2022-2023学年四川省自贡市高二（下）期末数学试卷（文科）（含解析）

2022-2023学年四川省自贡市高二（下）期末数学试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 当时，复数在复数平面内对应点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
3. 将上所有点经过伸缩变换：后得到的曲线方程为( )
A. B. C. D.
4. 已知命题：，有，则是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5. 已知等比数列的前项和为，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知是双曲线的左焦点，过倾斜角为的直线与双曲线渐近线相交于，两点，为坐标原点，则的面积为( )
A. B. C. D.
7. 关于的不等式的解集是( )
A. B. C. D.
8. “以直代曲”是重要的数学思想具体做法是：在函数图像某个切点附近用切线代替曲线来近似计算比如要求的近似值，我们可以先构造函数，由于与比较接近，所以求出处的切线方程为，再把代入切线方程，故有，类比上述方式则( )
A. B. C. D.
9. 设椭圆的左、右焦点分别为，，是上的动点，则下列四个结论正确的个数( )
；
离心率；
面积的最大值为；
以线段为直径的圆与直线相切．
A. B. C. D.
10. 已知，为的导函数，则的图象是( )
A. B. C. D.
11. 若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
12. 已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知，则 ______ ．
14. 已知函数，若，则的范围是______ ．
15. 双曲线经过一点，渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为______ ．
16. 在平面直角坐标系中，若对于曲线上的任意点，都存在曲线上的点，使得成立，则称函数具备“性质”则下列函数具备“性质”的番号是______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知抛物线：，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，求该抛物线准线方程及求．
18. 本小题分
某中学计划在学校开设劳动实践课程，为了解学生对劳动实践课程的赞同度，随机从高一、高二年级学生中一共抽取了人进行调查，其中高一年级对开设劳动实践课程赞同的占，而高二年级有人表示对开设劳动实践课程赞同如表是部分列联表：
赞同 不赞同 合计
高一年级
高二年级 _____
合计 _____ _____ _____
求表中，，的值；能否有的把握认为对开设劳动实践课程的赞同度与年级有关？
为进一步了解学生对劳动实践课程认知，随机从参与调查的高二学生中选取人，若再从这人中随机选取人进行个别交流，求这人中至少有人不赞同的概率．
附表：．
19. 本小题分
已知函数．
若的单调递减区间为，求实数的值；
若函数在单调递减，求实数的取值范围．
20. 本小题分
在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
求曲线的普通方程，曲线的直角坐标方程；
若为曲线的点，为曲线的点，求的最小值．
21. 本小题分
已知椭圆的离心率为，右顶点．
求椭圆的标准方程；
、为椭圆上的不同两点，设直线，的斜率分别为，，若，判断直线是否经过定点并说明理由．
22. 本小题分
已知函数．
当时，求的极值；
证明：当时，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
，，
复数在复数平面内对应点位于第三象限．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，抛物线的方程为，
则其标准方程为，
则其焦点在轴的正半轴上，，
故其焦点坐标为
故选：．
根据题意，求出抛物线的标准方程，分析其焦点位置以及的值，由抛物线焦点坐标公式即可得答案．
本题考查抛物线的几何性质，注意先将抛物线的方程变为标准方程．
3.【答案】
【解析】解：由得，
代入得，
化简得，即．
故选：．
由变换：变形得到，再代入，化简即可．
本题主要考查平面直角坐标轴中的伸缩变换，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由全称命题的否定可知，：，．
故选：．
根据全称命题的否定是特称命题直接可得答案．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：若公比，则当时，则成立，
若，则，
与符号相同，
与的符号相同，
则“”“”，
即“”是“”充要条件，
故选：．
根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的前项和公式进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列前项和公式求解是解决本题的关键，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意双曲线可知，，
故其渐近线方程为，
过倾斜角为的直线方程为：，即，
不妨设与渐近线的交点如图示：
由于，即；
联立，解得，即，则，
联立，解得，即，则，
则，
故的面积为，
故选：．
求得双曲线焦点坐标和渐近线方程，求得过倾斜角为的直线方程，判断，求出，坐标，继而求得，，即可求得答案．
本题考查双曲线的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：的定义域为，
由，知在单调递减，
又，
所以不等式的解集是．
故选：．
构造，求出定义域，由导函数得到单调性，结合，求出不等式解集．
本题考查导数的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：设，则，
则，，
故在处的切线方程为，
设为，
故由题意得，
故选：．
由题意可设，根据导数的几何意义求得在处的切线方程，根据在函数图像某个切点附近用切线代替曲线来近似计算，即可求得答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，化归转化思想，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，由椭圆的定义可知，故正确；
对于，由椭圆方程知，
所以离心率，故错误；
对于，，当为椭圆短轴顶点时，
的面积取得最大值，最大值为，故错误；
对于，以线段为直径的圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为：
，
即圆心到直线的距离等于半径，
所以以线段为直径的圆与直线相切，故正确．
故选：．
由椭圆定义可判断；求出离心率可判断；当为椭圆短轴顶点时，的面积取得最大值，求出可判断；求出圆心到直线距离可判断．
本题考查椭圆的几何性质，化归转化思想，属中档题．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于时原函数单调递增，当导函数小于时原函数单调递减．
先化简，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除，再根据导函数的导函数小于的的范围，确定导函数在上单调递减，从而排除，即可得出正确答案．
【解答】
解：由，
，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除，．
又，当时，，，
故函数在区间上单调递减，故排除．
故选：．

