2022-2023学年辽宁省抚顺市六校协作体高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省抚顺市六校协作体高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2. 已知随机变量，若，则( )
A. B. C. D.
3. 数列中，“”是“数列为等比数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 某人设计的一个密码由个英文字母不分大小写后接个数字组成，且个英文字母不相同，个数字也互不相同，则该密码可能的个数是( )
A. B. C. D.
5. 函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
6. 某种产品的加工需要经过道工序，如果其中某道工序必须相邻，另外有道工序不能相邻，那么加工顺序的种数为( )
A. B. C. D.
7. 的展开式中按的升幂排列的第项为( )
A. B. C. D.
8. 已知，则必有( )
A. B. 且 C. D. 且
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知两个随机变量，满足，若，则( )
A. B. C. D.
10. 已知函数的导函数的图象如图所示，则( )
A. 有个极大值点 B. 在处取得极大值
C. D.
11. 已知，则( )
A.
B.
C.
D.
12. 定义在上的偶函数满足，当时，，则( )
A.
B. 的一个周期为
C. 的图象关于点对称
D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若，则 ______ ．
14. 函数的定义域为______ ，最小值为______ ．
15. 记为等差数列的前项和，公差为，若，，，则整数的一个值可以为______ ．
16. 利率的变动会对股价产生一定的影响，根据分析得出，在利率下调的情况下，某股票的股价上涨的概率为，在利率不变的情况下，该股票的股价上涨的概率为，在利率上调的情况下，该股票的股价上涨的概率为假设利率下调的概率为，利率不变的概率为，则该股票的股价上涨的概率为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知在等差数列中，，．
求的通项公式；
求数列的前项和．
18. 本小题分
为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素对本校学生体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行调查，得到下表：
体育锻炼 性别 合计
男生 女生
喜欢
不喜欢
合计
在本次调查中，男生人数占总人数的，女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的．
求，的值；
依据的独立性检验，能否认为学生的性别与喜欢体育锻炼有关？
附：，．
19. 本小题分
已知函数的极小值点为．
求；
若过点作直线与曲线相切，求切线方程．
20. 本小题分
若成对样本数据都落在直线上，求样本相关系数．
现随机抽取家航空公司，对其最近一年的航班正点率和乘客投诉次数进行调查所得数据如下表所示：
航空公司编号
航班正点率
乘客投诉次数
根据表格的数据，试问乘客投诉次数与航班正点率之间是否呈现线性相关关系？它们之间的相关程度如何？
参考数据：相关系数，当时两个变量之间具有很强的线性相关关系取．
21. 本小题分
广场舞、健步走已成为广大群众喜闻乐见的健身活动，但围绕其噪音、占道发生的“扰民”问题常让人感到头疼，也成为社会关注的热点不少地区为此出台了相关政策，对违规行为进行处罚，某地为引导群众文明开展健身活动，促进全民养成文明健康、绿色环保的生活方式，规范广场舞、集体健步走等活动的开展，发布了静音广场舞，规范健步走倡议书小明的妈妈为响应号召，在家里积极锻炼，等步长沿直线前后连续移步已知她从点出发，每次向前移动步的概率为，向后移动步的概率为．
求移动步后回到点的概率；
若移动步后到达点，记，两点之间的步数为随机变量，求的分布列和数学期望．
22. 本小题分
已知函数．
若在上单调递增，求实数的取值范围．
已知方程有两个不相等的实数根，，且．
求的取值范围；
若，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，，
所以．
故选：．
根据集合的交集概念运算即可．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由随机变量及正态分布的对称性，
知，
所以，
所以．
故选：．
由正态分布的对称性求解即可．
本题考查百分位数的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：数列中，当“”时，
若，，，“数列为等比数列”；
若或含义项，，“数列不是等比数列”；
故数列中，“”不能推出“数列为等比数列”
当“数列为等比数列”在数列中，
满足等比数列的定义：同一常数，则一定有“”成立．
故数列中，“数列为等比数列能推出”“”
所以：数列中，“”是“数列为等比数列”的必要不充分条件．
故选：．
利用等比数列定义和中项，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：从个英文字母选个的排列有种．
从到，个数字中选个的排列有种，
则该密码可能的个数是．
故选：．
根据分步计数原理以及排列公式进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用分步计数原理以及排列公式进行计算是解决本题的关键，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为的定义域为，关于原点对称，
且，
所以是偶函数，排除，，
当时，，排除．
故选：．
根据奇偶性排除，；根据当时，，排除，从而可得答案．
本题主要考查了函数奇偶性的判断，考查了函数图象的变换，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，设两道必须相邻的工序为、，不能相邻的工序为、，剩下的两道工序为、，
先将与看成一个整体，与、进行全排列，排好后有个空位可用，
在个空位中任选个，安排和，
则有种安排方法．
故选：．
根据题意，设两道必须相邻的工序为、，不能相邻的工序为、，剩下的两道工序为、，先用捆绑法分析、，将、整体与、进行全排列，再用插空法分析和，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为的通项，
所以按的升幂排列的第项为．
故选：．
根据二项展开式的通项公式运算求解．
本题考查二项展开式的通项公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为，所以，，，
所以
，所以，
，所以，
符号不能确定，所以，的大小不能确定
