2022-2023学年广东省潮州市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省潮州市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知随机变量服从正态分布，，则( )
A. B. C. D.
2. 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度单位：与起跳后的时间单位：存在函数关系该运动员在时的瞬时速度单位：为( )
A. B. C. D.
3. 在数列中，，，若，则( )
A. B. C. D.
4. 对标有不同编号的件正品和件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出件．在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是( )
A. B. C. D.
5. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是( )
A.
B.
C.
D.
6. 已知随机变量的分布列如表其中为常数则下列计算结果正确的是( )
A. B. C. D.
7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数的导函数为，且，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列选项中，在上不是单调函数的有( )
A. B.
C. D.
10. 已知的展开式共有项，则下列说法中正确的有( )
A. 所有项的系数和为 B. 所有奇数项的二项式系数和为
C. 二项式系数最大的项为第项或第项 D. 有理项共有项
11. 甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球，先从甲罐中随机取出个球放入乙罐，分别以，，表示事件“由甲罐取出的球是红球、白球和黑球”，再从乙罐中随机取出个球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，下列结论正确的是( )
A. 事件与事件不相互独立 B. ，，是两两互斥的事件
C. D.
12. 对于函数，下列说法正确的是( )
A. 在上单调递减，在上单调递增
B. 当时，
C. 若函数有两个零点，则
D. 设，若对，，使得成立，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 曲线在点处的切线方程是______ ．
14. 某产品的研发投入费用单位：万元与销售量单位：万件之间的对应数据如表所示：
研发投入费用
销售量
根据表中的数据可得回归直线方程，则 ______ ；该产品的研发投入费用每提高万元，销售量估计能提高______ 万件．
15. 在重伯努利试验中事件出现的概率相同，若事件至少出现次的概率为，则事件在次试验中出现的概率为______ ．
16. 某市安排，，，，，六名党员志愿者到三个基层社区开展党的二十大精神宣讲活动，每个社区至少安排一人，至多安排三人，且，两人安排在同一个社区，，两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
年月日，我国迄今水下考古发现的体量最大的木质沉船长江口二号古船，在长江口横沙水域成功整体打捞出水，上海市文物局会同交通运输部上海打捞局，集成先进的打捞工艺、技术路线、设备制造，最终研究并形成了世界首创的“弧形梁非接触文物整体迁移技术”来打捞这艘古船这是全新的打捞解决方案，创造性地融合了核电弧形梁加工工艺、隧道盾构掘进工艺、沉管隧道对接工艺，并运用液压同步提升技术，综合监控系统等先进的高新技术这些技术也是首次应用于文物保护和考古领域近年来，随着科学技术的发展，越来越多的古迹具备了发掘的条件，然而相关考古专业人才却严重不足某调查机构为了解高三学生在志愿填报时，对考古专业的态度，在某中学高三年级随机抽取名学生进行了调查，调查结果如表所示，依据小概率值的独立性检验判断是否可以认为该校学生填报志愿时“是否填报考古专业”与性别有关联？
男生 女生 总计
不填报
填报
总计
附：．
18. 本小题分
已知公差不为的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．
求数列的通项公式及；
求证：．
19. 本小题分
若椭圆：过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点．
求椭圆的方程；
不过原点的直线：与椭圆交于，两点，当的面积为时，求直线的方程．
20. 本小题分
如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，，，．
证明：平面；
若平面与平面的夹角为，求平面与平面的夹角的余弦值．
21. 本小题分
为弘扬中国传统文化，某电视台举行国宝知识大赛，先进行预赛，规则如下：有易、中、难三类题，共进行四轮比赛，每轮选手自行选择一类题，随机抽出该类题中的一个回答；答对得分，答错不得分；四轮答题中，每类题最多选择两次．四轮答题得分总和不低于分进入决赛．选手甲答对各题是相互独立的，答对每类题的概率及得分如表：
容易题 中等题 难题
答对概率
答对得分
若甲前两轮都选择了中等题，并只答对了一个，你认为他后两轮应该怎样选择答题，并说明理由；
甲四轮答题中，选择了一个容易题、两个中等题、一个难题，若容易题答对，记甲预赛四轮得分总和为，求随机变量的数学期望．
22. 本小题分
已知函数，．
求的极值；
若不等式恒成立，求实数的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为随机变量服从正态分布，．
所以，
所以．
故选：．
