21.3 实际问题与一元二次方程同步练习题（含答案）

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21.3 实际问题与一元二次方程_
第1课时 建立一元二次方程模型解应用问题
知识点①传播问题
1.有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是( )
A.14B.11C.10D.9
知识点②计数问题
2. 2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛 ( )
A.6B.10C.7D.9
知识点③数字问题
3.在 2023年6月的日历表上可以用一个方框圈出4个数(如图所示)，若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数.
题型①一元二次方程在解一次函数问题中的应用
4. 2022 北京冬奥会期间,某网店直接从工厂购进A，B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：(注：利润=销售价-进货价)
类别 价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣
进货价（元／件） 30 25
销售价（元／件） 45 37
(1)网店第一次用850 元购进 A，B 两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数.
(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进 A，B 两款冰墩墩钥匙扣共 80件(进货价和销售价都不变)，且进货总价不高于2 200 元.应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少
(3)冬奥会临近结束时，网店打算把 B 款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售
4件.经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为 90元
题型②一元二次方程在解规律计数问题中的应用
5.如图，用同样规格的黑、白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题.
(1)在第n个图中，第一横行共有_块瓷砖，第一竖列共有_块瓷砖.(用含n的代数式表示)
(2)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值.
(3)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形 请通过计算进行说明.
第2课时 百分率问题
类型①增长率的应用
1.受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势.某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是.9元/升.设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程
为_.
2.某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3，4月份共生产再生纸800 吨，其中4月份再生纸产量比3月份的2倍少100 吨.
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为 1 000 元，5月份再生纸产量比上月增加m%，5月份每吨再生纸的利润比上月增加 %,则5月份再生纸项目利润达到66万元，求m的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为 1 200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%，求6月份每吨再生纸的利润是多少元.
3.某种
商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是( )
A.150(1-x ) =96B.150(1-x)=96
C.150(1-x) =96D.150(1-2x)=96
4.某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同.
(1)求该商品每次降价的百分率
(2)若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价
第 3课时 几何问题
类型①不规则图形的应用
1.要在一块长52 m、48 m的矩形绿地上修建同样宽的两条互相垂直的甬路. 如图分别是小亮和小颖的设计方案.
(1)求小亮设计方案中甬路的宽度；
(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积.
(友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x的取值相同)
2.如图,在长为50m、宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1 260 m ，道路的宽应为多少
3.一家广告公司制作广告的收费标准是：按面积收费，在不超过规定面积a(m )的范围内，每张广告收费 100元，若超过a(m )，则除了要收取 100元的基本广告费以外，超过部分还要按每平方米5a元收费.下表是该公司为两家用户制作广告的面积及相应收费情况的记录：
单位 广告的面积/m 收费金额／元
甲公司 6 140
乙公司 3 100
　红星公司要制作一张大型公益广告，制作广告的材料形状是矩形，并且四周各留0.5m
宽的空白，空白部分的面积为49 m .已知矩形材料的长与宽之比为3：2，并且空白部分
不收广告费，那么这张广告的费用是多少
第1课时 建立一元二次方程模型解应用问题
1. B
2. B 点拨：设共有x支队伍参加比赛.
根据题意，得
解得x=10 或x=-9(舍去).
故共有10支队伍参加比赛.
3.解：设这个最小数为x，则最大数为x+8.
依题意得x(x+8)=65.
整理，得x +8x-65=0,
解得x =5,x = -13(不合题意，舍去).
答：这个最小数为5.
4.解:(1)设购进 A 款钥匙扣x件,B 款钥匙扣y件.
依题意得 解得
答:购进A 款钥匙扣 20 件,B 款钥匙扣 10件.
(2)设购进m件 A 款钥匙扣,则购进(80-m)件B款钥匙扣.
依题意得30m+25(80-m)≤2 200,
解得 m≤40.
设再次购进的 A，B 两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为 w元,则 w =(45 -30)m+(37-25)(80-m) =3m+960.
∵3>0,∴w随m的增大而增大.
∴当m=40时,w取得最大值,最大值为3×40+960=1 080,此时80-m=80-40=40.
答:当购进40 件 A 款钥匙扣,40 件 B 款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1 080 元.
(3)设 B款钥匙扣的售价定为每件a元，则每件的销售利润为(a-25)元，平均每天可售出4+2(37-a)=78-2a(件).
依题意得(a-25)(78-2a)=90,
整理得a -64a+1 020=0,
解得a =30,a =34.
答：将销售价定为每件30 元或34 元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元.
5.解:(1)(n+3);(n+2)
(2)由题意得(n+3)(n+2)=506,
解得n =20,n = -25((舍去).
即此时n的值为20.
(3)当黑、白瓷砖块数相等时，可得方程n(n+1)=(n+3)(n+2)-n(n+1).
整理，得n -3n-6=0,
解得
由于n的值应为正整数，
故不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形.
第2课时 百分率问题
1.6.2(1+x) =8.9
2.解：(1)设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为(2x-100)吨.
依题意得x+2x-100=800,解得x=300.
故2x-100=2×300-100=500.
答：4月份再生纸的产量为 500 吨.
　(2)依题意得 660 000,整理得m +300m-6 400=0,
解得m =20,m = -320((不合题意，舍去).
故 m的值为 20.
(3)设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨.
依题意得1 200(1+y) ·a(1+y)=(1 +25% )×1 200(1+y)·a,故1 200(1 +y) =1 500.
答：6月份每吨再生纸的利润是 1 500 元.
3. C
4.解：(1)设该商品每次降价的百分率为x.
由题意得60(1-x) =48.6,
解得x =0.1 =10% ,x =1.9((舍去).
答：该商品每次降价的百分率是 10%.
2)设第一次降价售出a件，则第二次降价售出(20-a)件.
由题意得[60(1 -10% ) -40]a+(48.6-40) ×
(20-a)≥200,解得
因为a为整数，所以a的最小值是6.
答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价.
第3课时 几何问题
1.解：(1)根据小亮的设计方案列方程得(52-x).(48-x)=2 300,
解得x=2或x=98(舍去).
答：小亮设计方案中甬路的宽度为2m .
(2)过点 A作AI⊥CD,垂足为点 I.
∵AB∥CD,∠1=60°,∴∠ADI=60°.
∴∠IAD=30°.
∵BC∥AD,∴四边形ADCB 为平行四边形.
∴BC=AD.
由(1)得x=2,∴BC=HE=2m =AD.
在 Rt△ADI中,AD=2m ,∠IAD=30°,
∴ID =1m .
小颖设计方案中四块绿地的总面积为52×
2.解：设道路的宽应为xm.
根据等量关系列方程得(50-2x)(38 -2x) =1 260,解得x=4或x=40(不合题意,舍去).
答：道路的宽应为 4m .
3.解:依题意得 100+(6-a)×5a=140.
整理得a -6a+8=0,解得a =2,a =4.
∵a≥3,∴a=4.
设矩形材料的长为3xm，则宽为2xm.
依题意,得3x·2x-(3x-0.5×2)·(2x-0.5×2)=49,解得x=10.
∴3x·2x=600.
100+4×5×(600-49-4)=11 040(元).
答:这张广告的费用是 11 040 元.