山西省朔州市怀仁市2022-2023学年高二下学期期末教学质量调研数学试卷（含解析）

山西省朔州市怀仁市2022-2023学年高二下学期期末教学质量调研数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉后，下列说法正确的是( )
A.相关系数r变小 B.决定系数变小
C.残差平方和变大 D.解释变量x与预报变量y的相关性变强
2、已知等差数列的前n项和，若，则( )
A.150 B.160 C.170 D.180
3、已知随机变量服X从正态分布，且，则( )
A. B. C. D.
4、在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是( )
A. B. C. D.
5、一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位数为n，则二项式展开式的常数项为( ).
A. B.60 C.120 D.240
6、某校得到北京大学给的10个推荐名额现准备将这10个推荐名额分配给高三年级的6个班级(每班至少一个名额)，则高三（1）班恰好分到3个名额的概率为( )
A. B. C. D.
7、某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：
x（月份） 1 2 3 4 5
y（万盒） 5 6 5 6 8
若x，y线性相关，线性回归方程为，则以下判断正确的是( )
A.x增加1个单位长度，则y一定增加0.7个单位长度
B.x减少1个单位长度，则y必减少0.7个单位长度
C.当时，y的预测值为8.1万盒
D.线性回归直线，经过点
8、已知，，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、设随机变量的分布列如下表所示，则下列选项中正确的为( )
0 1 2 3
P m
A. B. C. D.
10、若，，则下列结论中正确的有( )
A.
B.
C.
D
11、2023年，某省继续招募高校毕业生到基层从事支教，支农，支医和帮助乡村振兴的服务工作（简称“三支一扶”），此省某师范院校某毕业班的6名毕业生（其中有3名男生和3名女生，男生中有一名班长）被分配到甲乙丙三地进行支教，且每地至少有一名毕业生．则下列正确的是( )
A.甲乙丙三地各分配一名男生和一名女生，则共有种分配方法
B.6名毕业生平均分配到甲乙丙三地，则共有种分配方法
C.男班长必须到甲地，则共有180种分配方法
D.班长必须到甲地，某女生必须到乙地，则共有65种分配方法
12、已知函数，函数，下列选项正确的是( )
A.点是函数的零点；
B.，，使
C.若关于x的方程有一个根，则实数a的取值范围是
D.函数的值域为
三、填空题
13、某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组的平均数为__________．
14、函数在区间上有最大值，则a的取值范围是________．
15、现有甲、乙两个口袋，其中甲口袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球；乙口袋内装有两个1号球，一个2号球，一个3号球.第一次从甲口袋中任取1个球，将取出的球放入乙口袋中，第二次从乙口袋中任取一个球，则第二次取到2号球的概率为__________.
16、若数列，，，，满足，则称此数列为“准等差数列”．现从1，2，，9，10，这10个数中随机选取4个不同的数，则这4个数经过适当的排列后可以构成"准等差数列"的概率是__________．
四、解答题
17、已知等差数列的前n项和为，，．正项等比数列中，，．
（1）求与的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
18、2023年山东淄博成立了烧烤协会，发布烧烤地图，举办烧烤节庆活动．淄博烧烤是淄博饮食文化的重要组成部分．淄博烧烤保留有独立小炉纯炭有烟烧烤．五一前后举办了淄博烧烤节，集中展示烧烤名店、特色品种，辅以演出、啤酒展销等多种方式，为市民提供优质烧烤产品．打通“吃住行游购娱”各要素环节，推出一批“淄博烧烤+特色文旅”主题产品．烧烤协会为了解游客五月一日至3日的消费情况，对这期间的100位游客消费情况进行统计，得到如下人数分布表：
消费金额（元）
人数 15 20 25 20 10 10
（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为消费金额是否少于600元与性别有关，
不少于600元 少于600元 合计
男 25
女 40
合计
（2）为吸引游客，该市推出两种优惠方案：
方案一：每满200元减40元．
方案二：消费金额不少于600元可抽奖3次，每次中奖概率为，中奖1次减100元，中奖2次减150元，中奖3次减200元．
若某游客计划消费600元，依据优惠金额的期望的大小，此游客应选择方案一还是方案二？请说明理由．
附：参考公式和数据：，．
附表：
2.072 2.706 3.841 6.635
0.150 0.100 0.050 0.010
19、在今山西怀仁县，故名．明《大明一统志》有“锦屏山在怀仁县西南二十五里，山旧有磁窑”记载．怀仁陶瓷历史已逾千年，始于春秋，兴于辽金，盛于明清．目前怀仁有53家陶瓷企业，某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格概率依次为0.6、0.5、0.75．
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，记合格工艺品的件数为，求随机变量的分布列及数学期望．
20、已知函数，.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性.
