2022-2023学年贵州省黔西南州高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年贵州省黔西南州高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3. 直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
4. 已知在等差数列中，，，则( )
A. B. C. D.
5. 为提高新农村的教育水平，兴义市某校决定选派名优秀的教师到、、、四所学校进行为期一年的支教活动，每人只能去一所学校，每所学校至少派一人，则不同的选派方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6. 已知向量，，，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
7. 函数，上的图象大致为( )
A. B. C. D.
8. 已知点，分别是双曲线：的左、右焦点，过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 若，则下列结论不正确的是( )
A. B. C. D.
10. 为研究需要，统计了两个变量，的数据情况如表：
其中数据、、，和数据、、，的平均数分别为和，并且计算相关系数，回归方程为，如下结论正确的为( )
A. 点必在回归直线上，即
B. 变量，的相关性强
C. 当，则必有
D.
11. 已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题正确的有( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
12. 已知函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为，则以下说法正确的是( )
A. 若为偶函数，则
B. 若的一个对称中心为，则
C. 若在区间上单调递增，则的最大值为
D. 若在区间内有三个零点，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若，且为第三象限角，则 ．
14. 的展开式中含项的系数为______ ．
15. 一个球体被平面截下的一部分叫做球缺截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高，球缺曲面部分的体积，其中为球的半径，为球缺的高如图，若一个半径为的球体被平面所截获得两个球缺，其高之比为，则体积之比 ______ ．
16. 若曲线有两条过的切线，则的范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知等差数列的前项和为，，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
18. 本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，．
求角；
若的面积为，且，求的周长．
19. 本小题分
年月日，延期后的杭州亚运会迎来倒计时一周年，杭州亚组委发布宣传片亚运和主办城市推广曲最美的风景杭州某大学从全校学生中随机抽取了名学生，对是否收看宣传片的情况进行了问卷调查，统计数据如下，
收看 未收看
男生
女生
根据以上数据说明，依据小概率值的独立性检验，能否认为学生是否收看宣传片与性别有关？
现从参与问卷调查且收看了宣传片的学生中，按性别采用分层抽样的方法选取人，参加杭州年第届亚运会志愿者宣传活动若从这人中随机选取人到校广播站开展亚运会比赛项目宣传介绍记为人选的人中女生的人数，求随机变量的分布列及数学期望．
参考公式和数据：，．
20. 本小题分
如图所示，在四棱锥中，平面，，，且，．
求证：平面；
若为的中点，求与平面所成角的正弦值．
21. 本小题分
已知函数，．
若在上是增函数，求的取值范围；
若在上的最小值，求的取值范围．
22. 本小题分
已知，分别为椭圆：的左，右顶点，椭圆过点，且离心率为．
求椭圆的标准方程；
若为椭圆上异于，的一点，且直线，分别与直线：相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点，证明：，，三点共线．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，
，
则．
故选：．
求出集合，，利用交集定义能求出．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，所以，
所以．
故选：．
根据复数代数形式的除法运算化简，再计算模即可．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的倾斜角与斜率的知识点，考查由直线的方程求直线的斜率，直线的斜率和倾斜角的关系，应注意直线倾斜角的范围和特殊角的三角函数值的求法，属于基础题．
先由直线的方程求出斜率，再根据倾斜角的正切值等于斜率，结合倾斜角的范围求出倾斜角．
【解答】
解：由题意，直线的斜率为，
即直线倾斜角的正切值是，
设倾斜角为，则，
又因为，
所以，
故直线的倾斜角为，
故选D．

4.【答案】
【解析】解：在等差数列中，，得，公差，
所以．
故选：．
根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，即可求解作答．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，有一个学校得分配名教师，其余学校各分配名教师，
可以先从名教师中任选人，组成一个小组，有种选法；
然后连同其余三人，看成四个元素，四所学校看成四个不同的位置，
则四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有种，
根据乘法原理，共有种不同的分配方案．
故选：．
将人分四组，进行求解即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用先分组后排列的方法进行计算是解决本题的关键，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：向量，，则，又，，
因此，解得，
所以实数的值为．
故选：．
根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，向量共线的坐标表示列式作答．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，，，
有，则为奇函数，排除、，
在区间上，，则，排除．
故选：．
根据题意，先分析函数的奇偶性，排除、，再分析区间上，的符号，排除，即可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性以及函数值符号的分析，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：取中点，连，令，则，如图，
因点，为双曲线左右两支上的点，
由双曲线定义得，，
则，，令双曲线半焦距为，
中，，中，，
则有，即，
因直线的斜率为，即，而，即，
于是有，解得，因此，
所以双曲线的离心率为．
故选：．
取中点，连，令，由双曲线定义及所给条件可得，再借助直线斜率为即可求解作答．
本题考查双曲线的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：选项，取，，满足，但是，故A选项错误；
