(共24张PPT)
4.4 对数函数
课时10 对数函数的图象和性质(2)
教学目标
1. 了解指数函数与对数函数互为反函数及互为反函数的两个函数图象之间的关系.
2. 进一步理解对数函数的概念,熟练地掌握对数函数的图象和性质及其简单应用.
3. 体会分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法在研究数学问题中的运用.
学习目标
课程目标 学科核心素养
了解指数函数与对数函数互为反函数及互为反函数的两个函数图象之间的关系 借助具体实例，探究指数函数和对数函数图象间的关系，发展数学抽象素养
能够熟练地运用对数函数的图象和性质解决与对数函数有关的复合函数的问题 在运用对数函数的图象和性质求解有关问题的过程中,培养逻辑推理、数学运算素养
体会分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想在研究数学问题中的运用 在运用数形结合、等价转化等思想解题的过程中,培养逻辑推理、数学运算素养
情境导学
燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．试问燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
【活动1】 探究互为反函数的两个图象间的关系
【问题1】在同一直角坐标系中，画出指数函数y＝2x和对数函数y＝log2x的图象，你能发现它们的图象有什么对称关系吗？
初探新知
图1
【问题4】上述结论能推广到一般情形吗？
【问题5】一般地，当a>0且a≠1时，指数函数y＝ax与对数函数y＝log ax的定义域和值域有什么关系？
【问题2】某取y＝2x图象上的3个点，如（-1，）,（0,1）,（2,4）它们关于直线y＝x对称的点的坐标分别是什么？它们在y＝x的图象上吗？
【问题3】如果点（x0，y0）在函数y＝2x的图象上，那么点（x0，y0）关于直线y＝x的对称点（y0，x0）在y＝x的图象上吗？为什么？
【问题6 】若>1(a>0，且a≠1)，求实数a的取值范围．
【活动2】通过对数函数的性质，求解对数不等式
【问题7 】如何求解对数不等式？
【问题8】f(x)＝log2(x＋3)的单调区间是否只有一个？是否就是y＝x＋3的单调区间？
【活动3】探究与对数函数有关的复合函数的单调性、定义域和值域
【问题9】思考函数f(x)＝f(x)的单调性．
【问题10】函数f(x)＝log2(x＋3)的定义域、值域怎么求？
典例精析
【例1】求下列函数的值域:
思路点拨：要求函数的值域,首先要关注目标函数的定义域,然后将目标函数看成复合函数,再对复合函数的内、外层函数分别求解.
【方法规律】
【解】(1)由题意可得
【变式训练1】
思路点拨：先观察不等式左右是否同底,若不同底,需要先化简.把不等式左右两端的底数化为相同时,根据对数函数的单调性去对数符号,然后列出相应的不等式,进而求解.
【例2】解下列不等式:
【解】
【变式训练2】利用对数函数的单调性解下列不等式:
解：
【例3】
思路点拨 (1) 由f(-1)=-3,可求得a=2.则f(x)= ,先研究内层函数 在定义域上的单调性,再根据外层函数 在定义域上是减函数得出结论; (2) 由f(x)在(-∞,2)上为增函数,建立关于a的不等式组,解不等式组求出a的范围即可.
【方法规律】
利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
【变式训练3】用函数f(x)＝(3x2－ax＋7)在[－1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围．
思路点拨：对数类型的函数综合问题,仍然围绕函数的基本性质,注意对数函数的定义域,同时结合对数函数的单调性进行分析和解题.
【备选例题】
【方法规律】
解决对数函数类型的综合问题,抓住函数本身的定义域和基本性质.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1.方程x+4)＝3x的实数根的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
C
2.设f(x)＝则不等式f(a)>f(－a)的解集为( )
A. (－1，0) B. (0，1) C. (1，＋∞) D. (－1，0)∪(1，＋∞)
D
(2，7]
AC
(1，＋∞)
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4.4 对数函数
课时9 对数函数的图像和性质（1）
教学目标
1. 通过类比的方法,经历对数函数图象与性质的研究过程,体会研究函数的思维特点.
2. 正确地理解对数函数的图象与基本性质之间的联系,体会数形结合思想方法的运用.
3. 能熟练地应用对数函数的图象和性质比较两个对数的大小、求解简单的对数方程等.