根据正态分布的性质结合题意求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
2.【答案】
【解析】
【分析】
求出函数的导数，令即可求解．
本题考查了变化的快慢与变化率，考查了学生的运算能力，属于基础题．
【解答】
解：由已知可得，
则，
故选：．

3.【答案】
【解析】解：由题意可得，，故数列为等差数列，
则，令，．
故选：．
定义法判断数列为等差数列，从而由等差数列基本量的计算求解．
本题主要考查数列的递推式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了条件概率的求法，属于基础题．
利用古典概型求出第一次摸到正品得概率以及两次都摸到正品的概率，然后利用条件概率计算公式求出结果．
【解答】
解：设“第一次摸出正品”为事件，“第二次摸出正品”为事件，
在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率为：
．
故选：．

5.【答案】
【解析】解：由导数的图象可得，导函数的值在上的逐渐增大，
故函数在上增长速度逐渐变大，故函数的图象是下凹型的．
导函数的值在上的逐渐减小，
故函数在上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，
故选B．
根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．
本题主要考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，解得，故A错误；
由分布列知，故B错误；
，故C正确；
，故D错误．
故选：．
A.根据分布列由概率之和为求解判断；由求解判断；由期望公式求解判断；由方差公式求解判断．
本题考查离散型随机变量的期望与方差，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意得在上恒成立，
即在上恒成立，
又在处取得最小值，即，
，即实数的取值范围为．
故选：．
由题意得在上恒成立，参变分离，转化为在上恒成立，利用二次函数的性质，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：构造函数，
因为，所以，因此函数是减函数，
于是有，
构造函数，因为，
所以，因此是单调递增函数，
于是有，
故选：．
根据题意构造函数，，对函数求导后结合已知可判断出函数的单调性，再利用函数的单调性可得答案．
本题考查导数的综合应用，解题的关键是根据已知条件构造函恰当的函数，然后利用导数判断其单调性，再利用函数的单调性解决问题，考查数学转化思想，属于较难题．
9.【答案】
【解析】解：选项，，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减，故正确；
选项，显然恒成立且不恒为零，所以在上单调递增，故错误；
选项，，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减，故正确；
选项，显然恒成立且不恒为零，所以在上单调递增，故错误．
故选：．
利用导数法逐项判断．
本题主要考查了函数单调性的判断，还考查了导数与单调性关系的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：由题意得，所以，
令，得所有项的系数和为，故A错误；
所有奇数项的二项式系数和为，故B正确；
由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第项，故C错误；
展开式通项为，
当为整数时，，，，，，共有项，
即有理项共有项，故D正确．
故选：．
根据二项式定理求出，令即可判断；根据二项式系数的性质即可判断；求出展开式的通项，再根据的指数为整数即可判断．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，由题意可知，事件发生与否影响事件的发生，故事件与事件不相互独立，故A正确；
对于，，，两两不可能同时发生，，，是两两互斥的事件，故B正确；
对于，从甲罐中取出一个红球放入乙罐，这时乙罐中有个球，其中红球有个，
在事件发生的条件下，事件发生的概率，故C正确；
对于，由全概率公式得，故D错误．
故选：．
利用事件独立性的定义可判断；利用互斥事件的定义判断；利用条件概率判断；利用全概率公式判断．
本题考查事件独立性的定义、互斥事件的定义、条件概率、全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项，的定义域为，所以选项错误；
对于选项，，当时，，递减，
由于，所以，
由于，，，
所以由两边乘以得 ，所以选项正确；
对于选项，令，，
由于，所以在区间，，，递减，
在区间，，递增，
当时，，当时，，，
函数的定义域为，
又，所以函数为偶函数，
由此画出的图象如图所示，
由图可知，当或时，直线与的图象有两个交点，
即当或时，函数有两个零点，所以选项错误；
对于选项，由上述分析可知，，
则，，，
要使“对，，使得成立”，
则需，所以选项正确．
故选：．
根据函数的定义域即可判断；利用导数判断函数在上的单调性即可判断；求出函数的单调区间，作出函数的图象，结合图象即可判断；结合选项即可判断．
本题考查导数的综合应用，化归转化思想，数形结合思想，属难题．
13.【答案】
【解析】解：由题意得：，，，
所以切线方程为，即．
故答案为：．
利用导数的几何意义求解．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，，
则样本点的中心的坐标为，代入，
得，解得：；
，
该产品的研发投入费用每提高万元，销售量估计能提高万件．
故答案为：；．
由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得，进一步可得该产品的研发投入费用每提高万元时，销售量的估计值．
