七校联合体2024届高三第一次联考试卷(8月)
数学科目
命题学校:
一.单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
1.已知集合A={﹣1,0,1},B={x|﹣1<x<2},则A∩B的子集个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.若复数满足(i是虚数单位),则的模长等于( )
A.1 B. C. D.
3.已知向量,且,则等于( )
A.5 B. C. D.
4.函数在区间上不单调,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知、是椭圆的两个焦点,满足的点总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( ).
A.B.C.D.
6.已知,则( )
A. B. C. D.
7.在等比数列中,公比为.已知,则是数列单调递减的( )条件
A.充分不必要B.必要不充分C.充要 D.既不充分又不必要
8.已知函数(,)在上单调递增,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二.多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.)
9.下列说法正确的是( )
A.数据1,2,3,3,4,5的平均数和中位数相同
B.数据6,5,4,3,3,3,2,2,1的众数为3
C.有甲、乙、丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查,如果抽取的甲个体数为9,则样本容量为30
D.甲组数据的方差为4,乙组数据为5,6,9,10,5,则这两组数据中较稳定的是乙组
10.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家经过研究,已经对地震有所了解,例如,地震时释放的能量(单位:焦耳)与地震里氏震级之间的关系为,则下列说法正确的是( )
A.地震释放的能量为焦耳时,地震里氏震级为七级
B.八级地震释放的能量为七级地震释放的能量的6.3倍
C.八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的1000倍
D.记地震里氏震级为,地震释放的能量为,则
11.若函数同时满足:(1)对于定义域内的任意,有;(2)对于定义域内的任意,,当时,有,则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数是“理想函数”的是( )
A. B.
C. D.
12.已知四面体的所有棱长均为,则下列结论正确的是( )
A.异面直线与所成角为B.点到平面的距离为
C.四面体的外接球体积为
D.动点在平面上,且与所成角为,则点的轨迹是椭圆
三.填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.某医院传染病科室有5名医生.4名护士,现从这9名医护人员中选取5名参加医院组织的运动会,要求其中至少有2名医生.2名护士,则不同的选取方法有______种.
14.在正方体中,点为侧棱上一点,且,平面将该正方体分成两部分,其体积分别为,则__________.
15.已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是_________.
16.已知点在线段上,是的角平分线,为上一点,且满足,设则在上的投影向量为__________.(结果用表示).
四.解答题
17.(10分)已知锐角的内角的对边分别为,.
(1)求;
(2)若,求面积的取值范围.
18.(12分)已知直三棱柱中,侧面为正方形,,E,F分别为和的中点,D为棱上的点.
(1)证明:;
(2)当为何值时,面与面所成的二面角的正弦值最小
19.(12分)设为实数,函数,.
(1)求的极值;
(2)对于,,都有,试求实数的取值范围.
20.(12分)记为等差数列的前项和,已知.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前项和.
21.(12分)已知椭圆的焦距为2,且经过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点,试问x轴上是否存在异于点F的定点T,使恒成立?若存在,求出T点坐标,若不存在,说明理由.
22.规定抽球试验规则如下:盒子中初始装有白球和红球各一个,每次有放回的任取一个,连续取两次,将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是白球,则记该轮为成功,否则记为失败.在抽取过程中,如果某一轮成功,则停止;否则,在盒子中再放入一个红球,然后接着进行下一轮抽球,如此不断继续下去,直至成功.
(1)某人进行该抽球试验时,最多进行三轮,即使第三轮不成功,也停止抽球,记其进行抽球试验的轮次数为随机变量,求的分布列和数学期望;
(2)为验证抽球试验成功的概率不超过,有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验,记表示成功时抽球试验的轮次数,表示对应的人数,部分统计数据如下:
1 2 3 4 5
232 98 60 40 20
求关于的回归方程,并预测成功的总人数(精确到1);
(3)证明:
附:经验回归方程系数:,;
参考数据:,,(其中,).