11.【答案】
【解析】解：因为定义域为，
又，
由，得，
当时，，
当时，
据题意，，
解得：，
故选：．
先确定函数的定义域然后求导数，在函数的定义域内解方程，使方程的解在定义域内的一个子区间内，建立不等关系，解之即可．
本题主要考查了对数函数的导数，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数求极值，考查化归与转化思想，考查逻辑思维能力与运算求解能力，属于拔高题．
问题转化为与有两不同交点，利用导数求的最小值，即可求得实数的取值范围．
【解答】
解：函数有两个不同的零点，即方程有两不同根，
也就是有两不同根，即与有两不同交点，
由，
得，
令，则，
当时，，在上单调递增，
，，在上存在唯一零点，记为，
则，当时，，当时，，
即当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
则有最小值为，
，，两边取对数得．
，
又当时，，当时，．
要使与有两不同交点，
则．
即实数的取值范围是．
故选：．

13.【答案】
【解析】解：，
则，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数没空公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为在上单调递增，
若，则，
解得，
故的范围为．
故答案为：．
先判断函数的单调性，结合单调性即可求解不等式．
本题主要考查了函数单调性在不等式求解中的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意设双曲线的方程为，
可得，
由渐近线方程，可得，
解得，
则双曲线的标准方程为．
故答案为：．
设双曲线的方程为，由题意可得，再由渐近线方程可得，即可得到所求方程．
本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：对于，如图所示，曲线，取点，
要使得点满足成立，那么点落在直线上，
而此时与两直线是平行的，不存在交点，
故此时不满足在上存在点，使得成立，故不满足条件；
对于，如图所示，对于函数，
对于曲线上的任意点，都存在曲线上的点，
使得成立，故满足条件；
对于，因为，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，当时，函数取得最大值，即，
当时，；当时，，
作出的图象，如图所示：
当点，要使得点满足成立，那么点落在直线上，
而此时与两曲线不存在交点，
故此时不满足在上存在点，使得成立，故不满足；
对于，如下图所示，曲线，对于曲线上的任意点，
在曲线上都存在点，使得成立，故满足条件．
故答案为：．
都可以作出简图，对于和，可在图中选取特殊点验证排除；
和可在图中任意选择点，观察是否存在点，使得成立，即可作出判断．
本题属于新概念题，考查了一次函数、三角函数、指数函数的性质、导数的综合运用及数形结合思想，属于中档题．
17.【答案】解：由题意，抛物线：可知，，
则焦点，抛物线准线方程为；
过焦点且倾斜角为的直线的方程为，
联立：可得，
设，，则，
故．
【解析】根据抛物线方程即可确定，继而可得抛物线准线方程；求出过焦点且倾斜角为的直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，利用抛物线的弦长公式即可求得．
本题考查了抛物线的方程和简单几何性质，属于基础题．
18.【答案】解：根据题意可得，，
又，，
故补全的列联表为：
赞同 不赞同 合计
高一年级
高二年级
合计
，
有的把握认为对开设劳动实践课程的赞同度与年级有关；
根据及分层抽样的概念可得：选取的人中，赞同的人，不赞同的人，
故所求概率．
【解析】先根据题意求出，的值，再补全列联表，最后根据独立性检验原理，即可求解；
根据古典概型的概率公式，对立事件的概率公式，计算即可得解．
本题考查独立性检验原理的应用，分层抽样的概念，古典概型的概率公式与对立事件的概率公式的应用，属基础题．
19.【答案】解：由题意得，
因为的单调递减区间为，
即的解集为，
故，是的两根，
即，
，
当时，，
由，解得，
等号仅在，时取得，即的单调递减区间为，符合题意，
故．
函数在单调递减，即在上恒成立，
即在上恒成立，
此时，
即在上恒成立，
而，
故，
经验证当时，即，
，等号仅在，时取得，
此时函数在单调递减，符合题意，
故实数的取值范围是．
【解析】求出函数的导数，根据的单调递减区间为，可得，是的两根，即可求得答案；
由函数在单调递减，可得在上恒成立，即可推出在上恒成立，从而求得答案．
本题考查导数的综合应用，属于中档题．
20.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，转换为普通方程为；
曲线的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为．
圆心到直线的距离，
故的最小值为．
【解析】直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用点到直线的距离公式求出结果．
本题考查的知识要点：极坐标方程、参数方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
21.【答案】解：已知椭圆的离心率为，右顶点，
所以，
又，
联立，解得，，
则椭圆的标准方程为；
因为、为椭圆上的不同两点，设直线，的斜率分别为，，
当直的斜率不存在时，设直线的方程为，
此时，，
可得，
若，
此时，
整理得，
解得或舍去，
此时直线的方程为，经过定点；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
不妨设，，
由韦达定理得，，
所以，
若，
此时，
整理得，
解得或，
当时，直线的方程为，经过定点，不符合题意；
当，直线的方程为，经过定点，符合题意，
综上，直线经过定点．
【解析】由题意，根据离心率公式、顶点坐标以及，列出等式即可求出椭圆的标准方程；
设出直线的方程，对直线的斜率是否存在进行讨论，当直线的斜率存在时，设出直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立，结合根的判别式、韦达定理以及题目所给信息列出等式即可求出定点坐标，当直线的斜率不存在时，按部就班进行求解即可．
本题考查椭圆的性质和直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
22.【答案】解：当时，，
，
令得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以，无极小值．
证明：的定义域为，
当时，，
所以，
要证，
只需证，
即证，
令，，
只需证明，
，则单调递减，
时，；，，
，
所以存在，使得，即，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以，
由得，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，得证．
【解析】当时，，求导分析的符号，的单调性，极值点，即可得出答案．
的定义域为，当时，，则，要证，
只需证，令，，只需证明，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
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