所以且．
故选：．
由，得，，，，再根据作差法变形两两判断即可．
本题考查不等式相关知识，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：已知，
所以，
又，
此时，
．
故选：．
由题意，根据二项分布的期望与方差公式代入计算即可得到，，再利用期望与方差的性质求出，，结合选项进行逐一分析即可．
本题考查二项分布的期望和方差，考查了逻辑推理和运算能力．
10.【答案】
【解析】解：由图可知，，是函数的三个极值点，
可知在及处取得极大值，A错误，B正确．
当时，，则单调递增，
则，C正确．
当时，，单调递减，
则，D正确．
故选：．
根据的导函数的图象可得函数的单调性，极值点，从而判断各个选项．
本题考查函数的极值点问题，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，令，则，所以A正确，
对于，令，则，
因为，所以，所以B错误，
对于，令，则，
因为，
所以，
所以，所以C正确，
对于，令，则，
因为，所以，所以D正确．
故选：．
对于，令可求出，对于，令，再结合可求进行判断，对于，令，，再结合可求得结果，对于，令，再结合可进行判断．
本题主要考查二项式定理，考查转化能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于，因为为偶函数，且当时，，
所以，故A正确；
对于，因为为偶函数，且，
所以，所以，
所以的周期为，故B正确；
对于，因为，所以的图象关于直线对称．
因为的周期为，
所以的图象关于直线对称，故C错误；
对于，因为，，，，
所以，故D错误．
故选：．
对于，利用偶函数求得，即可判断；对于，由题意可得，从而有，即可判断；对于，由题意可得的图象关于直线对称，从而可判断；对于，，，，，再利用周期性即可计算，从而可判断．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，
所以，所以或舍去．
故答案为：．
根据组合数性质得到关于的方程，解出即可．
本题考查组合数公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由，得，则的定义域为，
，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．
故答案为：，．
根据函数的解析式可得定义域；利用基本不等式可得的最小值．
本题主要考查了函数的定义域及值域的求解，属于基础题．
15.【答案】答案不唯一
【解析】解：因为，所以，
所以，
故的整数解为，，．
故答案为：答案不唯一．
利用等差数列前项和的基本量计算可求得．
本题主要考查了等差数列的前项和公式，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：记事件为“利率下调”，事件为“利率不变”，事件为“利率上调”，事件为“股价上张”，
则，，，，，，
所以．
故答案为：．
利用全概率公式计算可得答案．
本题主要考查全概率公式，属于基础题．
17.【答案】解：设的公差为由，可得．
因为，所以．
因为，所以，故．
因为，所以，
所以．
【解析】根据等差数列的通项公式和性质求解首项和公差，即可得的通项公式；
直接根据裂项相消法求前项和．
本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：由题可知，解得，．
零假设为学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联，
根据列联表及中数据，经计算得到，
根据小概率值的独立性检验，我们推断成立，即学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联．
【解析】根据题设条件，建立，的方程组即可求出结果；
通过计算出即可判断出结果．
本题主要考查独立性检验，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：函数的定义域为，求导得，
由的极小值点为，得，解得，
此时，
当时，当时，即为的极小值点，
所以．
由知，，
设切点为，则，
于是切线方程为，
而切线过点，因此，
整理得，即，解得，
当时，切线方程为；
当时，切线方程为，即，
所以所求切线方程为，．
【解析】求出函数的导数，由求出值，再验证作答．
设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，结合已知求出切点坐标作答．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数求函数的切线，属中档题．
20.【答案】解：因为成对样本数据都落在直线上，
直线的斜率为负数，相关系数为．
，
，
，
，
，
，
，
乘客投诉次数与航班正点率之间负相关，具有很强的线性相关关系．
【解析】利用相关系数与线性相关程度的关系得结果；
计算相关系数，由数据判断结论．
本题主要考查线性回归方程，相关系数，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：记向前移动步为事件，
此时，
若移动步，回到点相当于步中两步向前，两步向后，
则移动步后回到点的概率；
若移动步后到达点，
此时的所有取值为，，，
所以，
，
，
则的分布列为：
所以．
【解析】由题意，得到每次向前移动一步的概率，再根据独立重复试验概率公式进行求解即可；
先得到的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查了逻辑推理和运算能力．
22.【答案】解：因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立．
因为，所以，即．
令，则，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以．
由，得，即的取值范围是．
由题意知关于的方程，有两个不相等的实数根，，
即关于的方程有两个不相等的实数根，
即关于的方程有两个不相等的实数根，等价于直线与曲线有两个不同的交点．
由知，在上单调递增，在上单调递减，又，
则当时，，当时，，所以．
证明：因为，所以，
所以，
令，因为，所以
所以．
令，则．
令，则，
所以在上单调递增，
所以，所以当时，，
所以在上单调递减．
因为，所以，
所以，所以．
【解析】根据函数单调可得在上恒成立，即可得，设，求导确定单调性及最值，即可得实数的取值范围；
根据方程有两个不相等的实数根，即转化为方程方程有两个不相等的实数根，由可得的单调性，结合其取值，即可得实数的取值范围；由零点得，利用比值代换，令，，可设，求导确定其单调性，利用单调性即可证明结论．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，不等式的证明，考查运算求解能力，属于难题．
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