1.1.2空间向量的数量积运算 课件（共16张PPT）

(共16张PPT)
1.1空间向量及其运算
1.1.2空间向量的数量积运算
一、复习回顾
1.平面向量的夹角
已知两个非零向量是平面是上的任意一点，作则叫做向量与 的夹角。
一、复习回顾
2.平面向量垂直
3.平面向量数量积
如果与的夹角是，我们就说与垂直，记作。
已知两个非零向量它们的夹角为，我们把数量积叫做向量与 的数量积（或内积），记作
即 。
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
二、新知探究
我们知道任意两个空间向量都可以通过平移使其在同一平面上，所以两个空间向量的夹角和数量积的定义可以类比平面向量。
1.如图，已知两个非零向量，在空间任取一点O，作作则叫做向量与 的夹角。记作
二、新知探究
2.如果= ，那么向量与互相垂直，记作。
3.已知两个非零向量则叫做向量与 的数量积，记作
即 。
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
4.由向量的数量积定义，可以得到： =0；
。
二、新知探究
如图，设是两个非零向量， 过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到我们称上述变换为向量投影， 叫做向量上的投影向量。
如图(1),在空间，向量投影，由于它们是自有向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量， = 向量称为向量上的投影向量。类似地。可以将向量向直线投影（图2）。
如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为A’，B’，得到向量向量称为向量在平面上的投影向量。这时，向量， 的夹角就是向量所在直线与平面所成的角。
二、新知探究
通过空间向量数量积的定义，我们不难发现它们的运算律是相通的：
空间向量的数量积满足如下运算律：
= b交换律）；
分配律）
二、新知探究
提示：1.对于,c三个向量，由 =不能得到=c.
例如：如图所示，在长方体ABCD-中，向量与向量都垂直，因此 =0，显然， 不相等。
事实上，由 =得- =,进而得，即向量与c垂直，但不一定有
另外，当=0时，有 ==0，此时也不一定有。
2.由，不能写成或的形式，即向量没有除法运算。向量有加法、减法、数乘和数量积运算，没有实数除以向量和向量除以向量的运算。
3.对于向量,c，()c= (b不成立，也就是说，向量数量积运算不满足结合律。
例如：任意取三个不共面的向量,c，其中,c不共线， (b是一个数与向量做数乘运算， ()c是一个数与向量做数乘运算,而向量,c不共线，所以()c与(b不相等。
三、例题讲解
例2：如图1.1-12，在平行六面体中，AB=5，AD=3，A =7，BAD=60°， = =45°.求
（1）
（2） 的长（精确到0.1）
三、例题讲解
例3：如图1.1-13，是平面内的两条相交直线。如果,求证： 。
四、课堂训练
1.如图，在正三棱ABC-中，若AB=,则A 与B 所成角色的大小为（ ）
A.60° B.90° C.105° D.75°
四、课堂训练
2.如图，在平行六面体中，=4，AD=3， =5, BAD=90°, =∠ =60°.求：
（1） ;
（2） 的长 ;
（3） 的长.
四、课堂训练
3.如图，已知E，F，G，H分别为四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，求证：E，F，G，H四点共面。