21、某市举行招聘考试，共有4000人参加，分为初试和复试，初试通过后参加复试．为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值；
（2）若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试估计初试成绩不低于88分的人数；
（3）复试共三道题，第一题考生答对得5分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及均值．
附：若随机变量X服从正态分布，则：，，．
22、已知函数.
（1）若函数在区间上恰有两个极值点，求a的取值范围.
（2）证明：当时，在上，恒成立.
参考答案
1、答案：D
解析：从图中可以看出较其他点，偏离直线远，故去掉后，回归效果更好，
对于A，相关系数越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉后，相关系数r变大，故A错误；
对于B，决定系数越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉后，决定系数变大，故B错误；
对于C，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，若去掉后，残差平方和变小，故C错误；
对于D，若去掉后，解释变量x与预报变量y相关性变强，且是正相关，故D正确．故选：D．
2、答案：B
解析：因为为等差数列，所以，
因为，所以，
.
故选：B
3、答案：A
解析：随机变量服X从正态分布，且，
所以.
故选：A
4、答案：C
解析：X服从超几何分布，，故，故选：C.
5、答案：B
解析：因为，所以.
所以展开式的通项为，
令得，所以展开式的常数项为.故选B.
6、答案：B
解析：将10个名额分给6个班，每班至少一个名额，
即从9个分段中选择5个段分开，共有种方法，
若三（1）班恰好分到3个名额，则只需将剩下的7个名额分给5个班，共有方法，
从而概率为.
故选：B
7、答案：C
解析：，，
代入线性回归方程中得，，
故线性回归方程为，
对于A：回归直线方程是点分布在直线附近或在直线上，x增加1个单位长度，则y可能增加0.7个单位长度，A错误；
对于B：回归直线方程是点分布在直线附近或在直线上，x减少1个单位长度，则y可能减少0.7个单位长度，B错误；
对于C：当时，，故C正确；
对于D：线性回归直线必经过点，故D错误.
故选：C.
8、答案：B
解析：由题意可知，，，
于构造函数，，则，
当时，；当时，；
故在上单调递增，在上单调递减，
而，，
又，，故，
故选：B
9、答案：BD
解析：根据概率和为1，可得，解得.
对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确.
故选：BD
10、答案：AD
解析：
对于A，令则故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，令则，则
故C错误；
对于D，令得又
故D正确.
故选：AD
11、答案：ACD
解析：A选项，甲乙丙三地各分配一名男生和一名女生，
个男生中选个到甲地，方法有种；在剩下的2个男生中选1个到乙地，
方法有种；最后1个男生放在丙地；再安排女生，方法有种.所以共有种分配方法，A选项正确.
B选项，6名毕业生平均分配到甲乙丙三地，方法数有种分配方法，B选项错误.
C选项，男班长必须到甲地，方法数有：
种分配方法，C选项正确.
D选项，班长必须到甲地，某女生必须到乙地，方法数有：
种分配方法，D选项正确.
