第22章二次函数 单元综合测试题（含解析） 2023-2024学年人教版九年级数学上册

2023-2024学年人教版九年级数学上册《第22章二次函数》单元综合测试题（附答案）
一．选择题（满分30分）
1．抛物线y＝（x﹣m）2+m﹣2的对称轴是直线x＝3，那么它的顶点坐标是（　　）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
2．两条抛物线y＝x2与y＝﹣x2在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（　　）
A．顶点相同 B．对称轴相同
C．开口方向相反 D．都有最小值
3．对于二次函数y＝2（x+1）（x﹣3），下列说法正确的是（　　）
A．该抛物线开口向下 B．当 x＞1 时，y随x的增大而减小
C．图像的对称轴是直线x＝﹣1 D．该图像与y轴交于点（0，﹣6）
4．小飞研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时得到如下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；
③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；
④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．
其中错误结论的序号是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
5．如果二次函数图象的形状与的形状相同，且顶点坐标是（4，﹣2），那么这个函数的解析式为（　　）
A． B．或
C． D．或
6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（　　）
A．函数有最小值 B．当﹣1＜x＜3时，y＞0
C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．对称轴是直线x＝1
7．关于二次函数y＝x2﹣kx+k﹣1，以下结论：①抛物线交x轴有两个不同的交点；②不论k取何值，抛物线总是经过一个定点；③设抛物线交x轴于A、B两点，若AB＝1，则k＝4；④抛物线的顶点在y＝﹣（x﹣1）2图象上；⑤抛物线交y轴于C点，若△ABC是等腰三角形，则k＝﹣，0，1．其中正确的序号是（　　）
A．①②⑤ B．②③④ C．①④⑤ D．②④
8．已知抛物线P：y＝x2+4ax﹣3（a＞0），将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线P′，当1≤x≤3时，在抛物线P′上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若t≤3，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，庄子大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y＝ax2+bx，小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需（　　）
A．18秒 B．36秒 C．38秒 D．46秒
10．二次函数y＝x2+bx的对称轴为x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（　　）
A．t＜8 B．t＜3 C．﹣1≤t＜8 D．﹣1≤t＜3
二．填空题（满分18分）
11．抛物线y＝﹣2（x+3）2﹣4有最 　 　点（填“高或低”），此点坐标为 　 　．
12．若抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A、B两点，则A坐标是 　 　，B的坐标是 　 　．
13．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）
（I）抛物线的对称轴为 　 　；
（2）若当﹣2≤x≤2时，y的最大值是1，求当﹣2≤x≤2时，y的最小值是 　 　．
14．二次函数y＝x2﹣6x+c的图象的顶点与原点的距离为5，则c＝　 　．
15．竖直上抛物体时，物体离地而的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为　 　m．
16．当x≤3时，函数y＝x2﹣2x﹣3的图象记为G，将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象G的其余部分保持不变，得到一个新图象M，若直线y＝x+b与图象M有且只有两个公共点，则b的取值范围是 　 　．
三．解答题（满分72分）
17．已知二次函数y＝ax2+k图象经过点（1，﹣1），（2，2）．
（1）求该函数的解析式，并写出这个二次函数的开口方向、对称轴及顶点坐标；
（2）判断点（﹣3，7）是否在这个二次函数图象上，并说明理由．
