2022-2023学年北京市顺义区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市顺义区高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. “”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 数列是等差数列，若，则( )
A. B. C. D.
5. 某班一天上午有节课，下午有节课现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法种数有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6. 下列给出四个求导的运算：；；；其中运算结果正确的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7. 在道试题中有道代数题和道几何题，每次从中随机抽出道题，抽出的题不再放回在第次抽到代数题的条件下，第次抽到几何题的概率是( )
A. B. C. D.
8. 已知为等比数列，下面结论中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. D.
9. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A. 当时，函数取得极大值
B. 当时，函数取得极小值
C. 当时，函数取得极大值
D. 当时，函数取得极小值
10. 某银行在年给出的大额存款的年利率为，某人存入元大额存款，按照复利，年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
11. 计算： ______ 用数字作答
12. 函数的定义域是______ ．
13. 二项式的展开式中常数项的值为 ．
14. 若幂函数在上单调递减，在上单调递增，则使是奇函数的一组整数，的值依次是______ ．
15. 已知，函数给出下列四个结论：
当，函数无零点；
当时，函数恰有一个零点；
存在实数，使得函数有两个零点；
存在实数，使得函数有三个零点．
其中所有正确结论的序号是______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
已知．
求的值；
求的值．
17. 本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求函数在区间上的最大值与最小值．
18. 本小题分
，两组各有位病人，他们服用某种药物后的康复时间单位：天记录如下：
组：，，，，，，
组：，，，，，，
假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．
求甲的康复时间不多于天的概率；
若康复时间大于天，则认为康复效果不佳设表示甲、乙人中的康复效果不佳的人数，求的分布列及数学期望；
组病人康复时间的方差为，组病人康复时间的方差为，试判断与的大小结论不要求证明
19. 本小题分
已知为等差数列，为其前项和若，设．
求证：数列是等比数列；
设，求数列的前项和．
20. 本小题分
已知函数．
若对任意时，成立，求实数的最大值；
若，求证：；
若存在，使得成立，求证：．
21. 本小题分
已知整数数列满足：；．
Ⅰ若，求；
Ⅱ求证：数列中总包含无穷多等于的项；
Ⅲ若为中第一个等于的项，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，，
所以．
故选：．
根据集合交集运算可得．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为，．
故选：．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3.【答案】
【解析】
【分析】
直接利用充分条件和必要条件的判断方法判断即可．
本题考查充分条件和必要条件的判定，基本知识的考查，注意条件与结论的判断．
【解答】
解：因为“”“”，而“”推不出“”，
所以“”是“”充分不必要条件．
故选：．

4.【答案】
【解析】解：因为数列为等差数列，且，
所以，
因为，
所以，
所以，所以．
故选：．
利用等差数列的性质结合已知条件求解．
本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有种，
再排其余节，有种，
根据乘法原理，共有种方法．
故选：．
先排数学、体育，再排其余节，利用乘法原理，即可得到结论．
本题考查排列组合的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，故正确；
，故正确；
，故错误；
，故正确．
故选：．
根据题意，由导数的运算法则以及复合函数的求导运算，即可得到结果．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：设事件“第次抽到代数题”，事件“第次抽到几何题”，
所以，则．
故选：．
根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：设等比数列的公式为，
对于，若，则，得，所以或，
所以或，所以A错误；
对于，若，则，即，
所以，则其正负由的正负确定，所以B错误；
对于，，当，同正时，，当且仅当时取等号，当，时，所以C错误；
对于，因为，当且仅当时取等号，所以D正确．
故选：．
对于，利用等比数列的通项公式分析判断，对于，利用等比数列的通项公式结合基本不等式分析判断即可．
本题主要考查了等比数列的性质，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由图可得，时，，单调递减，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
故当时，函数取得极小值．
故选：．
由图分段讨论可得的正负，从而得到的单调性，进而找到极值点．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查数形结合思想，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：存入元大额存款，按照复利，
可得每年末本利和是以为首项，为公比的等比数列，
所以，可得．
故选：．
利用等比数列的通项公式、二项展开式计算可得答案．
本题主要考查数列的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：．
