2022-2023学年山东省日照市校际联考高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省日照市校际联考高二（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知全集，集合，则( )
A. ， B. ，
C. D.
2. 命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 已知函数则( )
A. B. C. D.
4. 记数列的前项和为，则“”是“为等差数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
6. 已知函数，记，，，则( )
A. B. C. D.
7. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数已知正项数列的前项和为，且，令，则( )
A. B. C. D.
8. 已知，，向量与的夹角为，若对任意，，当时，恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
9. 已知数列为等差数列，且，则 ______ ．
10. 已知，，，则的最小值是______ ．
11. 已知函数的两个零点为，，函数的两个零点为，，则 ．
12. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，都为偶函数，则 ______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. 本小题分
已知：，：．
记，，当时，求；
若是的充分条件，求实数的取值范围．
14. 本小题分
设等比数列的前项和为，且满足，．
求数列的通项公式；
设，且，求正整数的值．
15. 本小题分
已知函数是偶函数．
求的值；
若方程有解，求实数的取值范围．
16. 本小题分
已知各项均为正数的数列，满足，．
求数列的通项公式；
记，试比较与的大小，并加以证明．
17. 本小题分
某公园有一个矩形地块如图所示，边长千米，长千米地块的一角是水塘阴影部分，已知边缘曲线是以为顶点，以所在直线为对称轴的抛物线的一部分，现要经过曲线上某一点异于，两点铺设一条直线隔离带，点，分别在边，上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘设点到边的距离为单位：千米，的面积为单位：平方千米．
请以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，求出关于的函数解析式；
是否存在点，使隔离出来的的面积超过平方千米？并说明理由．
18. 本小题分
已知函数，为自然对数的底数．
求曲线在处的切线方程；
对于任意的，不等式恒成立，求实数的值；
若关于的方程有两个实根，，求证：．
四、多项选择题（本大题共4小题，共20.0分）
19. 已知，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
20. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，，成等比数列，则( )
A. B.
C. 当时，的最大值是或 D. 当时，的最小值是或
21. 研究函数的性质，则下列正确的是( )
A. 函数的最大值为 B. 函数恰有一个零点
C. 函数恰有两个零点 D. 函数在上是减函数
22. 已知有穷数列各项均不相等，将的项从大到小重新排序后相应的序号构成新数列，称数列为数列的序数列例如数列，，，满足，则其序数列为，，若有穷数列满足，为正整数，且数列的序数列单调递减，数列的序数列单调递增，则下列正确的是( )
A. 数列单调递增 B. 数列单调递增
C. D.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：全集，集合，
则，．
故选：．
根据已知条件，结合补集的定义，即可求解．
本题主要考查补集的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，命题“，”是特称命题，
其否定为：，．
故选：．
根据题意，由全称命题和特称命题的关系，分析可得答案．
本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，．
故选：．
是从里面开始算，按照分段函数的条件代入求值即可．
本题考查分段函数的求值，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：数列的前项和为，则，
数列的前项和为，取，，，，显然，
而，即数列不是等差数列，
所以“”是“为等差数列”的必要不充分条件．
故选：．
利用等差数列前项和及性质，结合充分条件、必要条件的意义判断作答．
本题考查了充要条件的判定方法、等差数列的性质，考查了推理能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：函数，
，所以在第一象限，排除．
，在第三象限，排除．
故选：．
直接利用特殊点的位置判断选项即可．
本题考查函数的图象的变换，图象的判断，利用特殊点判断方便快速解答．
6.【答案】
【解析】解：由于函数在上单调递增，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
且，
则，即关于对称，
又，
则，即．
故选：．
分析可知在上单调递减，在上单调递增，且关于直线对称，由此可得答案．
本题考查复合函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由题意可得，解得，
当，由得，
化简得，
又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
又数列为正向数列，
所以，即，
所以，
所以
，
由于，所以，
所以．
故选：．
先求出数列的通项公式，而后代入并求出其前项和，然后取整．
本题主要考查递推法求数列的通项公式，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：由题意，，，，
则，
即，
，，
，即，
，，
令，，
则由当时，有，可知在内单调递减，
，当，即时，，即单调递减，
故即为所求．
故选：．
利用数量积性质求得，将不等式变形为，构造函数，则需在上单调递减，即可求出的范围．
本题考查平面向量与函数的综合运用，考查运算求解能力，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为数列为等差数列，且，
所以，
则．
故答案为：．
由已知结合等差数列的性质即可直接求解．
本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，，且，
，
当且仅当即，时取等号．
故答案为：．
由题意整体代入可得，由基本不等式可得．
本题考查基本不等式求最值，整体代入并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．
11.【答案】
【解析】
【分析】
由题可得，进而可得，然后结合条件即得．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