（3）请在坐标系内画出这个函数的图象，并根据图象写出函数值y为负数时，自变量x的取值范围．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y＝﹣x2+bx+c经过点A（2，2），抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点为点B．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）将抛物线L1平移到抛物线L2，抛物线L2的顶点记为D，它的对称轴与x轴的交点记为E．已知点C（2，﹣1），若以A、C、D、E为顶点的四边形为菱形，则请求出抛物线L2的顶点坐标．
19．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围．
20．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝x+k（k≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c﹣x﹣k＜0的解集；
（3）写出二次函数值y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c＝m有两个不等的实数根，求m的取值范围；
21．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm，菱形的面积S（单位：cm2）随其中一条对角线的长x（单位：cm）的变化而变化．
（1）请直接写出S与x之间的函数关系式；
（2）当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？
（3）请说明（2）中的函数S随x的变化情况．
22．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m．
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
23．在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，要求每件销售价格不得高于27元，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按22元的价格销售时，每天能卖出42件；若每件按25元的价格销售时，每天能卖出33件．假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数．
（1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大，最大利润是多少？
24．如图1，已知抛物线y＝ax2+（1﹣3a）x﹣3（a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线y＝﹣x+5与抛物线交于点D、E，与直线BC交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）求PD×EP的值；
（3）如图2，若二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0）、B（x2，0），定点为C，若∠CAB＝30°，则b2﹣4ac的值是否发生变化？若不变，求其值．
参考答案
一．选择题（满分30分）
1．解：∵抛物线y＝（x﹣m）2+m﹣2的对称轴是直线x＝3，
∴m＝3，
∴解析式y＝（x﹣3）2+1，
∴顶点坐标为：（3，1），
故选：A．
2．解：两个函数的顶点坐标都是（0，0），二次项的系数互为相反数，说明一个开口向上，一个开口向下．
故两条抛物线的交点为原点，两条抛物线关于x轴对称且两条抛物线关于原点对称；一个有最小值，一个有最大值．
故选：D．
3．解：二次函数y＝2（x+1）（x﹣3）可化为y＝2（x﹣1）2﹣8的形式，
∵此二次函数中a＝2＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
把x＝0代入y＝2（x+1）（x﹣3）得y＝﹣6，
∴该图象与y轴交于点（0，﹣6），
故选：D．
4．解：二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）
①∵顶点坐标为（m，﹣m+1）且当x＝m时，y＝﹣m+1
∴这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上
故结论①正确；
②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形
令y＝0，得﹣（x﹣m）2﹣m+1＝0，其中m≤1
解得：x1＝m﹣，x2＝m+
∵顶点坐标为（m，﹣m+1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形
∴|﹣m+1|＝|m﹣（m﹣）|
解得：m＝0或1，
当m＝1时，二次函数y＝﹣（x﹣1）2，此时顶点为（1，0），与x轴的交点也为（1，0），不构成三角形，舍去；
∴存在m＝0，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形
故结论②正确；
③∵x1+x2＞2m
∴
∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）的对称轴为直线x＝m
∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离
