第四章 图形的相似 单元复习题（含解析）北师大版九年级数学上册

北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元复习题
一、选择题
1．若（），则下列比例式成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知线段a、b、c，作线段x，使，下列每个图的两条虚线都是平行线，则正确的作法是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列说法错误的是（　　）
A．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
B．顶角相等的两个等腰三角形相似
C．任意两个菱形一定相似
D．位似图形一定是相似图形
4．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件不能满足△ADE∽△ACB的条件是（　　）
A．∠AED=∠B B．
C．AD·BC= DE·AC D．DE//BC
5．已知线段，，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么c=（　　）
A．±3 B．3 C．4.5 D．5
6．如图，已知四边形四边形，，，则的长是（　　）．
A．6 B． C． D．4
7．如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆高，测得.则建筑物的高是（　　）
A． B． C． D．
9．已知．则它们的周长比为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，与是位似图形，相似比为，已知，则的长为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
二、填空题
11．非零实数，满足，则　 　.
12．如图，某校给初一年级划了一块大的矩形菜地，年级又将它分为大小形状完全相同的三块分给三个班，同学们测量后惊奇的发现，每块小菜地都与原大矩形菜地相似，则原矩形菜地的宽与长之比为　 　．
13．若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周长为12cm，则△A′B′C′的周长为　 　.
14．如图，正方形与正方形是位似图形，点O为位似中心，相似比为，点D的坐标为，则点B的坐标为　 　．
三、解答题
15．已知，，求的值．
16．如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE//AC、AE//DF，BD：AD=3：2，BF=6，求EF和FC的长．
17．如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝125°，求x，∠D1.
18．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．
四、综合题
19．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为16米，的影长为20米，小明的影长为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且，．已知小明的身高为1.8米．
（1）求建筑物OB的高度；
（2）求旗杆的高AB．
20．如图，在中，，，，点P从点A出发沿AC方向以2cm/s的速度向点C匀速运动，同时点Q从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，过点P作于点D，连接PQ、QD，设点P运动的时间为ts．
（1）求证：四边形PCQD是平行四边形；
（2）当四边形PCQD成为菱形时，求出相应的t的值；
（3）与以C、P、Q为顶点的三角形能否相似，如果能，求出相应的t的值；如果不能，请说明理由．
21．如图，的三个顶点坐标分别为.
（1）直接写出关于轴对称的三个顶点的坐标；
（2）画出绕点逆时针旋转后的；
（3）以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：A、∵，∴4x=3y，故此选项正确，符合题意；
B、∵，∴3x=4y，故此选项错误，不符合题意；
C、∵，∴3x=4y，故此选项错误，不符合题意；
D、∵，∴xy=12，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积，将各个选项中的比例式，变形为等积式，与题干给的等积式进行比较即可判断得出答案.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
观察选项可知，选项B符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据平行线分线段成比例的性质进行判断即可.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：A、根据两角对应相等的两个三角形相似可知，有一个锐角相等的两个直角三角形相似，不符合题意；
B、顶角相等的两个等腰三角形，它们的底角也相等，故这两个三角形相似，不符合题意；
C、∵两个菱形的对应角不一定相等，
∴两个菱形不一定相似，符合题意；
D、位似图形一定是相似图形，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据相似图形的判定方法求解即可。
4．【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵∠AED=∠B，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，故A不符合题意；
B、∵，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，故B不符合题意；
C、∵AD·BC= DE·AC，
∴，
而无夹角相等，
∴不能判定△ADE∽△ACB，故C符合题意；
D、∵DE//BC，
∴△ADE∽△ACB，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断A选项；根据有两组边成比例且夹角相等的两个三角形相似可判断B、C；根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可判断D.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：
比例中项的平方等于两条线段的乘积.
则，
解得（线段是正数，负值舍去），
所以.
故答案为：B.
【分析】根据线段c是线段a、b的比例中项可得c2=ab，代入求解即可.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形四边形，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：C．
【分析】由相似多边形的对应边成比例即可求解.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
故答案为：B.
【分析】易证△AOC∽△BOD，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵高，，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】易证△AEB∽△ADC，然后将已知数据代入进行计算.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴△ABC与△DEF的相似比是，
∴它们的周长比为．
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的周长之比等于相似比求解即可。
10．【答案】A
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，相似比为，，
∴
∴，
故答案为：A.