根据题意，由对数的运算，即可得到结果．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由题意得：
，解得：且，
故答案为：．
根据对数函数以及分母不是，得到关于的不等式，解出即可．
本题考查了对数函数的性质，考查求函数的定义域问题，是一道基础题．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具，属于基础题．
求出二项展开式的通项公式，令的指数为，即可求出常数项．
【解答】
解：展开式的通项为，
令得，
故展开式的常数项为．
故答案为：．

14.【答案】、答案不唯一
【解析】解：因为幂函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，又因为是奇函数，
所以，需要满足为小于的奇数，为大于的奇数．
故答案为：、答案不唯一．
根据题意，由幂函数的性质即可得到结果．
本题主要考查了幂函数的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：对于，当，当，，，单调递减，
当，，，单调递增，
又，且当，，所以此时函数无零点，正确；
对于，当，当，，，
令，得，当，，单调递增，
当，，单调递减，
当，，，单调递增，
由于，且当，，当，，
所以此时函数只有一个零点，正确；
对于，不妨令，
当，，，单调递减，
由于当，，所以当，函数无零点，
当，，，令，得，
当，，单调递减，
当，，单调递增，
又，，
所以当，函数有个零点，正确；
对于，当，显然函数没有零点，
结合前面分析可知，只有当，函数可能有个零点，
当，当，，，单调递减，
由于当，，所以当，函数无零点，
当，，，令，得，
若，，单调递增，
若，令，得，
当，，单调递减，
当，，单调递增，
可见此时函数至多个零点，错误．
故答案为：．
利用导数即可研究函数单调性、最值，分类讨论结合命题依次判断即可．
本题主要考查函数的单调性和最值，属中档题．
16.【答案】解：，
令，可得．
由二项式定理，得
因为，
由可得，，．
所以．
【解析】在所给的等式中，令，可得的值．
由题意利用二项展开式的通项公式，求得、、的值，可得要求式子的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．
17.【答案】解：函数，
，
又，
，
曲线在点处的切线方程为，即；
，
令，解得或，
当变化时，，的变化情况如表所示：
单调递增 单调递减 单调递增
又时，，时，，
当时，在上的最大值为，
当时，在上的最小值为．
【解析】根据导函数在的值，可求出切线斜率，根据点斜式写出切线方程；
根据导函数，确定单调区间，进而可得最值．
本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：设甲的康复时间不多于天为事件，
组中的数据共有个，基本事件共有种，且相互独立，
又组中的数据不多于天的有个，即事件中包含的基本事件有个，
甲的康复时间不多于天的概率，
甲康复效果不佳的概率，
乙康复效果不佳的概率，
表示甲、乙人中的康复效果不佳的人数，
的可能取值是，，，
表示甲、乙人中的康复效果不佳的人数为，
，
表示甲、乙人中的康复效果不佳的人数为，
，
表示甲、乙人中的康复效果不佳的人数为，
，
的分布列为：
的数学期望为．
．
根据组：，，，，，，，组：，，，，，，，
组数据波动性较大，所以．
【解析】根据古典概型公式计算即可；
根据步骤求出离散型随机变量的分布列及数学期望；
结合数据应用波动情况判断方差的大小．
本题考查古典概型的概率公式的应用，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．
19.【答案】解：证明：设等差数列的公差为，
则通项公式为，
，
，
，
，
，
又，
则，
，
即数列是等比数列，公比为，首项．
由知数列是等比数列，公比为，首项，
，
，
数列的前项和
．
【解析】设等差数列的公差为，则由可求出公差，从而可求得，则可得，然后计算即可得结论；
由可得，然后利用分组求和法可求得．
本题考查等比数列的判断以及分组求和法的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
20.【答案】解：，
，
令，解得，
在单减，在上单增，
在取得极小值，也是最小值，
时，成立．
只需即可，
实数的最大值为．
证明：设，
，
在上单调递减，
，
，
即．
法一：
证明：存在时，便得成立，
，
，
令，由可知，
由知在上单调递减，
即，
，即，
，
由，知，
，即，
．
法二：，，
，
在上单调递减，在上单调递增．
存在时，使得成立，
，且，
，
令，
，
在上单调递增，
又，
，即，即，
在上单调递增，
，即．
【解析】根据题意，求导得到极值，即可得到结果；
根据题意，构造，，然后求导得到，即可证明；
方法一：由条件可得，令，然后结合中的结论即可证明；
方法二：结合条件可得，然后令，然后由函数的单调性即可证明．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值，以及利用导数证明不等式问题，难度较难，解答本题的关键在于构造出合适的函数，然后利用导数去研究．
21.【答案】解：Ⅰ由题意可知若，则，，
若，则，不符合题意，
所以，此时有或；
Ⅱ证明：由于数列为整数数列，且，
根据数列的递推规律可知为正整数，
设为数列的最小值，则为奇数，
由于，所以有，即，
又的取值为正整数，所以，
当出现第一个，则，，，
以此类推数列中总包含无穷多等于的项；
Ⅲ证明：若，不等式显然成立，
若，不妨设，，，令，
若为奇数，则为偶数，由于，所以接下来不管是奇是偶，
都有，当时，等号成立，
若为偶数，则接下来中至少出现一个奇数，所以，
所以当不为左右端点时，，
当为左右端点时，，即，
若，则，，，，，，，，
，位于区间，，位于区间，，，位于区间，
以此类推可知此时，
若，则不会总是在一个区间内出现一奇一偶，所以此时，
所以，
综上可知，．
【解析】Ⅰ根据题意由进行倒推即可；
Ⅱ由于数列为整数数列，且，根据数列的递推规律可知为正整数，设为数列的最小值，则为奇数，若为偶数，不可能为最小值，而后建立关于的不等式得出的范围即可；
Ⅲ若，不等式显然成立，若，不妨设，，，令，接下来分为奇数和偶数的情况进行讨论，若，则，，，此时，若为奇数，则为偶数，由于，所以接下来不管是奇是偶，都有，当时，等号成立，而后再对为偶数进行讨论即可．
本题主要考查数列的递推式，属中档题．
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