第六章 反比例函数 单元复习题（含解析）2023-2024学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级数学上册第六章反比例函数单元复习题
一、选择题
1．反比例函数的比例系数为（　　）
A． B．-3 C．-5 D．
2．下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的表达式是（　　）
A． B． C． D．
5．若 是反比例函数，则m满足的条件是（　　）
A．m≠0 B．m=3 C．m=3或m=0 D．m≠3且m≠0
6．如图，点B在y轴的正半轴上，点C在反比例函数的图象上，菱形的面积为8，则k的值为（　　）
A． B．4 C． D．2
7．若点，在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．或
8．若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象在（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
9．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，当时，的取值范围是(　　)
A．或 B．或
C．或 D．或
10．反比例函数与正比例函数交于点、点B，则点B坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知反比例函数的图像在第二、第四象限，则的取值范围是　 　.
12．函数y＝（m+1）是y关于x的反比例函数，则m＝　 　.
13．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 　 　（用“＜”连接）．
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，E为正方形对角线的交点，反比例函数的图象经过点C，E．若点，则k的值是　 　．
三、解答题
15．如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）求△AOC的面积；
（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集．（直接写出答案）
16．如图，点A，B关于y轴对称，S△AOB＝8，点A在双曲线y＝ ，求k的值.
17．如图，在平面直角坐标系中．四边形 为矩形，点 、 分别在 轴和 轴的正半轴上，点 为 的中点已知实数 ，一次函数 的图像经过点 、 ，反比例函数 的图像经过点 ，求 的值．
四、综合题
18．如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝2OB，反比例函数 在第一象限的图象经过正方形的顶点C．

（1）求点C的坐标；
（2）如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形 A'B'CD'，点 A'恰好落在反比例函数的图象上，求此时点 D'的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P为y轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、A'、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A和点B在x轴的负半轴上，，，以线段AB为边向上作正方形ABCD，反比例函数的图象经过顶点C，且与边AD相交于点E．
（1）当时，求k的值及点E的坐标；
（2）连接OC，CE，OE．
①若的面积为，求该反比例函数的表达式；
②是否存在某一位置，使得．若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：y=的比例系数为-.
故答案为：A.
【分析】反比例函数y=的比例系数为k，据此解答.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：A、，y是x的反比例函数，故A符合题意；
B、，y不是x的反比例函数，是一次函数，故B不符合题意；
C、，y不是x的反比例函数，是正比例函数，故C不符合题意；
D、，y不是x的反比例函数，是二次函数，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】形如“（k是常数，且k≠0）”的函数就是反比例函数，据此一一判断，得出答案.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴a+1>0，
∴a>-1.
故答案为：C.
【分析】y=，当k>0时，图象位于一、三象限；
当k<0时，图象位于二、四象限.
4．【答案】A
【解析】【解答】解： 解：设该反比例函数的解析式为：k≠0).
把(-1，3)代入，得
解得k=-3
则该函数解析式为：
故选：A.
【分析】 只需把已知点的坐标代入，即可求得函数解析式。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：由反比例函数的概念可得：m(m-3)≠0，
解得m≠0且m≠3.
故答案为：D.
【分析】 一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y= (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数.
6．【答案】A
【解析】【解答】∵S菱形OABC=8，
∴，
又∵反比例函数图象在第二象限，
∴k＜0，
∴k=-4.
故答案为：A。
【分析】根据菱形的性质可以得出等于菱形面积的一半，再根据图象所在的象限，确定k的正负号即可。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵3＞0，
∴在每一个象限，y随x的增大而减小，图象分支在第一、三象限
当点A、B在同一象限时，
∵y1＞y2，
∴m-1＜m+1，
∴点A、B不能在同一个象限；
当点A、B不在同一象限时，
∵y1＞y2，
∴
解之：
∴m的取值范围为-1＜m＜1.
故答案为：B
【分析】利用反比例函数的性质可知在每一个象限，y随x的增大而减小，图象分支在第一、三象限；分情况讨论：当点A、B在同一象限时，根据y1＞y2，可得到关于m的不等式，根据其不等式，可知此时不符合题意；当点A、B不在同一象限时，可得到关于m的不等式组，然后求出不等式组的解集.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：∵反比例函数 的图象经过点 ；
∴k=3 （-2）=-6＜0；
∴反比例函数的图像在第二、四象限；
故答案为：D.