七校联合体2024届高三第一次联考试卷(8月)
数学科目(答案)
DDABBCCD
8.【详解】根据正弦和角与差角公式化简函数式可得
,(,).
根据正弦函数单调递增区间可知,()上单调递增,
化简得,;∴函数的单调增区间为,().
∵在上单调递减,可得,解得,().又,
当时,可得;当时,可得.故选:D.
9.AB10.ACD.11.BCD
11.对于D:,,所以是奇函数;
根据二次函数的单调性,易知在和都是减函数,且在处连续,所以在上是减函数,所以是“理想函数”.12.BC
12.【详解】取中点,连接,可得面,则,故A错误;
在四面体中,过点作面于点,则为为底面正三角形的重心,因为所有棱长均为,,即点到平面的距离为,故B正确;
设为正四面体的中心则为内切球的半径,我外接球的半径,
因为,所以,即,
所以四面体的外接球体积,故C正确;
建系如图:,设,则
因为,所以,
即,平方化简可得:,可知点的轨迹为双曲线,故D错误.
13.【详解】符合题意的情况有两种:名医生、名护士和名医生、名护士.
选取名医生、名护士的方法有:种;选取名医生、名护士的方法有:种;
综上所述:满足题意的选取方法共有种.故答案为:.
14.【详解】由题意,延长线段与的延长线交于点,连接交于,连接,故平面延展开后即为平面,将该正方体分成的两部分一部分是三棱台,另一部分是剩余的部分.
由于,故,不妨设正方体棱长为3,,
,即.故答案为:.
15.【分析】函数过定点(0,-2),由数形结合:
16.【详解】由,可设,由,
得点的轨迹是以为焦点,实轴长为6的双曲线的右支(不含右顶点).
因为是的角平分线,且
故也为的角平分线,为的内心.如图,设,,
则由双曲线与内切圆的性质可得,,
又,所以,,在上的投影长为,则在上的投影向量为.
17.【详解】(1)解:由正弦定理可得,
又由,
因为,可得,因为,可得,所以,
又因为,所以.
(2)解:因为是锐角三角形,由(1)知且,可得,
因为,所以,由三角形面积公式得
又由正弦定理且,所以,
因为,所以,所以,
所以,即面积的取值范围为.
18.(1)因为三棱柱是直三棱柱,底面,
,,,又,平面.所以两两垂直.
以为坐标原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,如图.
,.
由题设().因为,
所以,所以.
(2)设平面的法向量为,因为,
所以,即.令,则
因为平面的法向量为,设平面与平面的二面角的平面角为,
则.当时,取最小值为,
此时取最大值为.所以,此时.
19.(1)解:函数的定义域为,,
令,可得或,列表如下:
增 极大值 减 极小值 增
故函数的极大值为,极小值为.
(2)解:对于,,都有,则.
由(1)可知,函数在上单调递减,在上单调递增,
故当时,,因为,且,则且不恒为零,
故函数在上单调递增,故,由题意可得,故.
20.【详解】(1)设等差数列的公差为,由题意可得,即,解得,
所以,
(2)因为,令,解得,且,
当时,则,可得;
当时,则,可得
;
综上所述:.
21.【详解】(1)由椭圆C的焦距为2,故,则,
又由椭圆C经过点,代入C得,得,,所以椭圆的方程为:.
根据题意,直线的斜率显然不为零,令
由椭圆右焦点,故可设直线l的方程为,
与联立得,,则,
设,,,,
设存在点T,设T点坐标为,由,得,
又因为,所以,,
所以直线TA和TB关于x轴对称,其倾斜角互补,即有,
则:,所以,
所以,,
即,即,
解得,符合题意,即存在点T满足题意.
22.【详解】(1)由题知,的取值可能为1,2,3所以;
;;
所以的分布列为:
1 2 3
所以数学期望为.
(2)令,则;,由题知:,,
所以,
所以,,故所求的回归方程为:,
所以,估计时,;估计时,;估计时,;
预测成功的总人数为.
(3)由题知,在前轮就成功的概率为
又因为在前轮没有成功的概率为
,
故