∵x1＜x2，且a＝﹣1＜0
∴y1＞y2
故结论③错误；
④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，且a＝﹣1＜0
∴m的取值范围为m≥2．
故结论④正确．
故选：C．
5．解：∵二次函数图象的形状与的形状相同，即二次项系数|a|相同，
∴所求函数解析式的二次项系数为，
∵顶点坐标是（4，﹣2），
∴这个函数的解析式为或，
故选：B．
6．解：A、∵抛物线开口向上，
∴函数有最小值，故本选项正确；
B、当﹣1＜x＜3时，y＜0，故本选项错误；
C、∵抛物线开口向上，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，故本选项正确；
D、∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，故本选项正确．
故选：B．
7．解：令y＝x2﹣kx+k﹣1＝0，
△＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0，
即抛物线交x轴有两个的交点，①错误；
当x＝1时，y＝1﹣k+k﹣1＝0，
即抛物线总是经过一个定点（1，0），②正确；
当k＝4时，y＝x2﹣4x+3，
令y＝x2﹣4x+3＝0，
解得x＝3或1，
则AB＝3﹣1＝2，③错误；
y＝x2﹣kx+k﹣1＝0顶点坐标为（，），
当x＝时，y＝﹣（x﹣1）2＝﹣，
即抛物线的顶点在y＝﹣（x﹣1）2图象上，④正确；
当k＝1时，y＝x2﹣x，此时△ABC不是等腰三角形，⑤错误；
正确的有②④，
故选：D．
8．解：设抛物线P'上任意一点（x，y），
则点（x，y）原点旋转180°后对应的点为（﹣x，﹣y），
∴﹣y＝x2﹣4ax﹣3，
∴抛物线P'的解析式为y＝﹣x2+4ax+3，
∵y＝﹣x2+4ax+3＝﹣（x﹣2a）2+4a2+3，
当x＝2a时，y有最大值4a2+3，
∵1≤x≤3，
①当2a＜1时，即a＜，x＝1时y有最大值，
∴2+4a≤3，
∴a≤，
此时a≤；
②当2a＞3时，即a＞，x＝3时y有最大值，
∴﹣6+12a≤3，
∴a≤，
此时a不存在；
③当1≤2a≤3时，即≤a≤，x＝2a时y有最大值，
∴4a2+3≤3
∴a＝0，
此时a不存在；
综上所述：0＜a≤，
故选：A．
9．解：如图所示：
设在10秒时到达A点，在26秒时到达B，
∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同，
∴A，B关于对称轴对称．则从A到B需要16秒，则从A到D需要8秒．
∴从O到D需要10+8＝18秒．
∴从O到C需要2×18＝36秒．
故选：B．
10．解：∵函数的对称轴为x＝1，
∴b＝﹣2，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x，
当x＝﹣1时，y＝3，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝4时，y＝8，
∵函数图象开口向上，
∴当﹣1＜x＜4时，y的取值范围为﹣1≤y＜8，
∵关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，
∴﹣1≤t＜8，
故选：C．
二．填空题（满分18分）
11．解：∵抛物线y＝﹣2（x+3）2﹣4的a＝﹣2＜0，
∴该抛物线有最大值，
即抛物线有最高点，
此点坐标为（﹣3，﹣4），
故答案为：高，（﹣3，﹣4）．
12．解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
所以A（﹣1，0），B（3，0）．
故答案为：（﹣1，0），（3，0）．
13．解：（1）抛物线的对称轴为：直线x＝﹣＝1，
故答案为：直线x＝1；
（2）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1（a＜0），
∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，当x＝1时，取得最大值﹣a﹣1，
∵当﹣2≤x≤2时，y的最大值是1，
∴x＝1时，y＝﹣a﹣1＝1，得a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣1）2+1，
∵﹣2≤x≤2，
∴x＝﹣2时，取得最小值，此时y＝﹣2（﹣2﹣1）2+1＝﹣17，
故答案为：﹣17．
14．解：∵二次函数y＝x2﹣6x+c的图象的顶点坐标为（3，c﹣9），
∴32+（c﹣9）2＝52，
解得c＝13或c＝5．
故答案为：13或5．
15．解：由题意得：
h＝﹣5t2+20t+1.5
＝﹣5（t﹣2）2+21.5，
∵a＝﹣5＜0，
∴当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5．
故答案为：21.5．
16．解：如图所示：∵y＝x2﹣2x﹣3，当y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
当直线y＝x+b过（﹣1，0）时，b＝1，
当直线y＝x+b过（3，0）时，b＝﹣3，
故当﹣3＜b＜1时，直线y＝x+b与图象M有且只有两个公共点，
当直线y＝x+b与抛物线y＝x2﹣2x﹣3有一个交点，