故选：ACD
12、答案：BD
解析：令，可得，是函数的零点，零点是实数0，不是点，A错误；
因为，当时，，当时，，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且的极小值为和，且，
当时，，当时，，如图，作出函数的图像，
观察图像可知，，，使，所以B正确；
函数的值域为，D正确；
对于C，由，得，因为，则，
令，得或或，当x变化时，，的变化情况，如下表
x 0 1 2
＋ 0 － 0 ＋ － 0 ＋
递增 递减 0 递增 e 递减 递增
如图，
当或，或时，关于的方程有一个根，所以a的取值范围是，C不正确.
故选：BD．
13、答案：
解析：这组数据共5个数，中位数为8，则从小到大排列时，8的前面有两个数，
后面也有两个数，又唯一的众数为9，则有两个9，
其余数字均只出现一次，则最大数字9，
又极差为3，所以最小数字为6，
所以这组数据为6，7，8，9，9，
则平均数为
故答案为：.
14、答案：
解析：，，
令解得；令，解得或，
由此可得在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，
故函数在处有极大值，在处有极小值，
即，解得，
故答案为：
15、答案：
解析：记事件，分别表示第一次、第二次取到i号球，，2，3，
依题意，，两两互斥，其和为，
并且，，，
所以，，，
应用全概率公式，有，
.故应填.
16、答案：
解析：和为5有2种组合，和为6有2种组合，
和为7有3种组合，和为8有3种组合，
和为9有4种组合，和为10有4种组合，
和为11有5种组合，和为12有4种组合，
和为13有4种组合，和为14有3种组合，
和为15有3种组合，和为16有2种组合，
和为17有2种组合，
所以.
故答案为：
17、答案：（1），
（2）
解析：（1）
等差数列的前n项和为，，，设公差为d，
所以，解得
所以
正项等比数列中，，，设公比为q
所以，所以
解得，或（舍去）
所以
（2）由（1）知：
所以
两式相减得：
18、答案：（1）表格见解析，有的把握认为消费金额是否少于600元与性别有关
（2）选择方案一，理由见解析
解析：（1）列联表如下：
不少于600元 少于600元 合计
男 25 20 45
女 15 40 55
合计 40 60 100
，
因此有的把握认为消费金额是否少于600元与性别有关．
（2）按方案一：某游客可优惠120元．
按方案二：设优惠金额为X元，X可能取值为0，100，150，200．
，，
，，
所以X的分布列为
X 0 100 150 200
P
．
所以选择方案一．
19、答案：（1）0.38
（2）分布列见解析，0.9
解析：（1）
第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为：
．
（2）经过前后两次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为：
，，．
所以，
故随机变量的可能取值为0，1，2，3，且．
故；；
，
所以随机变量的分布列为
0 1 2 3
P
故随机变量的数学期望．
20、答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）当时，，，
，，
所以切线方程为：，即.
（2）因为，.
所以.
①当时，令，得，所以在上单调递减；
令，得，所以在上单调递增.
②当时，令，得.所以在上单调递减；
令，得或.所以在和上单调递增.
③当时，在时恒成立，所以在R单调递增.
④当时，令，得.所以在上单调递减；
令，得或.所以在和上单调递增.
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
当时，在R上单调递减；
当时，在上单调递减，在和上单调递增.
21、答案：（1）62
（2）91人
（3）分布列见解析，均值为
解析：（1）样本平均数的估计值为．
（2）因为学生初试成绩X服从正态分布，其中，，
则，
所以，
所以估计初试成绩不低于88分的人数为人．
（3）Y的取值分别为0，5，10，15，20，25，
则，
，
，
，
，
，
故Y的分布列为：
Y 0 5 10 15 20 25
P
所以数学期望为．
22、答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）令，，在上，，为减函数，值域为，在上，，为增函数，值域为，故当时，有两解，即原函数有两个极值点.
（2）构造函数，则，令，由为增函数，故，当时，为增函数，，当时，，故在上，，只须证：，即证：，令，则，令，，故为增函数，为增函数，即，在上，，故只须证：，即证：，令，，故，故原不等式得证.