【分析】根据该反比例函数过(3，-2)，计算出k，再根据k的正负判断反比例函数在哪个象限，当k＜0，反比例函数的图像在第二、四象限；当k＞0，反比例函数的图像在第一、三象限.
9．【答案】D
【解析】【解答】∵点A（3，a），
∴B(-3，-a），
由图象知，x的取值范围是：-3≤x＜0或者x≥3.
故答案为：D。
【分析】根据反比例函数的对称性，首先求出点B的坐标，然后结合图象直接写出x的取值范围即可。
10．【答案】C
【解析】【解答】解：∵反比例函数与正比例函数交于点、点B，
∴点A与点B关于原点对称，
∴点B坐标为，
故答案为：C
【分析】根据题意即可得到点A与点B关于原点对称，进而根据关于原点对称的点的坐标特征即可求解。
11．【答案】
【解析】【解答】解：∵反比例函数y=的图象在第二、第四象限，
∴k-2<0，
∴k<2.
故答案为：k<2.
【分析】根据反比例函数的图象在二、四象限可得k-2<0，求解就可得到k的范围.
12．【答案】2
【解析】【解答】解：∵函数y＝（m+1）是y关于x的反比例函数，
∴且m+1≠0，
解得：；
故答案为：2.
【分析】形如“y=kx-1（k≠0）”的函数叫反比例函数，依此得出且m+1≠0，然后联立求解即可.
13．【答案】y1＜y3＜y2
【解析】【解答】解：∵y=，
∴反比例函数的图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，
∴点A位于第三象限，B、C位于第一象限.
∵2<3，
∴y1＜y3＜y2.
故答案为：y1＜y3＜y2.
【分析】根据反比例函数的性质可得：其图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，据此进行比较.
14．【答案】
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥y轴于点F，
∵点A（4，0），
∴OA=4，
∴∠BFC=∠AOB=90°，∠ABO+∠OAB=90°，
∵正方形ABCD，
∴BC=AB，∠CBA=90°，
∴∠CBF+∠ABO=90°，
∴∠CBF=∠ABO，
在△ABO和△BCF中
∴△ABO≌△BCF（AAS）
∴OA=BF=4，CF=OB，
∵点C，E在反比例函数图象上，点E是AC的中点，
设，则点
∴，
解之：，
∴，
∴，
∴点
∴
【分析】过点C作CF⊥y轴于点F，利用点A的坐标可求出OA的长，利用正方形的性质及余角的性质可证得BC=AB，∠CBF=∠ABO，利用AAS证明△ABO≌△BCF，利用全等三角形的性质可证得OA=BF=4，CF=OB；设，利用点A的坐标及中点坐标公式可表示出点E的坐标，将点E代入函数解析式，可求出m的值，即可得到CF，OF的长，由此可得到点C的坐标；然后将点C的坐标代入函数解析式，可求出k的值.
15．【答案】解：（1）∵B（1，4）在反比例函数y=上，
∴m=4，
又∵A（n，﹣2）在反比例函数y=的图象上，
∴n=﹣2，
又∵A（﹣2，﹣2），B（1，4）是一次函数y=kx+b的上的点，联立方程组解得，
k=2，b=2，
∴y=，y=2x+2；
（2）过点A作AD⊥CD，
∵一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点为A，B，联立方程组解得，
A（﹣2，﹣2），B（1，4），C（0，2），
∴AD=2，CO=2，
∴△AOC的面积为：S=AD CO=×2×2=2；
（3）由图象知：当0＜x＜1和 x＜﹣2时函数y=的图象在一次函数y=kx+b图象的上方，
∴不等式kx+b﹣＜0的解集为：0＜x＜1或x＜﹣2．
【解析】【分析】（1）由B点在反比例函数y=上，可求出m，再由A点在函数图象上，由待定系数法求出函数解析式；
（2）由上问求出的函数解析式联立方程求出A，B，C三点的坐标，从而求出△AOC的面积；
（3）由图象观察函数y=的图象在一次函数y=kx+b图象的上方，对应的x的范围．
16．【答案】解：如下图，记AB与y轴的交点为C，
∵点A，B关于y轴对称，
∴AB垂直于y轴，且AC＝BC，
∴S△AOC＝ S△AOB＝ ，
∵S△AOC＝ |2k|，
∴ |2k|＝4，
∴
∵在第二象限，
∴2k＝﹣8
∴k＝﹣4.