选项，取，，满足，但，故B选项错误；
选项，由，结合不等式的传递性可知，，选项正确；
选项，由于，为负数时，可能导致表达式无意义，故D选项错误．
故选：．
根据不等式的性质可以判断C正确，其余选项可以举出反例．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：回归方程过样本中心点，即，所以A正确；
B.相关系数，，变量，的相关性强，所以B正确；
C.当时，不一定有，因此C错误；
D.因为，是负相关，所以，D正确；
故选：．
根据线性回归方程和相关系数的有关定义，对题目中的命题判断正误即可．
本题考查了线性回归方程和相关系数的定义与应用问题，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：选项，若，，则，可能异面，选项错误；
选项，若，，则，选项正确；
选项，若，，则，可能相交，选项错误；
选项，若，，则，选项正确．
故选：．
根据线线、面面位置关系等知识确定正确答案．
本题主要考查了空间中直线与直线，平面与平面位置关系的判断，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：，
因为图象的相邻两对称轴间的距离为，
所以的最小正周期为，即可得，
所以．
对于项，因为为偶函数，所以有，
得．
因为，所以，故A正确；
对于项，因为的一个对称中心为，
所以有，得．
因为，所以，故B不正确；
对于项，由可得．
因为，，且在区间上单调递增，所以，
解得，所以的最大值为，故C正确；
对于项，由可得．
又的周期为，且根据正弦函数图象可知，一个周期内，最多只有三个零点．
所以，端点处必须为零点，即，解得．
又，所以，故D项正确．
故选：．
先化简可得然后根据已知条件，整体法求解即可判断、项；根据的范围解出的范围，结合正弦函数的性质与图象，即可判断、项．
本题综合考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，且为第三象限角，
则．
故答案为：．
由已知结合同角平方关系即可直接求解．
本题主要考查了同角平方关系，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：展开式的通项为，
令，得，
所以展开式中常数项为．
故答案为：．
根据二项式定理的通项公式直接求解即可．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
则．
故答案为：．
根据及求出，，再根据球缺曲面部分的体积公式求解即可．
本题考查球与球缺的相关问题，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：设切线切点为，又，所以切线斜率为，
因为，所以切线方程为：
又切线过，则，即，
则由题可知函数图象与直线有两个交点，
由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
又，又，，，．
据此可得大致图象如下．
则由图可得，当时，曲线有两条过的切线．
故答案为：．
由题可将曲线有两条过的切线转化为函数图象与直线有两个交点，然后利用导数研究单调性，画出大致图象，即可得答案．
本题考查利用导数求函数的切线问题，化归转化思想，数形结合思想，属中档题．
17.【答案】解：设等差数列的公差为，
由，得，故，
又，得，所以，
由解得，，
所以；
由可知，
所以．
【解析】设等差数列的公差为，通过，可建立关于与的方程组，从而求出与的值即可得出的通项公式；
由可知，进一步利用分组求和法即可求出．
本题考查等差数列的通项公式与前项和公式、分组求和法，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
18.【答案】解：，
由正弦定理得，即，
即，，
，，
，，
．
，，
又，，，
所以，即负值舍去，
又，所以的周长为．
【解析】利用正弦定理的边角变换与三角函数的恒等变换化简题干条件，从而得解；
利用三角形面积公式与余弦定理分别得到与的值，从而求得，由此得解．
本题主要考查解三角形，考查计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：零假设：学生是否收看宣传片与性别无关．
由题中数据可知，，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
所以可以认为学生是否收看宣传片与性别有关．
根据分层抽样方法，选取的人中，男生有人，女生有人，
根据题意，所有可能取值为，，．
，，，
所以的分布列为：
所以．
【解析】根据独立性检验的思想，计算，判断即可；
由题知选取的人中，男生有人，女生有人，进而根据超几何分布求解即可．
本题主要考查独立性检验，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：作，垂足为，易证，四边形为正方形．
所以，又，
因为，所以．
因为平面，平面，所以．
又，平面，平面，所以平面．
以点为坐标原点，以，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，．
则，，．
设平面的法向量为，
由，得，
令，可得平面的一个法向量为．
设与平面所成角为，
则．
【解析】先证，，由此即可证得平面；
建立空间直角坐标系，求出，平面的一个法向量为，然后利用公式，即可求得本题答案．
本题主要考查直线与平面所成的角，考查转化能力，属于中档题．
21.【答案】解：因为，所以，
令，则，
因为在上是增函数，所以，则恒成立，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，故，则，此时在上是增函数，
所以的取值范围是，
由知在上是增函数，，，
当时，，在上单调递增，，
令，得，故；
当，即时，，在上单调递减，，
令，解得，此时不存在；
当时，，，存在，使得，即，，
故当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；
所以，
当且仅当，即时，等号成立，显然，等号不成立，
所以，令，解得，此时不存在；
综上所述，的取值范围是．
【解析】先对求导，再构造函数，从而利用的单调性将问题转化为恒成立，再利用导数求得，由此得解；
结合中结论，利用的正负情况判断的单调性，从而分类讨论，与三种情况，得到关于的不等式，解之即可得解．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与最值，化归转化思想，属难题．
22.【答案】解：由题意得，解得，，，
所以椭圆的标准方程为，
由可知，，
由题意可知，存在，且不为零，设，
则，，
所以，
所以设直线为，则直线为，
将代入直线，得，
所以，所以直线为，
由，得，
设，则，得，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
因为为公共点，所以，，三点共线．
【解析】由题意得，，再结合可求出，，从而可求出椭圆方程；
求得，则设直线为，直线为，从而可得，表示出，则直线为，代入椭圆方程化简利用根与系数的关系可表示出点的坐标，从而求得，进而可证得结论．
此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是设出点的坐标，求出，从而可设直线，的方程，考查数学计算能力，属于较难题．
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