2022-2023学年陕西省渭南市临渭区高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年陕西省渭南市临渭区高二（下）期末数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 复数的实部与虚部之和为( )
A. B. C. D.
2. 设，为两个事件，已知，，则( )
A. B. C. D.
3. 已知随机变量的分布列为，则( )
A. B. C. D.
4. 用数学归纳法证明时，由到，不等式左边的变化是( )
A. 增加项
B. 增加和两项
C. 增加和两项同时减少项
D. 以上结论都不对
5. 函数在上的最大值是( )
A. B. C. D.
6. 设函数，则在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
7. 已知随机变量服从正态分布，若，则( )
A. B. C. D.
8. 若，则的值是( )
A. B. C. D.
9. 的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
10. 某一随机变量的分布列为
则的最大值为( )
A. B. C. D.
11. 设函数有两个极值点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
12. 若函数对任意的都有恒成立，则( )
A. B.
C. D. 与的大小不确定
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
13. 由直线，，曲线及轴所围成图形的面积是______ ．
14. 设，且，则的值为______ ．
15. 复数满足为虚数单位，则的共轭复数为______ ．
16. 摄影师要为名学生和位老师拍照，要求排成一排，位老师相邻且不排在两端，不同的排法共有______ ．
17. 已知函数有三个零点，则实数的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共77.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
已知的展开式中各项的二项式系数和为．
Ⅰ求展开式中二项式系数最大的项；
Ⅱ求展开式中的常数项．
19. 本小题分
已知函数，若曲线在点处的切线与直线垂直．
求实数的值；
当时，求函数的单调区间．
20. 本小题分
某单位开展职工文体活动，其中跳棋项目比赛分为初赛和决赛，经过初赛后，甲、乙、丙三人进入决赛决赛采用以下规则：抽签确定先比赛的两人，另一人轮空，后面每局比赛由前一局胜者与轮空者进行，前一局负者轮空；甲、乙进行比赛，甲每局获胜的概率为，甲、丙进行比赛，甲每局获胜的概率为，乙、丙进行比赛，乙每局获胜的概率为；先取得两局胜者为比赛的冠军，比赛结束假定每局比赛无平局且每局比赛互相独立通过抽签，第一局由甲、乙进行比赛．
求甲获得冠军的概率；
记比赛结束时乙参加比赛的局数为，求的分布列和数学期望．
21. 本小题分
已知函数，，，令．
Ⅰ当时，求函数的单调区间及极值；
Ⅱ若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．
22. 本小题分
已知圆的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数，点的极坐标为，设直线与圆交于，两点．
求圆的直角坐标方程；
求的值．
23. 本小题分
已知函数．
求不等式的解集；
若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
的实部与虚部之和为．
故选：．
根据复数运算法则可求得，由实部和虚部的定义，求得结果．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由条件概率的计算公式，可得．
故选：
由条件概率的计算公式，根据题意，代入数据计算可得答案．
本题考查条件概率的计算公式，是基础题；需要牢记条件概率的公式．
3.【答案】
【解析】解：因为随机变量的分布列为，
所以，解得，
所以，
故．
故选：．
利用分布列的性质，根据条件求出的值，从而求出结果．
本题主要考查了离散型随机变量的分布列，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：时，左边，
时，左边，
由“”变成“”时，，
故选：．
观察不等式左边的各项，他们都是以开始，以项结束，共项，当由到时，项数也由变到时，但前边少了一项，后面多了两项，分析四个答案，即可求出结论．
数学归纳法常常用来证明一个与自然数集相关的性质，其步骤为：设是关于自然数的命题，若奠基在时成立；归纳在为任意自然数成立的假设下可以推出成立，则对一切自然数都成立．
5.【答案】
【解析】解：因为，所以，
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
所以当时，取得最大值，即．
故选：．
利用导数直接求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：由，得，
，
在处的切线方程为，即．
故选：．
求出原函数的导函数，得到函数在时的导数值，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：由随机变量服从正态分布可知正态密度曲线关于轴对称，
而，则，
故．
故选：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的概率求法，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为，
所以，所以；
故选：．
将等式左边计算定积分，然后解出．
本题考查了定积分的计算；关键是正确找出被积函数的原函数．
9.【答案】
【解析】解：的展开式的通项为，
则，，
从而的展开式中的系数为．
故选：．
求出的展开式的通项，再令的指数等于和，即可得解．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由分布列可得，又，，
所以，
当且仅当时，即，时，等号成立，
故的最大值为．
故选：．
根据分布列的性质可得，由基本不等式即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量的分布列，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：函数，定义域为；
若函数有两个极值点，，则不妨设，
即在区间上有两个不相等的实数根，