【解析】【分析】 如图，记AB与y轴的交点为C，由题意“点A，B关于y轴对称 ”可知AB垂直于y轴，且AC＝BC， 根据等底同高的两个三角形的面积相等可得 S△AOC＝S△AOB，然后由反比例函数的k的几何意义并结合双曲线所在的象限可求解.
17．【答案】解：把 代入 ，得 ．
∴ ．
∵ 轴，
∴点 横坐标为 ．
把 代入 ，得 ．
∴ ．
∵点 为 的中点，
∴ ．
∴ ．
∵点 在直线 上，
∴ ．
∴ ．
【解析】【分析】 把 代入 ，得 ． 得出点C的坐标，从而得出点B的横坐标， 把 代入 ，得 y的值，得出点B的坐标， 由点 为 的中点， 得出 ，得出点D的值，再根据 点 在直线 上， 即可得出k的值。
18．【答案】（1）解：作CH⊥x轴于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBH＝90°，
∵∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠CBH，
∴△AOB≌△BHC（AAS），
∴BH＝OA＝6，CH＝OB＝3，
∴C（9，3）；
（2）解：由（1）同理可得，点D（6，9），
∵点A'恰好落在反比例函数的图象上，
∴当y＝6时，x＝，
∴m＝，
∴D'（6+，9），即D'（，9）
（3）解：Q（，）或（，﹣）或（﹣，6）或（，）
【解析】【解答】解：（3）当OA'＝OP时，如图，
∵A'（，6），
∴OA'＝，
∵四边形OPQA'是菱形，
∴A'Q∥OP，A'Q＝OP，
∴Q′（，），
当点Q在第四象限时，Q（，﹣），
当A'O＝A'P时，如图，
则点A'与Q关于y轴对称，
∴Q（﹣，6），
当PO＝PA'时，如图，设P（0，m），
则PO＝PA'，
∴m2＝（6﹣m）2+（）2，
解得m＝，
∴OP＝A'Q＝，
∴Q（，），
综上：Q（，）或（，﹣）或（﹣，6）或（，）．
【分析】（1）作CH⊥x轴于H，根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，由同角的余角相等可得∠OAB＝∠CBH，利用AAS证明△AOB≌△BHC，得到BH＝OA＝6，CH＝OB＝3，据此可得点C的坐标；
（2）由（1）同理可得：点D（6，9），令反比例函数解析式中的y=6，求出x的值，据此可得点D′的坐标；
（3）当OA'＝OP时，根据点A′的坐标可得OA'＝，由菱形的性质可得A'Q∥OP，A'Q＝OP，据此可得点Q的坐标；当A'O＝A'P时，则点A'与Q关于y轴对称，据此可得点Q的坐标；当PO＝PA'时，设P（0，m），则PO＝PA'，利用两点间距离公式可得m的值，进而可得点Q的坐标.
19．【答案】（1）解：∵正方形ABCD，，
∴，
∵，
当时，
∴，，
∴；
∴，
令，则
∴；
（2）解：①，，
∴，，，
∴
当时，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴；
②由①知，，
∴，，，
当时，，
∴
化简整理，得，
解得：，（舍去）
∴存在，当时，．
【解析】【分析】（1）根据正方形ABCD，，得，当时，表示出A和C的坐标，将C的坐标代入函数关系式，解出k,令x=-8,求出y,即为E的坐标；
（2）①表示出A、B、C的坐标，求得k=-4m,再求出E的坐标，根据解出m,得到C的坐标和k的值；
②根据勾股定理，计算CE，当时，，将数据代入求得m的值.