学习目标
课程目标 学科核心素养
理解对数函数的图象特征和性质,体会研究函数的基本步骤 通过自主探究对数函数的图象特征，归纳对数函数的性质，培养数学抽象、直观想象、逻辑推理素养
能正确地认识和理解对数函数的图象与性质之间的联系 在认识和理解对数函数的图象与性质的联系的过程中,培养直观想象素养
能够利用对数函数的图象和性质处理比较两个对数的大小、求解简单的对数方程等问题 在利用对数函数的图象和性质解决有关问题的过程中,培养数学运算和逻辑推理等素养
情境导学
某细胞分裂时，由1个分裂为2个，2个分裂为4个……以此类推，一个这样的细胞分裂1次得到2个细胞，分裂2次得到4个细胞，分裂3次得到8个细胞. 如果设x表示分裂后的细胞个数，y表示分裂次数，则y关于x的函数关系式是y＝log2x.分裂次数与分裂后的细胞个数的变化关系是怎样的？函数y＝log2x的图象在y轴左侧还是右侧？变化趋势如何？
【活动1】 探究对数函数的图象特征，发现对数函数的性质
初探新知
【问题1】请回忆，画函数图象的一般步骤是什么？请画出对数函数y＝log2x的图象．
【活动2】 利用对数函数的单调性比较大小
【问题7】 单调性是函数的一个重要性质,由上述问题,对数函数的单调性有哪些应用
典例精析
思路点拨：观察图象的变化特征，根据对数函数的图象特征比较底数的大小．
【例1】
【解】
【方法规律】
当0
1时，对数函数的图象是上升的，而且随着a由小变大，图象上升的速度变慢．
【变式训练1】
B
【解】
思路点拨：要比较两个同底数对数的大小，可以构造对数函数，依据对数函数的单调性来比较．需要关注两点：一是底数是大于1还是小于1，二是真数的大小．
【例2】
【解】
【方法规律】
比较同底数对数的大小，当底数确定时，可构造相应的对数函数，利用对数函数的单调性直接判断；当底数不确定时，应对底数进行分类讨论．
【变式训练2】
思路点拨
【例3】解下列对数方程:
【解】
【方法规律】
变式训练3：解下列对数方程:
思路点拨：(1) 将x0=2,x=8 100代入函数解析式即可求解. (2) 将x0=5,v=0代入函数解析式即可求解. (3) 根据题意知,函数的自变量是x,因变量是v,根据对数函数性质分析即可.
【备选例题】
【方法规律】(1) 弄清题意,准确理解题中各字母(如x,x0,v)的含义,建立起实际问题的数学模型,将其转化为数学问题是解题的前提;(2) 研究函数的单调性时,要弄清哪个量是自变量,哪个量是因变量,然后根据对数函数的性质解题.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
A
C
D
AD
(4,2)
同学们再见！
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4.4 对数函数
课时8 对数函数的概念
教学目标
1. 通过问题情境,建构起对数函数的模型,抽象出对数函数的概念.
2. 理解对数函数的定义,掌握对数函数的定义域以及解析式的求法.
3. 对建立和研究具体的函数的方法形成一个完整的认识和基本套路.
学习目标
课程目标 学科核心素养
构建对数函数模型,抽象出对数函数的概念 在构建对数函数模型的过程中,培养数学建模和数学抽象素养
理解对数函数的概念,掌握对数函数的定义域以及解析式的求法 通过理解对数函数的概念以及求对数函数的定义域,培养数学抽象和数学运算素养
对研究具体函数的方法形成一个完整的认识,体会其基本步骤 在研究具体函数的过程中,培养数学抽象素养
情境导学
某细胞分裂时，由1个分裂为2个，2个分裂为4个……以此类推，一个这样的细胞分裂1次得到2个细胞，分裂2次得到4个细胞，分裂3次得到8个细胞. 如果设x表示分裂后的细胞个数，y表示分裂次数，试写出x关于y的函数解析式．y是x的函数吗？如果是，请写出来，并指出x的取值范围．
【活动1】 建构对数函数的概念
初探新知
【问题1】函数y＝log2x有什么特点？你还能举出类似的函数吗？你能写出这类函数的一般形式吗？
【问题2】对于函数y＝logax，它包含哪几个量？分别代表什么？a的取值范围是什么？
【问题3】对数函数y＝logax的定义域是什么？为什么？
【问题4】你能类比指数函数,给新的对数函数下一个定义吗
【问题5】对数函数y=logax与指数函数y=ax(a>0,a≠1)的定义域,值域之间有什么关系
【活动2】对数函数研究方案的制定
【问题6】对于对数函数y＝logax，如何制定研究方案？
【问题7】需要研究对数函数的哪些内容？
典例精析
思路点拨：对数函数的形式是y＝logax，需要注意看三点：① 系数为1；
② 底数为大于0且不等于1的常数；③ 对数的真数有且仅有自变量x.
