2022-2023学年四川省绵阳市高二（下）期末数学试卷（文科）（含解析）

2022-2023学年四川省绵阳市高二（下）期末数学试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若复数，则( )
A. B. C. D.
2. 集合，，，，则的元素个数为( )
A. B. C. D.
3. 命题：“，”，则为( )
A. ， B. ，
C. D.
4. 下列函数中是偶函数，且在上为增函数的是( )
A. B. C. D.
5. 要得到函数的图象，只需将指数函数的图象( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
6. 定义在上的奇函数的图象关于直线对称，当时，，则( )
A. B. C. D.
7. 若函数有且仅有一个极值点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D. 或
8. 函数的大致图像为( )
A. B.
C. D.
9. 若函数，则“”是“函数存在零点”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 甲、乙、丙在九寨沟、峨眉山、青城山三个景点中各选择了一个景点旅游，每人去的景点都不相同已知乙没有去九寨沟；若甲去了峨眉山，则丙去了青城山：若丙没有去峨眉山，则甲去了峨眉山下列说法正确的是( )
A. 丙去了峨眉山 B. 乙去了峨眉山 C. 丙去了青城山 D. 甲去了青城山
11. 已知函数，若，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
12. 已知函数，，若，，都有，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若幂函数的图象过点，则 ______ ．
14. 已知，，且，，则 ______ ．
15. 曲线在点处的切线方程为______ ．
16. 若为奇函数，则实数 ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知，命题：“”，命题：“，”．
若命题为假命题，求实数的取值范围；
若命题“”为真命题，求实数的取值范围．
18. 本小题分
为了改善湖泊的水质，某市环保部门于年年终在该湖泊中投入一些浮萍，这些浮萍在水中的繁殖速度越来越快，年月底测得浮萍覆盖面积为，年月底测得浮萍覆盖面积为，浮萍覆盖面积单位：与年的月份单位：月的关系有两个函数模型与可供选择．
分别求出两个函数模型的解析式；
若年年终测得浮萍覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底浮萍覆盖面积能超过？参考数据：，
19. 本小题分
已知二次函数．
若函数的图像与轴的交点为和，且函数在上不单调，求实数的取值范围；
已知，函数在处取得极值为，求函数在区间上的最大值结果用含的代数式表示．
20. 本小题分
已知函数．
若，求函数的极值，并判断其零点的个数；
若对任意，成立，求实数的取值范围．
21. 本小题分
已知函数，．
讨论函数的单调性；
若函数的零点分别为，，且，证明：．
22. 本小题分
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，其中，．
求的普通方程与直线的直角坐标方程；
直线与曲线交于，两点，且，两点对应的极角分别为，，求的值．
23. 本小题分
已知函数．
当时，求不等式的解集；
若的最小值为，且，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
则．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：联立，
解得或，
的元素个数为．
故选：．
联立直线与抛物线的方程，解得交点，即可求解．
本题考查集合的交集运算，直线与抛物线的位置关系，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：命题：“，”为全称命题，其否定为特称命题，
即：．
故选：．
根据全称命题的否定形式求解．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：对于，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又任取，可得，，
所以函数为偶函数，
因为，所以在上不是增函数，A错误；
对于，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，
所以函数不是偶函数，B错误；
对于，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又任取，可得，，
所以函数为奇函数，C错误；
对于，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，
由幂函数性质可得函数在上单调递减，
所以函数在上单调递增，D正确；
故选：．
根据偶函数的定义判断各函数是否为偶函数，再结合余弦函数和幂函数的性质判断选项AD的单调性可得结论．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，函数，
要得到函数的图象，只需将指数函数的图象向右平移个单位．
故选：．
根据题意，有，结合函数图象平移变换的规律分析可得答案．
本题考查函数的图象变换，涉及指数函数的运算，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，且，
；
又时，，
，
．
故选：．
利用函数奇偶性的性质与函数的对称性判断即可．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，
，
又函数有且仅有一个极值点，
方程有且仅有一个正根，且正根的两侧函数的函数值异号，
．
故选：．
求函数的定义域和导函数，结合极值点的定义列不等式求的取值范围．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与极值，化归转化思想，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：函数中，，当时，，看图像知选项错误；
函数中，，当时，，看图像知选项错误；
令，
解得，，
故，为函数的极值点，故C选项不符合，选项正确．
故选：．
利用排除法，先利用函数值正负的分布判断B错误，再利用特殊值判断D错误，根据极值点确定C错误，即得答案．
本题考查根据函数性质确定函数图像，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：函数存在零点可得，等价于方程有实数根，
等价于有非零实数根，
等价于，等价于或，
所以“”是“函数存在零点”的充分不必要条件．
故选：．
结合零点的定义求“函数存在零点”的等价条件，再由充分条件和必要条件的定义判断结论即可．
本题考查函数性质、充分条件、必要条件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，若甲去峨眉山，则丙去青城山，乙只能去九寨沟，显然与矛盾，所以甲没有去峨眉山，
所以由可知，丙去了峨眉山．
