第二十一章 一元二次方程的六种解法同步练习题（含答案）

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一元二次方程的六种解法
解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法，有些特殊方程还可以用换元法等.在具体的解题过程中，结合方程的特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果.
方法①用直接开平方法解方程
1.方程(4x-1) =225的解是_.
方法②用配方法解方程
2.解方程:2x -4x-30=0.
方法③用公式法解方程
3.解方程:x =6x+1.
方法④用因式分解法解方程
4.解下列方程：
(1)x +4x-5=0; (2)(x-3) =2(3-x).
方法⑤用适当的方法解方程
5.解方程:3(x-5) =x -25.
6.解方程:(x+1)(x-1)+2(x+3)=8.
方法⑥用换元法解方程
7.小明同学遇到这样一个问题：已知关于x的方程a(x+m) +b=0(a,b,m为常数,a≠0)的解是
x = -3,x =2,求方程a(x+m+1) +b=0的解. 他用“换元法”解决了这个问题. 我们一起来看看小明同学的具体做法.
解：在方程a(x+m+1) +b=0中,令y=x+1，则方程可变形为a(y+m) +b=0.
根据关于x的方程a((x+m) +b=0的解是x = -3,x =2,可得方程a(y+m) +b=0
的解是.y = -3,y =2.
把y=-3代入y=x+1得,x= -4;
把y=2代入y=x+1得,x=1.
则方程。a(x+m+1) +b=0的解是x =-4,x =1.
【理解】已知关于x的一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)有两个实数根 m,n.
(1)关于x的方程 的两根分是_(用含有m，n的代数式表示)；
(2)方程_的两个根分别是2m,2n(写出一个即可).
【猜想与证明】
(3)观察下表中每个方程的解的特点：
方程 方程的解 方程 方程的解
x +3=0 x x=-3, 3x +4x x =- / , x =-1
2x -7x+3=0 x =1/2, x =3 3x -7x+2=0 x =2, x = /
… … … …
　猜想：方程ax +bx+c=0(a≠0,c≠0,b -4ac≥0)的两个根与方程_的两个根互为倒数；
(4)仿照小明采用的“换元法”，证明你的猜想.
2.解:2x -4x-30=0,x -2x=15,
x -2x+1=15+1,(x-1) =16,x-1 = ±4.
∴x =5,x = -3.
3.解:x =6x+1,即x -6x-1 =0.
∵Δ=(-6) -4×1×(-1)=40,
4.解:(1)∵x +4x-5 =0,
∴(x+5)(x-1)=0,
则x+5=0或x-1=0,解得x= -5 或x=1.
(2)∵(x-3) =2(3-x),
∴(x-3) +2(x-3)=0.
∴(x-3)(x-1)=0.
则x-3=0或x-1 =0,解得x=3或x=1.
5.解:3(x-5) =x -25,
3(x-5) =(x+5)(x-5),
3(x-5) -(x+5)(x-5)=0,
(x-5)[3(x-5)-(x+5)]=0,
(x-5)(2x-20)=0,
x-5=0或2x-20=0.
∴x =5,x =10.
6.解:(x+1)(x-1) +2(x+3) =8,
x -1+2x+6=8,x +2x=3,
x +2x+1 =3+1,(x+1) =4,x+1 = ±2.
∴x =1,x = -3.
7.(1)m ,n 点拨：令
∴方程 可化为ay +by+c=0.
又∵ax +bx+c=0(a≠0)有两个实数根 m，n，
∴y=m或y=n.
或
∴x=m 或x=n .
(2)ax +2b x +4c=0点拨：∵方程ax + bx +c=0(a≠0)有两个实数根m，n，
∵方程的两个根分别是2m，2n，
∴方程ax +2bx+4c=0的两个根为2m,2n.(答案不唯一)
(3)cx +bx+a=0
(4)证明:由cx +bx+a=0两边同除以x ，得
设 方程可变形为ay +by+c=0.
设方程ax +bx+c=0的解是x =m,x =n,
可得方程ay +by+c=0的解是y =m,y =n.
y=m代入 得 把y=n代入y= 得
则方程cx +bx+a=0的解是
即方程ax +bx+c=0的两个根与方程cx +bx+a=0的两个根互为倒数.