5） B．f（1.125）
C．f（1.25） D．f（1.75）
【答案】C
【解析】∵f（1）<0，f（2）>0，f（1.5）>0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x–8存在一个零点，该同学在第二次应计算的函数值1.25，故选C．
6．（2020·浙江高一课时练习）当时，，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】在平面直角坐标系中，作出，，在时的图象如下图所示：
由图象可知，当时，
故选：
7．（多选）（2019·辽宁葫芦岛 高一月考）（多选题）已知函数，的图象分别如图1，2所示，方程，，的实根个数分别为a，b，c，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】由图，方程，，此时对应4个解，故；
方程，得或者，此时有2个解，故；
方程，取到4个值，如图所示：
即或或或，则对应的的解，有6个，故.
根据选项，可得A，D成立.故选：AD．
8.（多选）（2020·化州市第一中学高二月考）（多选）已知函数，则下列对于的性质表述正确的是（ ）
A．为偶函数
B．
C．在上的最大值为
D．在区间上至少有一个零点
【答案】ABCD
【解析】因为，所以其的定义域为，
A选项，，所以函数为偶函数，故A正确；
B选项，，故B正确；
C选项，因为，当，单调递增，所以单调递减，因此，故C正确；
D选项，因为，所以，，
即，由零点存在性定理可得：在区间上存在零点，故D正确；故选ABCD
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2020·全国高一课时练习）若二次函数的两个零点分别是和，则的值为________.
【答案】
【解析】由于二次函数的两个零点分别是和，由韦达定理得，解得，因此，.故答案为：.
10．（2020·全国高一课时练习）若函数有零点，则实数k的取值范围是________．
【答案】(0，1]
【解析】有零点，即k∈ 而－|x|≤0，0<≤20＝1，∴的值域为(0，1]．所以k的取值范围是(0，1]故答案为：(0，1]
11．（2020·全国高三（文））若函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是________．
【答案】．
【解析】由条件可知函数在上单调递增，所以，即，解之得．所以实数的取值范围是．
故答案为：
12．（一题双空）（2018·北京海淀 人大附中高三零模（理））已知函数，
①若a＝1，f（x）的最小值是_____；
②若f（x）恰好有2个零点，则实数a的取值范围是_____．
【答案】﹣
【解析】（1）由题意，
时，单调递增，，
时，，，
所以时，；
（2）若，则，恰有两个零点0和1，满足题意，
若，则时，无零点，
但时，有两个零点和，满足题意，
当时，则时，是增函数，，有一个零点，
时，由得或，因为只有两个零点，所以，解得，综上，的取值范围是．
三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
13．（2020·浙江高一课时练习）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
【答案】（1）炮的最大射程是10千米．
（2）当不超过6千米时，炮弹可以击中目标．
【解析】（1）令y＝0，得kx－（1＋k2）x2＝0，
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，
故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．
（2）因为a＞0，所以炮弹可击中目标
存在k＞0，使3.2＝ka－（1＋k2）a2成立
关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根
判别式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0
a≤6.
所以当a不超过6（千米）时，可击中目标．
14．（2020·浙江高一单元测试）研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是，其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数.
（1）当一条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时，它的游速是多少？
（2）计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数.
（3）若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速，问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说明理由.
【答案】（1）；（2）一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位；（3）鲑鱼A的耗氧量较大.
【解析】（1）将代入函数关系式，得，
所以一条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时，它的游速是.
（2）令，得，即，则，所以一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位.
（3）鲑鱼A的耗氧量较大.
理由：由，得，即，则，
所以鲑鱼A的耗氧量较大.
15．（2020·浙江高一课时练习）某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）．
（1）把利润表示为年产量的函数．
（2）年产量为多少时，企业所得利润最大？
（3）年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？
【答案】（1）；（2）475台；（3）年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．
【解析】（1）设利润为y万元，
得
即
（2）显然当时，企业会获得最大利润，
此时，，
，即年产量为475台时，企业所得利润最大．
（3）要使企业不亏本，则．
即或
得或，即．
即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．
16．（2020·浙江高一单元测试）甲商店某种商品4月份（30天，4月1日为第一天）的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系如图所示（1），该商品日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系如图(2)所示.
（1）（2）
（1）写出图（1）表示的销售价格与时间的函数关系式，写出图（2）表示的日销售量与时间的函数关系式及日销售金额M（元）与时间的函数关系式.
（2）乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N（元）与时间t（天）之间的函数关系式为，试比较4月份每天两商店销售金额的大小关系。
【答案】（1）；（2）4月份的前11天甲商店每天的销售金额比乙商店少，以后乙商店每天的销售金额均比甲商店少
【解析】（1）设销售价格与时间之间的函数关系式是，
将（0，15），（30，30）代入得解得
∴.
设日销售量与时间之间的函数关系式为，
将（0，160），（30，40）代入得解得，
∴
故
（2）∵，
∴.
当时，；当时，.
即4月份的前11天甲商店每天的销售金额比乙商店少，以后乙商店每天的销售金额均比甲商店少.