【例1】
【解】
(1)真数不是自变量x，故不是对数函数．
(2)对数式后加2，故不是对数函数．
(3)真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．
(4)真数不是x，故不是对数函数．
【方法规律】
对数函数必须是y＝logax(a>0,且a≠1)的形式，即满足以下条件：① 系数为1；② 底数为大于0且不等于1的常数；③ 对数的真数有且仅有自变量x.
【变式训练1】下列函数中，哪些是对数函数？为什么？
【解】
(1)底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．
(2) 底数是 ,真数为x,系数为1,符合对数函数的定义,故是对数函数.
思路点拨：本题中，函数的定义域是指能使得对数式有意义的实数x的集合，因此根据对数式中真数是正数的原则，建立关于x的不等式，进而求解．
【例2】求下列函数的定义域：
【解】
(1) 因为x2>0，即x≠0，所以y＝logax2的定义域是{x|x≠0}．
【方法规律】
要使得对数式有意义，就得保证真数大于0，底数大于0且不等于1.
【变式训练2】求下列函数的定义域：
【解】：
【例3】
假设某工厂的初始年产量为2，每年以20%的增长率递增，经过y年后的年产量为x.
(1) 这家工厂的年产量经过几年后达到6万件？
(2) 填写下表，并根据表中的数据，说明该产品年产量的变化规律．(年数保留1位小数，可利用计算工具)
年产量x 2 4 6 8 10 12 14 16
年数y 0
思路点拨：
年产量x 2 4 6 8 10 12 14 16
年数y 0.0 3.8 6.0 7.6 8.8 9.8 10.6 11.4
【解】：
【方法规律】
先根据题意建立x和y的等量关系，然后利用指数式和对数式的互化关系，写出所求函数的解析式．最后，再根据实际问题指明函数的定义域．
【变式训练3】
假设某地初始物价为1,每年以3.3%的增长率递增,经过y年后的物价为x.该地的物价大约经过几年后会翻一番 经过几年后会翻三番 (结果保留整数,可利用计算工具)
【解】：
【备选例题】
思路点拨：这是一道与对数函数有关的复合函数的综合性问题,可根据对数函数的概念和运算性质对四个选项逐一验算,得出正确的结论.
【方法规律】解答多项选择题,需要根据题设条件,对每个选项进行逐一验算,正确的需要严格证,错误的需举出反例.对于有关对数函数的综合性问题,解题时要充分运用对数函数的概念、奇函数的定义和对数的运算性质,严密推理、准确运算是核心和关键.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
C
D
ABC
(－3，3)
同学们再见！
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4.4 对数函数
课时11 不同函数增长的差异
教学目标
1. 通过自主探究一次函数、指数函数和对数函数的图象特征和增长速度,掌握由特殊到一般、由具体到抽象的数学研究方法.
2. 归纳总结一次函数、指数函数、对数函数等的增长差异,体会“直线上升”“指数爆炸”和“对数增长”等不同类型函数增长特征的含义.
3. 能运用不同函数的增长差异,解决一些简单的实际问题,感悟函数模型的用途与价值,提升分析问题、解决问题的能力.