【解答】
解：因为函数的两个零点为，，
则，即，
又，
则，即，
所以．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，若为偶函数，即，则有，
两边同时求导可得：，
则关于点对称，且，
又由为偶函数，则有，
两边同时求导可得：，变形可得，
则的图象关于对称，且；
在中，令可得：，
在中，令可得：，则有，
同理可得：，则；
又由，，
则有，故，
综合可得：，，，，，
故组成以为首项，为公差的等差数列，
则．
故答案为：．
根据题意，由函数的奇偶性和导数的计算公式的图象的对称性和特殊值，由此求出，，，，，归纳可得组成以为首项，为公差的等差数列，进而计算可得答案．
本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及导数的计算，属于中档题．
13.【答案】解：由题意可得，，
当时，求；
若是的充分条件，则，
故，解得，
故实数的取值范围为．
【解析】先求出，，然后结合集合的交集运算即可求解．
直接利用结合充分性与集合包含关系的转化可求．
本题主要考查了集合的交集运算及集合包含关系的应用，属于基础题．
14.【答案】解：由题意，设等比数列的的公比为，
则由，
可得，解得，
，解得，
，．
由可得，
，
故数列是以为首项，为公差的等差数列，
设等差数列的前项和为，
则，
，
，
，
整理，得，
解得舍去，或，
正整数的值为．
【解析】先设等比数列的的公比为，根据题干已知条件及等比数列的定义计算出公比的值，进一步推导出首项的值，即可计算出等比数列的通项公式；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式，并判断出数列是以为首项，为公差的等差数列，再设等差数列的前项和为，计算出的表达式，然后根据等差数列的求和公式进行计算出列出关于的方程，解出的值，即可得到结果．
本题主要考查等比数列的基本运算，以及等差数列的求和问题．考查了方程思想，整体思想，转化与化归思想，等比数列的通项公式，等差数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
15.【答案】解：由函数是偶函数可知，，
，
即，
，
解得；
由，
，，，
故要使方程有解，则的取值范围为．
【解析】利用偶函数的定义列出方程转化求解即可．
求出函数的值域，即可求出的范围．
本题考查函数与方程思想的应用，考查偶函数的定义以及基本不等式的应用，考查计算能力．
16.【答案】解：，，
又数列的各项均为正数，，
则，即，
所以数列是以为公比的等比数列，又
数列的通项公式；
证明：由得，
令，，
则，
在区间上单调递减，
，当时，，即，
对两边同时取自然对数，
可得
，
记，
则，
两式相减，可得，
，即，所以．
故．
【解析】将分解因式得，因为数列的各项均为正数，可得，即数列是以为公比的等比数列，可求出通项公式；
将两边同时取自然对数，通过构造函数证明其单调性进行放缩，再利用错位相减法求和，即可证明．
本题考查数列递推式求通项，构造函数创造条件利用放缩法证明不等式以及错位相减法求和，属难题．
17.【答案】解：如图建立平面直角坐标系，
则，
由题意设抛物线方程为，代入点，得，解得，
所以抛物线方程为，
由题意知直线为抛物线的切线，
因为点到边的距离为，所以切点的坐标为，
由，得，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
令，得，所以，
令，得，所以，
所以，
即．
因为，
所以，
因为，所以，
所以当时，，
当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以当时，取得最大值，
所以不存在点，使隔离出来的的面积超过平方千米．
【解析】由题意设抛物线方程为，然后将点的坐标代入可求出，则可求得抛物线的方程，再利用导数的几何意义求出切线的方程，从而可求出，两点坐标，进而可表示出的面积；
利用导数求出的最大值与比较即可．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
18.【答案】解：对函数求导得，
，
又，
曲线在处的切线方程为，
即；
记，其中，
由题意知在上恒成立，
下面求函数的最小值，
对求导得，
令，得，
当变化时，，变化情况列表如下：
递减 极小值 递增
，
，
记，则，
令，得，
当变化时，，变化情况列表如下：
递增 极大值 递减
，
故当且仅当时取等号，
又，从而得到；
证明：先证，
记，则，
令，得，
当变化时，，变化情况列表如下：
递减 极小值 递增
，
恒成立，即，
记直线，分别与交于，，
不妨设，则，
从而，当且仅当时取等号，
由知，，则，
从而，当且仅当时取等号，
故，
因等号成立的条件不能同时满足，故．
【解析】求出函数的导数，计算和的值，求出切线方程即可；
求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的极小值，从而求出的值即可；
记，求出的最小值，得到，得到，从而证出结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．
19.【答案】
【解析】解：由题意，，
，故A错误，
，，故B正确，
，当时，，故C错误，
，
，故D正确．
故选：．
通过比较各项的大小，即可得出结论．
本题考查不等式相关知识，属于基础题．
20.【答案】
【解析】解：因，，成等比数列，所以，
即，解得，即，故A正确；
，故B错误；
，
所以当时，由二次函数性质知，或时，的最小值是或，
当时，由二次函数性质知，的最大值是或，故CD正确．
故选：．
根据条件求出，由通项公式可判断，由求和公式可判断，根据前项和公式及二次函数性质可判断．
本题考查等比数列，等差数列的性质，前项和，属于基础题．
21.【答案】
【解析】解：如图所示，两个边长为的正方形和，点在边上的一个动点，
设，则，
当，，三点共线时，即为的中点时，取得最小值，最小值为；
当与或重合时，取得最大值，最大值为，所以A正确；
所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以不正确；
由函数的值域为，因为，所以方程无解，
所以函数没有零点，所以不正确；
由函数，
令，可得，即，
因为且，可得方程有两个解，
即函数有两个零点，所以C正确．
故选：．
取边长为的正方形和，点，设，得到，结合图形，得到的最小值为，最大值为，得到函数的极值和单调性，结合零点概念，逐项判定，即可求解．
本题考查了转化思想、数形结合思想及函数的最值、零点，属于中档题．
22.【答案】
【解析】解：选项A，由题意，数列的序数列单调递减，故数列单调递增，故A正确；
选项B，由数列的序数列单调递增，故数列单调递减，故B错误；
选项D，因为数列是单调递增，所以，即，
因为，所以，因此，
所以，
由数列单调递减，同理可得，
则，
所以
，，也符合该式，故 D正确；
选项C，
，故C正确．
故选：．
根据新定义直接判断，根据数列单调性可得，，据此利用累加法求通项判断，并项求和结合等比数列求和公式判断．
本题以新定义为背景，考查等差数列和等比数列的综合应用，其中，理解新定义数列的序数列的定义是判断数列单调性的关键，属难题．
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