故选：．
根据题意进行分析即可．
本题主要考查类比推理，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：由函数，，
可得，，，
即有，，
则，．
设，，
可得，
当时，，递增；当时，，递减，
则时，取得最小值，
则取得最小值．
故选：．
由分段函数的解析式可得，设，，求得导数和单调性，可得所求最小值．
本题考查分段函数的运用，以及导数的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由，，都有，
等价于，
由，则，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值，即为最大值，
所以，
所以在上恒成立，即，，
因此，，在恒成立，
设，，，
所以单调递增，当时，，
当时，，则必然存在唯一的零点，
当时，，
故时，，递减，时，，递增，
故，
故的取值范围是
故选：．
由题意可知，，求导根据导数与函数单调性的关系，求得的最大值，可得，，分离参数，构造新函数，求得函数的最小值，即可求得的取值范围．
本题考查导数的综合应用，导数与函数单调性，极值和最值的关系，考查恒成立问题，考查函数思想，计算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：设幂函数为，则，得，
所以，
所以．
故答案为：．
将代入幂函数中求出，从而可求出的值．
本题主要考查幂函数的定义，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，所以，所以，
又，
所以，解得，
所以，故．
故答案为：．
结合指数式与对数式的关系及对数运算性质解方程可得结论．
本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，
，
，
所以点处的切线方程为，即，
故答案为：．
求导，即可由点斜式得直线方程．
本题考查利用导数研究函数的单调性，化归转化思想，属基础题．
16.【答案】
【解析】解：中，
又为奇函数，其定义域关于原点成中心对称，
，
即当时，必有．
；
为奇函数，当时有意义，
，
解得，
，满足．
故答案为：．
利用奇函数的定义域关于原点成中心对称，可得当时，必有求得，继而由可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，求得的值是关键，属于中档题．
17.【答案】解：命题：“，”，
故对恒成立；
又当时，在上取最大值，
命题为真命题时，实数的取值范围是；
命题为假命题时，实数的取值范围为．
由可知，当命题为真命题时，，
当命题为真命题时，，解得或．
命题“”为真命题，则命题为真命题，且命题为假命题，
；
综上所述：实数的取值范围为．
【解析】根据函数的最值即可求解为真命题时的范围，即可求解为假时的范围，
根据一元二次方程根的情况，根据命题真假性的判断即可列不等式求解．
本题主要考查命题真假的判断，复合命题的真假，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：若选择模型，
则，解得，，
故函数模型为，
若选择模型，则，
解得，，
故函数模型为．
把代入可得，，
把代入可得，，
，
选择函数模型更合适，
令，可得，两边取对数可得，，
，
故浮萍至少要到年月底覆盖面积能超过．
【解析】将，分别代入两个函数表达式中即可求解，
根据确定选用的函数，即可利用对数的运算求解．
本题主要考查根据实际问题选择函数类型，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：根据题意，函数的图像与轴的交点为和，
函数图像的对称轴为，
又在上不单调，
则满足，解得，
即实数的取值范围为．
函数在处取得极值为，
方程有两个相等的实根，
故，解得
此时，
，对称轴为，
，则，
．
【解析】由二次函数的图像与轴的交点求出对称轴，由函数在区间上不单调，列不等式求实数的取值范围；
由题意，二次函数的图像抛物线开口向上，顶点坐标为，对应的二次方程有两个相等的实根，利用韦达定理求出，与的关系，由函数图像的对称轴确定函数最大值点．
本题考查二次函数的性质以及应用，涉及函数的单调性，属于基础题．
20.【答案】解：时，，
，
令，解得：，，
当变化时，，的取值情况如下：
递减 极小值 递增 极大值 递减
而，，，，
根据零点存在定理，分别在，，上各有一个零点，
故函数的极大值为，极小值为，且有三个零点．
，
，令，解得：，，
当时，，在上为增函数，
，满足题意；
当时，由，得，，得，
故在上是增函数，在上为减函数，
，解得：；
当时，由，得，由，得，
故在上是增函数，在上为减函数，
，不合题意．
综上所述，的取值范围是．
【解析】代入的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值和零点个数即可；
求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，得到关于的不等式，解出即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是中档题．
21.【答案】解：函数的定义域为，导函数，
当时，，则在上单调递增；
当时，令，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减；
证明：由知，方程的两个不等的正实根，，即，，
亦即，从而，
设，又，即，
要证，即证，
只需证，
即证，
即证，
即证，
即证，
即证，
即证，
令，则
设，则
则在上单调递增，有，
于是，即有在上单调递增，
因此，即，
所以成立，即．
【解析】求函数的定义域和导函数，结合导数与函数单调性的关系判断函数的单调性；
由已知结合两点定义可得，由分析可得要证明，只需证明，
设，则只需证明，设，再利用导数求函数的最值即可证明结论．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性，分析法的应用，化归转化思想，属难题．
22.【答案】解：曲线的参数方程为，可得，
即，的普通方程，
由，可得，
直线的直角坐标方程为；
由可得曲线的极坐标方程，
直线的极坐标方程为，
代入得，
，化简得，
，，
，，
，
由题意可得，，，
．
【解析】利用同角的正余弦的平方和为可得的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化易求直线的直角坐标方程；
联立直线与曲线的极坐标方程可求得，进而可得的值．
本题考查参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标的互化，考查三角恒等变换，属中档题．
23.【答案】解：时，函数；
不等式等价于或或，
解得或或，即，
所以不等式的解集为；
因为，
所以的最小值为，解得，
所以，所以，
所以，
当且仅当，即时取“”，所以最小值为．
【解析】把绝对值去掉，把不等式转化求解集即可；
利用绝对值不等式求出的最小值，得出，代入求出，再求的最小值．
本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
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