则x2﹣3x﹣3﹣b＝0有两个相等的实数根，
故Δ＝b2﹣4ac＝9+4（3+b）＝0，
解得：b＝﹣，
综上所述：直线y＝x+b与图象M有且只有两个公共点，则b的取值范围是：﹣3＜b＜1或b＝﹣．
故答案为：﹣3＜b＜1或b＝﹣．
三．解答题（满分72分）
17．解：（1）根据题意得，
解得，
所以二次函数的解析式为y＝x2﹣2，
所以这个二次函数的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣2）；
（2）当x＝﹣3时，y＝x2﹣2＝（﹣3）2﹣2＝7，
所以点（﹣3，7）在这个二次函数图象上．
（3）函数图象如下图所示：
当y＝0时，x2﹣2＝0，
解得x＝﹣或x＝，
则A（﹣，0）、B（，0），
由函数图象知函数值y为负数时，﹣＜x＜．
18．解：（1）∵抛物线L1：y＝﹣x2+bx+c经过点A（2，2），抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+2；
（2）设抛物线L2的顶点记为D（m，n），则E（m，0），如图，
∴DE＝|n|，DE∥y轴，
∵A（2，2），C（2，﹣1），
∴AC＝2﹣（﹣1）＝3，AC∥y轴，
∴AC∥DE，
又AD＝，AE＝，
∵以A、C、D、E为顶点的四边形为菱形，
∴DE＝AC，即|n|＝3，
∴n＝±3，
①当n＝3时，D（m，3），E（m，0），
∵AD＝AC＝3，
∴AD2＝9，即（m﹣2）2+（3﹣2）2＝9，
解得：m＝2+2或2﹣2，
∴D（2+2，3）或（2﹣2，3）；
②当n＝﹣3时，D（m，﹣3），E（m，0），
∵AE＝AC＝3，
∴AE2＝9，即（m﹣2）2+（0﹣2）2＝9，
解得：m＝2+或2﹣，
∴D（2+，﹣3）或（2﹣，﹣3）；
综上所述，点D的坐标为（2+2，3）或（2﹣2，3）或（2+，﹣3）或（2﹣，﹣3）．
19．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴当0＜x＜1时，当x＝0时，y有最大值为﹣3，当x＝1时，y有最小值为﹣4，
当1＜x＜3时，当x＝3时，y有最大值为0，当x＝1时，y有最小值为﹣4，
∴当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0．
20．解：（1）从图象看，方程ax2+bx+c＝0的两个根为x＝﹣3或﹣1；
（2）从图象看，﹣3＜x＜﹣0.5时，ax2+bx+c＜x+k，即ax2+bx+c﹣x﹣k＜0；
（3）从图象看x＜﹣2时，y随x的增大而减小；
（4）设y＝m，当m＞﹣2时，y＝m与y＝ax2+bx+c有两个交点，
故m＞﹣2．
21．解：（1）根据题意可得：一条对角线的长为xcm，则另一对角线长为：（60﹣x），
则S＝x（60﹣x）＝﹣x2+30x；
（2）由①得：S＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣30）2+450，
故当x是30cm时，菱形风筝的面积S最大，最大的面积是450cm2．
（3）当0＜x＜30时，S随着x的增大而增大；
当30＜x＜60时，S随着x的增大而减小．
22．解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴△＝22+4m＞0
∴m＞﹣1；
（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），
∴0＝﹣9+6+m
∴m＝3，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
∴，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3，
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3，的对称轴为：x＝1，
∴把x＝1代入y＝﹣x+3得y＝2，
∴P（1，2）．
（3）根据函数图象可知：x＜0或x＞3．
23．解：（1）设y＝kx+b，
根据题意，得：，
解得：，
∴y＝﹣3x+108 （20≤x≤27）；
（2）由题意得：P＝（x﹣20）（﹣3x+108）
＝﹣3x2+168x﹣2160
＝﹣3（x﹣28）2+192，
∵x＜28时，P随x的增大而增大，
∴当x＝27时，P取得最大值，最大值为189，
答：销售价格定为27元时，才能使每天获得的利润P最大，最大利润是189元．
24．解：（1）对于抛物线y＝ax2+（1﹣3a）x﹣3（a＞0），令y＝0，
则有ax2+（1﹣3a）x﹣3＝0，
解得x＝3或﹣＜0（在x轴的负半轴上），
∴点B（3，0），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
联立BC、ED的表达式并解得：x＝4，y＝1，
∴点P坐标为（4，1）．
（2）设D（x1，﹣x1+5），E （x2，﹣x2+5），
则PD＝（4﹣x1），PE＝（4﹣x2），
∴PD PE＝2[16﹣4（x1+x2）+x1x2]，
又∵，
ax2+（2﹣3a）x﹣8＝0，
x1+x2＝，x1x2＝﹣，
∴PD PE＝2×4＝8；
（3）AB＝|xB﹣xA|＝，
作CE⊥AB于E，则CE＝，
又＝2，
＝2×，
＝，
∴b2﹣4ac＝．