学习目标
课程目标 学科核心素养
理解和掌握几种常见函数的增长差异,掌握由特殊到一般、由具体到抽象的数学研究方法 通过自主探究函数的图象特征和增长速度，培养数学抽象、直观想象、逻辑推理素养
体会“直线上升”“指数爆炸”和“对数增长”等不同类型函数增长特征的含义 借助图象体会不同函数的增长速度，发展直观想象素养
能够利用不同函数增长的差异,通过构建函数模型,运用函数的图象和性质解决实际问题 利用不同函数的增长差异解决相关问题，培养数学运算、数据分析等素养
情境导学
在日常生活中，增长现象到处都是．比如我国GDP(国内生产总值)的增长，澳大利亚的兔子在短时间内迅速繁殖，某地区房价的上涨，等等．事实上，在我们学过的函数中，也有很多是增长型的．你能列举出以前学过的增长型函数吗？ 它们的增长速度是否一样？
【活动1】探究指数函数与一次函数的增长差异
【问题1】请用描点法画出函数y＝2x和y＝2x的图象，它们的图象有什么特点？
初探新知
【问题2】上述两个函数的增长速度分别是怎样的？
【问题3】如果取更大的x的值，这两个函数图象的增长速度如何？
【问题4】指数函数y＝ax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)的增长有何差异？
【活动2】探究对数函数与一次函数的增长差异
【问题6】上述两个函数的增长速度分别是怎样的？
【问题7】如果取更大的x的值，这两个函数图象的增长速度如何？
【问题8】对数函数y＝ x(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)的增长有何差异？
【问题5】请用描点法画出函数y＝lgx和y＝x的图象，它们的图象有什么特点？
典例精析
【例1】 (多选)当a>1时，下列结论中正确的是( )
A. 指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长速度越快
B. 指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长速度越快
C. 对数函数y＝x，当a越大时，其函数值的增长速度越快
D. 对数函数y＝ x，当a越小时，其函数值的增长速度越快
思路点拨：函数值增长的快慢取决于函数类型，不同函数的图象是不一样的，因而不同函数类型对应的增长特点也是不一样的．指数函数和对数函数图象的增长趋势取决于底数的大小．
AD
【方法规律】一次函数的增长速度是不变的，底数不同的指数函数和对数函数的增长差异是不同的．当a>1时，指数函数的底数越大，其函数值的增长速度越快；对数函数的底数越大，其函数值的增长速度越慢．
【解】根据指数函数的增长特点，可知底数越大，其函数值的增长速度越快，故正确A，B错误；根据对数函数的增长特点，可知底数越小，其函数值的增长速度越快，故C错误，D正确．故选AD
【变式训练1】 (多选)[2021·江苏省宿迁市高二期末改编题]下列四种说法中，正确的是( )
A. 一次函数的增长速度保持不变
B. 对任意的x＞0，xn＞ x
C. 对任意的x＞0，ax＞ x
D. 不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞ x
AD
【解】对于A,一次函数的增长速度保持不变,正确;对于BC,当01,n>0时,一定存在x0,使得当x>x0时,总有ax>xn>logax,但若去掉限制条件“a>1,n>0”,则结论不成立.故选AD.
思路点拨：利用函数的图象，结合选项逐一计算判断即可．
【例2】
[教材改编题]假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供选择,这三种方案每天的回报如图,横轴为投资时间,纵轴为每天的回报.根据以上信息,若使回报最多,下列说法中错误的是 ( )
例2
A. 投资3天以内(含3天),采用方案一
B. 投资4天,不采用方案三
C. 投资6天,采用方案一
D. 投资12天,采用方案二
【解】由图可知，投资3天(含3天)内的，结合图象对应的高低，可得方案一的回报最多，所以A正确；投资4天，方案一的回报约为40×4＝160(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100(元)，结合图象对应的高低，可知方案一、方案二都比方案三高，所以B正确；投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，结合图象对应的高低，可知方案一比方案二、方案三高，所以C正确；投资12天，根据图象的变化可知，方案三高很多，所以采用方案三，所以D错误．故选D.
【方法规律】解题时，需熟练掌握指数函数的增长特点，即指数函数y＝ax(a>1)在［0，+∞）上单调递增，图象的增长速度越来越快．
【变式训练2】(多选)[2020·江西宜春模拟]某池塘中有一块浮草，浮草蔓延后的面积y(m2)与时间t(月)之间的函数解析式是y＝at－1(a>0，且a≠1)，它的图象如图所示．以下结论中正确的有( )
A. 池塘中原有浮草的面积是 0.5 m2
B. 第8个月浮草的面积超过 60 m2
C. 浮草每月增加的面积都相等
D. 若浮草面积达到 10 m2，20 m2，30 m2所经过的时间分别为 t1，t2，t3，则2t2>t1＋t3
ABD
【解】因为函数y=at-1的图象经过点（2，2）,所以2=a2-1,解得a=2,则y=2t-1.当t=0时,y=20-1=,故A正确;当t=8时,y=28-1=27=128>60,故B正确;当t=1时,y=1,增加0.5 m2,当t=2时,y=2,增加1 m2,所以每月增加的面积不相等,故C错误;由2t1-1=10,得t1=log210+1,同理t2=log220+1, t3=log230+1,所以2t2=2log220+2=log2400+2>log2300+2=t1+t3,所以2t2>t1+t3,故D正确.故答案为ABD.
