21.2.2 公式法同步练习题（含答案）

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第3课时 公式法
知识点①一元二次方程根的判别式
1.一般地，式子_叫做一元二次方程ax +bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示.
计算根的判别式时，先将方程化成_，确定a，b，c的值，然后再计算.
2.用公式法解一元二次方程2x -3x=1时，化方程为一般形式后，计算b -4ac的值为( )
A.17 B.1 C.9 D.5
知识点 ②由一元二次方程根的判别式判断根的情况
3.一元二次方程ax +bx+c=0的根的情况可由b -4ac的符号来判断：
(1)b -4ac _(0时，方程有两个不相等的实数根；
(2)b -4ac __0时，方程有两个相等的实数根；
(3)b -4ac _0时,方程没有实数根.
题型1已知方程，判别方程根的情况
4.下列一元二次方程无实数根的是( )
A. x +x-2=0B. x -2x=0
C. x +x+5=0D. x -2x+1=0
5.一元二次方程x +x-1=0的根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个相等的实数根
D.只有一个实数根
题型2已知方程根的情况，求字母的范围(值)
6.关于x的一元二次方程kx +2x-1=0有两个相等的实数根,则k= ( )
A.-2B.-1C.0D.1
7.关于x的一元二次方程2x +x-k=0没有实数根，则k的取值范围是 ( )
8.已知关于x的一元二次方程(m-1)x +2x-3=0有实数根，则m的取值范围是( )
且m≠1 且m≠1
知识点③用公式法解一元二次方程
9.利用求根公式解一元二次方程的一般步骤：
先将方程化为_,确定 a,b,c的值，同时注意它们的_；再讨论b -4ac的值是否为_；最后利
用_求方程的解.
10.一元二次方程x +4x-8=0的解是( )
题型①类比换元法在解一元高次方程中的应用
12.阅读材料，回答问题.
　　材料：为解方程x -x -6=0,可将方程变形为(x ) -x -6=0,然后设x =y,则(x ) =y ,原方程化为y -y-6=0.①
解得y = -2,y =3.
当y=-2|时,x =-2,无意义，舍去；
当y=3时,,x =3,解得
所以原方程的解为
(1)在由方程x -x -6=0得到方程①的过程中，利用_法达到了降次的目的，体现了_的数学思想.
(2)利用上面的解题方法，解方程：(x -x) -4(x -x)-12=0.
题型②因式分解法在求字母值中的应用
13.定义：如果两个一元二次方程只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x +3x=0与x +2x+m-1=0为“友好方程”,则m的值为 ( )
A.-1 B.-16 C. -1 或-4 D.1 或-2
14.已知关于x，y的方程组 与 的解相同.
(1)求a,b的值;
(2)若一个三角形的一条边的长为2 ，另外两条边的长是关于x的方程x +ax+b=0的解，试判断该三角形的形状，并说明理由.
15.设 是一个两位数，其中a是十位上的数字(1≤a≤9).例如，当a=4时,，a5表示的两位数是45.
(1)尝试:
①当a=1时,15 =225=1×2×100+25;
②当a=2时,25 =625 =2×3×100+25;
③当a=3时,,35 =1 225=_;
……
(2)归纳: 与100a(a+1)+25有怎样的大小关系 试说明理由.
(3)运用:若 与 100a的差为2 525,求a的值.
1. b -4ac;一般形式 2. A
3.(1)> (2)= (3)< 4. C 5. A 6. B 7. A8. D9.一般形式；符号；非负数；求根公式10. D
11.解:(1)∵a=1,b= -2,c= -5,
∴b -4ac=(-2) -4×1×(-5)=24.
即
(2)化简,得3y -4y-7=0.
∵a=3,b=-4,c=-7,
∴b -4ac=(-4) -4×3×(-7)=16+84=100.
即
12.解:设x-3=y,则原方程可化为2y +3y-5=0.
∵a=2,b=3,c= -5,
∴Δ=b -4ac=3 -4×2×(-5)=49>0.
即
当y=1时,x-3=1,解得x=4;
当 时, 解得
∴原方程的解为
13.解:(1)由题意得Δ=(-3) -4k≥0,解得
(2)由(1)知k的最大整数值为2.
∴方程x -3x+k=0即为x -3x+2=0,
解得x =1,x =2.
∵一元二次方程(m-1)x +x+m-3=0与方程
x -3x+2=0有一个相同的根，
∴当相同的根为x=1时,m-1+1+m-3=0,
解得
当相同的根为x=2时,4(m-1)+2+m-3=0,
解得 m=1.
又∵
14. B
15.解:(1)Δ=b -4a =(a+2) -4a=a +4a+
4-4a=a +4.
∵a >0,∴Δ>0.
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴△=b -4a=0.
若b=2,a=1,则方程为x +2x+1=0,解得x =x =-1.(答案不唯一)
16.证明：(1)原方程变形为3x -(4b+4c-2a)x+abc-a =0,
则Δ=(4b+4c-2a) -12(4bc-a ) =16b +16c +16a -16ab -16bc- 16ac=8[(a-b) +(b-c) +(a-c) ].
∵(a-b) ≥0,(b-c) ≥0,(a-c) ≥0,
∴Δ≥0.
∴此方程必有实数根.
(2)∵方程有两个相等的实数根，
△=8[(a-b) +(b-c) +(a-c) ]=0.
∴a-b=0,b-c=0,a-c=0.
又∵a，b，c为三角形的三边长，
∴a=b≠0,b=c≠0,a=c≠0.
∴a=b=c≠0.
∴△ABC为等边三角形.