21.2.3 因式分解法同步练习题（含答案）

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第4课时 因式分解法
知识点①用因式分解法解一元二次方程
1.因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
(1)右化0：整理方程，使其右边为_；
(2)左分解：将方程左边分解为_的乘积；
(3)两因式(方程)：两个因式的值分别为0，降次得到两个_；
(4)各求解：分别解这两个一元一次方程，得到原方程的解.
2.方程x -2x-24=0的根是( )
A. x =6,x =4B. x =6,x = -4
C. x = -6,x =4D. x = -6,x = -4
3.若x ,x 是方程x -2x-3=0的两个实数根，则 的值为 ( )
A.3或-9B.-3或9
C.3或-6D.-3或6
4.一元二次方程(x-2)(x+7)=0的根是_.
5.方程2x + 1 = 3x的解为_.
6.解方程:x -2x-3=0.
知识点②用适当的方法解一元二次方程
7.一元二次方程的四种解法：(1)_；(2)_;(3)_;(4)_.
8.解方程:2(x-1) =3x-3,最适当的方法是( )
A.直接开平方法B.配方法
C.公式法D.因式分解法
9.方程9(x+1) -4(x-1) =0的正确解法是( )
A.直接开平方得3(x+1)=2(x-1)
B.化成一般形式为13x +5=0
C.分解因式得[[3(x+1) +2(x-1)][3(x+1)-2(x-1)]=0
D.直接得x+1=0或x-1=0
10.小敏与小霞两名同学解方程3(x-3)=(x-3) 的过程如下框：
小敏： 两边同除以(x-3),得 3=x-3, 则x=6. 小霞： 移项,得3(x-3)-(x-3) =0, 提取公因式,得(x-3)(3-x-3)=0.则x-3=0或3-x-3=0, 解得x =3,x =0.
你认为她们的解法是否正确 若正确请在框内打“ ”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程.
11.在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的解法，分别是配方法、公式法和因式分解法.请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程.
①x +2x-1=0;②x -3x=0;③x -4x=4;④x -4=0.
题型①类比换元法在解一元高次方程中的应用
12.阅读材料，回答问题.
　　材料：为解方程x -x -6=0,可将方程变形为(x ) -x -6 =0,然后设x =y,则(x ) =y ,原方程化为y -y-6=0.①
解得y = -2,y =3.
当y= -2时,,x = -2,无意义，舍去；
当y=3时,x =3,解得
所以原方程的解为
(1)在由方程x -x -6=0得到方程①的过程中，利用_法达到了降次的目的，体现了_的数学思想.
(2)利用上面的解题方法，解方程：(x -x) -4(x -x)-12=0.
题型②因式分解法在求字母值中的应用
13.定义：如果两个一元二次方程只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x +3x=0与x +2x+m-1=0为“友好方程”,则m的值为 ( )
A.-1 B.-16 C. -1 或-4 D.1 或-2
14.已知关于x，y的方程组 与 的解相同.
(1)求a,b的值;
(2)若一个三角形的一条边的长为2 ，另外两条边的长是关于x的方程x +ax+b=0的解，试判断该三角形的形状，并说明理由.
15.设a5是一个两位数,其中a是十位上的数字(1≤a≤9).例如，当a=4时,a5表示的两位数是45.
(1)尝试:
①当a=1时,15 =225 =1×2×100+25;
②当a=2时,25 =625 =2×3×100+25;
③当a=3时,3,35 =1 225 =_;
……
2)归纳: 与 100a(a+1)+25有怎样的大小关系 试说明理由.
(3)运用:若 与100a的差为2 525,求a的值.
16.证明：(1)原方程变形为3x -(4b+4c-2a)x+4bc-a =0,
则△=(4b+4c-2a) -12(4bc-a ) = 16b +16c +16a -16ab-16bc-16ac = 8[(a-b) +(b-c) +(a-c) ].
∵(a-b) ≥0,(b-c) ≥0,(a-c) ≥0,
∴Δ≥0.
∴此方程必有实数根.
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴△=8[(a-b) +(b-c) +(a-c) ]=0.
∴a-b=0,b-c=0,a-c=0.
又∵a，b，c为三角形的三边长，
∴a=b≠0,b=c≠0,a=c≠0.
∴a=b=c≠0.
∴△ABC为等边三角形.
1.(1)0 (2)两个一次因式 (3)一元一次方程2. B
3. A 4. x =2,x = -7
6.解：原方程可以变形为((x-3)(x+1)=0,
即x-3=0或x+1=0,
∴x =3,x = -1.
7.(1)直接开平方法 (2)配方法
(3)公式法 (4)因式分解法
8. D
9. C
10.解:小敏:× 小霞:×
正确的解答方法:移项,得3(x-3)-(x-3) =0.
提取公因式,得(x-3)(3-x+3)=0.
则x-3=0或3-x+3=0,角解得x =3,x =6.
11.解:①利用公式法:x +2x-1 =0,
Δ=2 -4×1×(-1)=4+4=8,
②利用因式分解法：x -3x=0,
∴x(x-3)=0.
∴x =0,x =3.
③利用配方法：x -4x=4,
两边都加上4，得x -4x+4=8,
∴(x-2) =8.
④利用因式分解法：x -4=0,
∴(x+2)(x-2)=0.
∴x = -2,x =2.
(任选两个即可)
.解:(1)换元;转化
(2)令x -x=y,则原方程可化为y -4y-12=0,
即((y+2)(y-6)=0,解得y = -2,y =6.
当y= -2时,.x -x= -2,即x -x+2=0,此方程无实数解；
当y=6时,.x -x=6,即(x+2)(x-3) =0,解得x = -2,x =3.
所以原方程的解为x = -2,x =3.
13. D 点拨:x +3x=0.
　分解因式,得x(x+3)=0,解得x =0,x = -3.
当x=0时,x +2x+m-1=0,即m-1=0,
解得m=1;
当x=-3时,x +2x+m-1=0,即9-6+m-1=0,
解得m= -2.
所以m的值为1或-2.
14.解：(1)由题意得，关于x，y的方程组的相同解，
就是方程组 的解，解得
把x=3,y=1代入 得 解得
把x=3,y=1代入x+by=15,得3+b=15,解得b=12.
(2)该三角形为等腰直角三角形.
理由：当 时，关于x的方程x +
ax+b=0 即为
解得
又∵(
∴以 为三边长的三角形是等腰直角三角形.
15.解:(1)③3×4×100+25
理由如下：
100a(a+1) +25.
(3)由题知
即100a +100a+25-100a=2 525,
解得a=5或a=-5(舍去).
∴a的值为5.