【分析】根据位似图形的相似比等于对应边的比进行解答.
11．【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：.
【分析】根据比例的性质：两内项之积等于两外项之积，将等积式改为比例式即可.
12．【答案】
【解析】【解答】解：设原矩形的长为x，宽为y，
∵年级又将它分为大小形状完全相同的三块分给三个班，
∴小矩形的长为y，宽为x
∵ 每块小菜地都与原大矩形菜地相似 ，
∴
解之：，
∴.
故答案为：
【分析】设原矩形的长为x，宽为y，可表示出最小的矩形的长和宽，再根据每块小菜地都与原大矩形菜地相似 ，可得到对应边成比例，即可表示出x的值，然后求出y与x的比值即可.
13．【答案】16cm
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且，即相似三角形的相似比为，
∵△ABC的周长为12cm
∴△A′B′C′的周长为12÷=16cm.
故答案为：16cm.
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比进行计算.
14．【答案】
【解析】【解答】解：∵正方形与正方形是位似图形，点O是位似中心，相似比为，点D的坐标为，
∴，则，
∴点B的坐标是：．
故答案为：．
【分析】根据相似三角形的性质可得，则，即可得到点B的坐标为。
15．【答案】解：
设，，
将，，代入
得，解得
，，
故答案为：2
【解析】【分析】设，，，再结合可得，求出，最后求出a、b、c的值并代入计算即可。
16．【答案】解：，
，即，
，
，
，
，即，
，
．
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，即，求出，求出BE的长，再根据，即，求出，最后利用线段的和差求出CF的长即可。
17．【答案】解：∵，
∴.
∵四边形 四边形，
∴，，
即.
∴.
【解析】【分析】根据四边形内角和为360°可得∠D=80°，由相似图形的性质可得∠D1=∠D，，据此求解.
18．【答案】证明：∵四边形是正方形
∴，
∵
∴
∵是的中点
∴
∵，
∴
∵
∴．
【解析】【分析】先证明，再结合，可得。
19．【答案】（1）解：根据题意得：，
∴，
，
∴，
∴，即，
∴米
（2）解：根据题意得：，
∴，
，
∴，
∴，即，
∴米，
由（1）得米，
∴（米），
∴旗杆的高是米．
【解析】【分析】（1）证明， 利用相似三角形的对应边成比例即可求解；
（2） 证明， 可得，据此求出AO的长，利用AB=AO-BO即可求解.
20．【答案】（1）证明：由题意，，
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴四边形PCQD是平行四边形.
（2）解：四边形PCQD是菱形，则
∵，
∴
∴
∴
∴当四边形PCQD是菱形时，
（3）解：由题意，，，
当时，
即，解得
当，
即，解得
∴当或时，与以C、P、Q为顶点的三角形相似.
【解析】【分析】（1）由题意可得AP=2t，CQ=t，根据含30°角的直角三角形的性质可得PD=AP=t，则CQ=PD，根据垂直于同一直线的两直线互相平行可得PD∥CQ，然后根据平行四边形的判定定理进行证明；
（2）由菱形的性质可得PC=CQ，由题意可得PC=10-2t，CQ=t，据此可得t的值；
（3）由题意可得∠APD=∠C，AP=2t，PD=CQ=t，PC=10-2t，然后分△APD∽△PCQ、△APD∽△QCP，根据相似三角形的对应边成比例可得t的值.
21．【答案】（1）解：
（2）解：绕点逆时针旋转，如图所示，
即为所求图形的位置.
（3）解：∵，，，点为位似中心，相似比为，即位似比为，
∴，，，
∴延长到，使得，即，延长到，使得，即，连接，，得；
反向延长到，使得，即，反向延长到，使得，即，连接，，得，如图所示，
∴点为位似中心，相似比为，，都是所求图形.
【解析】【解答】解：（1）关于轴对称的三个顶点的坐标，横坐标变为原来的相反数，纵坐标不变，，
∴.
【分析】（1）关于y轴对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此不难得到点A1、B1、C1的坐标；
（2）根据旋转的性质，分别将点A、B、C绕点O逆时针旋转90°得到点A2、B2、C2，然后顺次连接即可；
（3）分别延长AB、CB，或反向延长BA、BC，使A3B=2AB，C3B=2CB，然后顺次连接即可.