本题考查线性回归方程，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：记“至少发生次”为事件，则表示其对立事件“发生次”，
事件的发生符合二项分布，设事件在次试验中出现的概率为，
，
所以，
所以，解得．
故答案为：．
利用二项分布的概率公式求解．
本题主要考查二项分布的概率公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：第一种分配方式为每个社区各两人，则一组，一组，或一组，一组，有种分组方式，三组人分配到三个社区进行排列，
则分配方式共有种；
第二种分配方式为一个社区人，一个社区人，一个社区人，
当两人一组去一个社区，则剩下的人，人为一组，人为一组，则必有或为一组，有种分配方法，
将三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法；
当加上另一人三人去一个社区，若选择的是或，则有种选择，
再将剩余人分为两组，有种分配方法，
将三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法；
若选择的不是或，即从或中选择人和一起，有种分配方法，
再将和剩余的人共人分为两组，有种分配方法，
将三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法，
综上共有种不同的分配方式．
故答案为：．
分为每个社区各两人和一个社区人，一个社区人，一个社区人两种分配方式，第二种分配方式再分两人一组去一个社区，加上另一人三人去一个社区，进行求解，最后相加即为结果．
本题考查排列组合，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：根据列联表中的数据，经计算得到．
根据小概率值的独立性检验，即可以认为该校学生填报志愿时“是否填报考古专业”与性别有关联．
【解析】先根据公式求出，再由独立性检验的意义判定即可．
本题主要考查独立性检验，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：设等差数列的公差为，由，得，
即，由，，成等比数列，得，
即，又得，所以，，
故数列的通项公式为，，
证明：所以，
所以
，
因为，所以，
所以，
所以．
【解析】设等差数列的公差为，然后由已知条件列方程组可求出，，从而可求得，，
由可得，然后利用裂项相消求和法可证得结论．
本题主要考查数列的求和，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：抛物线的焦点为，双曲线的焦点为，
依题意可得，，则，
所以椭圆的方程为；
根据题意，设，，
联立直线与椭圆方程，可得，消去并整理可得，，
则，
由弦长公式可得，，
又点到直线的距离为，
依题意，令，
当且仅当，即符合题意时，的面积取得最大值为，此时直线的方程为．
【解析】根据题意可得，由此求得，进而得到椭圆方程；
联立直线与椭圆方程，利用弦长公式和点到直线的距离公式可表示出的面积，进而得出结论．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：证明：因为，分别是线段，的中点，
所以，，
又，所以，
因为，为的中点，所以，
所以，所以，
又，，平面，
所以平面；
以，为，轴，过与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，
由可得平面，，平面，
所以，，
所以为平面与平面的夹角，即，所以，
所以，，，，，
，，，
设平面的一个法向量是，
则，取，
设平面的一个法向量是，
则，取，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
【解析】由三角形的中位线定理可得，，再由可得，再由直角三角形的性质可得，然后由勾股定理的逆定理可得，再由线面垂直的判定定理可证得结论；
以，为，轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可．
本题考查线面垂直的证明，向量法求解面面角问题，属中档题．
21.【答案】解：依题意甲前两轮都选择了中等题，则后两轮的选择还有三种方案：
方案一：都选择容易题，则总得分不低于分的概率为；
方案二：都选择难题，则总得分不低于分的概率为；
方案三：选择一个容易题、一个难题，则总得分不低于分的概率为；
因为，所以后两轮应该选择容易题进行答题；
依题意的可能取值为、，、、、，
则，
，
，，
所以的分布列为：


所以．
【解析】依题意甲前两轮都选择了中等题，则后两轮的选择还有三种方案：即都选择容易题，都选择难题，选择一个容易题、一个难题，分别求出总得分不低于分的概率，即可判断；
依题意的可能取值为、，、、、，求出所对应的概率，即可得到分布列，再求出数学期望即可．
本题考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
22.【答案】解：的定义域为，
，
令，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
，的极小值为，无极大值，
依题意，，
令，在上递增，且，
所以对任意恒成立．
设，，
所以函数在区间，，递减；
在区间，，递增．
所以，
所以，，
设，，
所以在区间，，递增；
在区间，，递减．
所以，即，
即，即，
所以，当且仅当，即时成立．
【解析】利用导数法求解；
将问题变形为，令，转化为对任意恒成立，令，用导数法求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
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