所以，化为方程在区间上有两个不相等的实数根；
记，，
则，
即，
解得，
所以实数的取值范围是
故选：．
函数有两个极值点，，即在定义域上有两个不相等的实数根，
构造函数，根据二次函数的图象与性质即可求出的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值应用问题，也考查了二次函数与对应方程实数根的应用问题，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：令，则，
因为对任意都有，
所以，即在上单调递增，
又，所以，即，即
即，
故选：．
构造函数，利用导数可判断的单调性，由单调性可得与的大小关系，整理即可得到答案．
本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．
13.【答案】
【解析】解：由题意可知所求面积为：
．
故答案为：．
根据定积分的几何意义，即可求解．
本题考查定积分的几何意义的应用，化归转化思想，属基础题．
14.【答案】或
【解析】解：，
由于，
所以，
因此要么，要么，
又，所以或，
故答案为：或．
根据二项分布的概率计算公式即可由因式分解求解．
本题主要考查二项分布的概率公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由，
得，
．
则．
故答案为：．
把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数的除法运算化简，求出复数，则的共轭复数可求．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的概念，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：考虑位老师相邻但不排在两端的排法，可以考虑到用插空法求解，
先把名学生排好，然后有中间个空可以排老师，
故有排法．
故答案为．
首先分析题目已知名学生和位老师排成一排，位老师相邻且不排在两端的排法，故可以考虑到用插空法求解，先把名学生排好，然后有中间个空可以排老师，然后列出式子，求解即可．
此题主要考查排列组合及简单的计数原理在实际中的应用问题，涉及到插空法的思想，这种思想在求不相邻的问题中非常重要，希望同学们理解记忆．
17.【答案】
【解析】解：由题意得有三个不同的解，
当时，不合题意，
当时，即有三个不同的解，
令，则，
当或时，，当时，，
故在上单调递减，在，上单调递增，
且，当时，恒成立，
故的图象如下：
要想有三个不同的解，则，实数的取值范围是．
故答案为：．
参变分离，得到有三个不同的解，构造，求导得到其单调性和极值最值情况，画出函数图象，数形结合得到实数的取值范围．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：由已知得，解得；
Ⅰ展开式中二项式系数最大的项为；
Ⅱ由Ⅰ可知展开式中通项公式为：
，
展开式中的常数项为，
展开式中含的项为，
故展开式中的常数项为．
【解析】Ⅰ利用二项式系数和的公式求出的值，再利用二项式系数的性质即可求解，
Ⅱ根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：的定义域为．
．
根据题意，有，所以，
解得或．
当时的定义域为，
，
，，单调递减，
，，单调递增，
所以函数单调递减区间为，单调递增区间为．
【解析】直接利用导数的几何意义列方程求得；
先根据求出导函数，再由导函数正负确定单调区间即可．
本题考查导数的综合应用，化归转化思想，方程思想，属中档题．
20.【答案】解：设甲与乙比赛，甲获胜为事件，丙与甲比赛，甲获胜为事件，丙与乙比赛，乙获胜为事件，且，，相互独立，
则，
记“甲获得冠军”为事件，
则
；
由题意知的所有可能取值为，，，
，
，
，
所以的分布列为：
则数学期望．
【解析】根据独立事件求概率的公式和概率的加法公式即可求出答案；
由题意可得到的所有可能取值，然后根据独立事件和概率的加法公式进行求概率，列出分布列以及求出期望即可．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，考查转化能力，属于中档题．
21.【答案】解：Ⅰ，所以，
令得；
由得，所以的单调递增区间为．
由得，所以的单调递增区间为．
所以函数极大值，无极小值．
Ⅱ法一：令．
所以．
当时，因为，所以所以在上是递增函数，
又因为．
所以关于的不等式不能恒成立．
当时，．
令得，所以当时，；当时，．
因此函数在是增函数，在是减函数．
故函数的最大值为．
令，因为．
又因为在上是减函数，所以当时，．
所以整数的最小值为．
法二：由恒成立知恒成立
令，则．
令，因为，，则为增函数
故存在，使，即．
当时，，为增函数
当时，，为减函数．
所以，而，所以
所以整数的最小值为．
【解析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．
Ⅰ求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
Ⅱ法一：令，求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间，从而求出的最小值即可；
法二：分离参数，得到恒成立，令，根据函数的单调性求出函数的最大值，从而求出的最小值即可．
22.【答案】解：由题意，
在圆：中，，
，
圆的直角坐标方程为 ：；
由题意及得，
点的极坐标为，
点的直角坐标为，
点在直线上．
在为参数中，直线与圆交于，两点，
把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，
得，
设点和点对应的参数分别为 ，，
，
．
【解析】根据圆的极坐标方程即可求出圆的直角坐标方程；
将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，即可求出的值．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．
23.【答案】解：，
由可得，
时，，即，无解，
时，，即，，解得：，即，
时，，即，，解得，即，
综上，解集为．
由已知：存在，使不等式成立，即存在，使不等式成立，
即，
又当且仅当时取“”号，
，，，
实数的取值范围为．
【解析】将函数的解析式表示为分段函数，然后分、、三段求解不等式，综合可得出不等式的解集；
转化为，求出的最大值，再解不等式即可得答案．
本题主要考查不等式恒成立问题，考查转化能力，属于中档题．
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