思路点拨 先根据表中所给的数据作出散点图，然后根据图象的增长速度，再结合松树生长的实际情况综合判断应该用哪种函数模型，之后用待定系数法求出函数模型中的参数，进而就可以利用得到的函数模型进行预测．
【例3】：某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(m)与生长时间t(年)的相关数据如下表：
若选择h＝mt＋b与h＝ (t＋1)来拟合h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．
【例3】某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(m)与生长时间t(年)的相关数据如下表
若选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来拟合h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．
【方法规律】对数函数y＝ x(a>1)、一次函数y＝kx(k>0)在(0，＋∞)上都是单调递增的，因此从单调性上难以判断，解题的关键是抓住对数函数和一次函数增长的差异，即前者图象的增长速度越来越慢，后者图象的增长速度保持不变，然后结合图象特征即可判断．
【解】据题表中数据作出散点图如图：
由图象可以看出函数增长的速度越来越慢，用一次函数模型拟合不合适，则选用对数函数模型比较合理．不妨将(2，1)代入h＝(t＋1)中，得1＝3，解得a＝3.故可用函数h＝(t＋1)来拟合这个实际问题．当t＝8时，求得h＝ (8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2 m.
【变式训练3】 洪泽湖是中国大湖中唯一的活水湖，水质优良，有利于优质大闸蟹的生产．泗洪中学数学兴趣小组进行社会调查，了解到某大闸蟹生产销售公司为了实现100万元的利润目标，准备制定如下销售奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过总利润的20%.同学们利用所学函数知识，设计了甲：y＝0.04x，乙：y＝log11(3x－10)两种函数模型，其中符合公司要求的是________．(填“甲”或“乙”，参考数据：1.015100≈4.432，lg 11≈1.041)
乙
【解】由题意得，符合公司要求的函数模型应满足：当675时，不满足条件②；乙模型满足条件①，当x＝100时，有＝290< 113＝3，满足条件②，结合图象(如图)，y＝(3x－10)≤20%x恒成立，满足条件③，故符合公司要求的是乙．
思路点拨 根据表中所给的数据初步判断图象的增长速度,通过给定的函数模型进行综合判断,之后用待定系数法求出函数模型中的参数,进而就可以利用得到的函数模型进行预测.
（备选例题）某汽车制造商在2022年初公告:公司计划2022年的生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示:
如果我们分别将2019、2020、2021、2022定义为第一、二、三、四年.现在有两个函数模型:二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),指数函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),哪个模型能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系
年份 2019 2020 2021
产量/万辆 8 18 30
【解】
建立生产量y与年份x的函数,可知函数必过点(1,8),(2,18),(3,30).① 构造二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),将点坐标代入,可得,解得a=1,b=7,c=0,则f(x)=x2+7x,故f(4) =44,与计划误差为1.② 构造指数函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),将点坐标代入,可得,解得a=,b=,c=-42,则g(x)=×（）x-42,故g(4)=×（）4-42=44.4,与计划误差为1.4.由①②可得,二次函数模型f(x)=x2+7x能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系.
【方法规律】
不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律:
(1) 线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律;
(2) 指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律;
(3) 对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律;
(4) 幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了什么？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
下列函数中，增长速度越来越快的是( )
A. y＝4x B. y＝ x C. y＝ D. y＝3x
A
2. [2022·陕西省西安市第五十七中学高一期末]已知三个变量y1，y2，y3随变量x的变化而变化的数据如下表：
x 1 2 4 6 8 …
y1 2 4 16 64 256 …
y2 1 4 16 36 64 …
y3 0 1 2 2.585 3 …
则对于y1，y2，y3随x的变化情况拟合较好的一组函数模型是( )
A. y1＝x2，y2＝2x，y3＝x B. y1＝2x，y2＝x2，y3＝x
C. y1＝x，y2＝x2，y3＝2x D. y1＝2x，y2＝x，y3＝x2
B
3.(多选)[教材改编题]根据函数y＝3x和y＝5x的图象，下列描述中正确的是( )
A. 在区间(0.6，0.9)上，函数y＝3x的函数值比函数y＝5x的函数值小
B. 在区间(1，2)上，函数y＝3x的函数值比函数y＝5x的函数值大
C. 在区间(0，＋∞)上，函数y＝5x的增长速度保持不变
D. 在区间(6，＋∞)上，函数y＝3x的增长速度比函数y＝5x快
ACD
y=x 2
③①②
4. 函数y=x2与函数y=xlnx在区间(4,+∞)上增长较快的一个是 .
5. 函数模型:① y=0.25x;② y=log2x+1;③ y=2x.当x∈(6,+∞)时,随着x的增大,增长速度按从大到小排列是 .(填序号)
同学们再见！
Goodbye Students！