2022-2023学年辽宁省沈阳市五校协作体高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省沈阳市五校协作体高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
2. 某大学推荐名男生和名女生参加某企业的暑期兼职，该企业欲在这人中随机挑选人从事产品的销售工作，记抽到的男生人数为，则( )
A. B. C. D.
3. 若函数有两个零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
4. 设，分别为等差数列的公差与前项和，若，则下列论断中正确的有( )
A. 当时，取最大值 B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
5. 某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗，并在名志愿者身上进行了人体注射实验，发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答若这些志愿者的某免疫反应蛋白的数值单位：近似服从正态分布，且在区间内的人数占总人数的，则这些志愿者中免疫反应蛋白的数值不低于的人数大约为( )
A. B. C. D.
6. 设，，，则下列说法错误的是( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
7. 已知数列的各项均为正数，且，对于任意的，均有，若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则( )
A. B. C. D.
8. 已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法正确的是( )
A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 图象关于点成中心对称
C. 的最大值为
D. 幂函数在上为减函数，则的值为
10. 有台车床加工同一型号的零件，第，，台加工的次品率分别为，，，加工出来的零件混放在一起已知第，，台车床加工的零件数的比为：：，现任取一个零件，记事件“零件为第台车床加工”，事件“零件为次品”，则( )
A. B. C. D.
11. 在数列中，，且对任意不小于的正整数，恒成立，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. ，，成等比数列 D.
12. 定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是( )
A. B. 函数关于对称
C. 函数是周期函数 D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 函数的值域为______ ．
14. 已知函数满足，且当时，若，恰有个解，则的取值范围为 ．
15. 设定义在上的函数满足，则函数在定义域内是______ 填“增”或“减”函数；若，，则的最小值为______ ．
16. 已知数列满足，是数列的前项和且，则 ______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知数列满足，且，数列是公差为的等差数列．
探究：数列是等差数列还是等比数列，并说明理由；
求使得成立的最小正整数的值．
18. 本小题分
某校组织数学知识竞赛活动，比赛共道必答题，答对一题得分，答错一题扣分．
学生甲参加了这次活动，假设每道题甲能答对的概率都是，且各题答对与否互不影响．设甲答对的题数为，甲做完道题后的总得分为．
Ⅰ试建立关于的函数关系式，并为；
Ⅱ求的分布列及．
19. 本小题分
已知函数．
求函数在处的切线方程；
若不等式恒成立，求实数的取值范围．
20. 本小题分
区教育局准备组织一次安全知识竞赛某校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取名学生进行安全知识测试，记“性别为男”，“得分超过分”，且，，．
完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生了解安全知识的程度与性别有关？
性别 了解安全知识的程度 合计
得分不超过分的人数 得分超过的人数
男
女
合计
学校准备分别选取参与测试的男生和女生前两名学生代表学校参加区级别的竞赛，已知男生获奖的概率为，女生获奖的概率为，记该校获奖的人数为，求的分布列与数学期望．
下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．
21. 本小题分
已知等差数列满足，，其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列．
求数列、的通项公式；
设的前项和为，求；
设，的前项和为，求证：恒成立，求实数的最大值．
22. 本小题分
已知函数．
若有两个不同的极值点，，求实数的取值范围；
在的条件下，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由得：，，解得：，；
由得：；
“”是“”的充分不必要条件，，
当时，，不满足，
当时，，不满足，
当时，，若，则需；
综上所述：实数的取值范围为．
故选：．
解分式不等式可求得集合；根据充分不必要条件的定义可知，解一元二次不等式，分别讨论，和的情况，根据包含关系可求得结果．
本题考查充分条件和必要条件的定义，属于中档题．
2.【答案】
【解析】解：依题意，的可能取值为，，，，
则；；
；．
故E．
故选：．
依题意，的可能取值为，，，，分别求得概率，再由期望公式求期望．
本题考查考查离散型随机变量期望的求法，训练了二项分布及其应用，是中档题．
3.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，由，得，
设，则，
由得，此时函数单调递增；
由得，此时函数单调递减，
即当时，函数取得极小值，当时，
所以要使函数有两个零点，即方程有两个不同的根，
即函数和有两个不同的交点，如图所示：
则，
故选：．
根据题意，，得，设，结合导数，判断函数单调性，进而画出函数图像，根据函数和有两个不同的交点求解的取值范围．
本题考查了函数的单调性，考查了函数的零点问题，是一道基础题．
4.【答案】
【解析】解：，分别为等差数列的公差与前项和，，
，
解得，
，
当时，当时，取最小值；当时，当时，取最大值，故A错误；
当时，，故B错误；
当时，，故C正确；
当时，，
，
当时，，故D错误．
故选：．
由，利用等差数列的通项公式求出，由此利用等差数列的性质能求出结果．
本题考查命题真假的判断，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：因为该正态分布曲线关于直线对称，所以这些志愿者中免疫反应蛋白的数值不低于的人数大约为．
故选：．
根据该正态分布曲线关于直线对称可解决此题．
本题考查正态分布曲线应用，考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，，，
则，当且仅当时取等号，A正确；
因为，
故，即最小值，B正确；
，
当且仅当且即，时取等号，C正确；
，
故，当且仅当时取等号，即最大值，D错误．
故选：．
由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式及相关的结论的应用，解题的关键是公式的熟练掌握．
7.【答案】
【解析】解：，
则，
故为等比数列，
，
则，即，
，
则，
，，
数列是为首项，为公差的等差数列，
，，，，
，，
故
．
故选：．
根据已知条件，结合等比数列的性质，推出，再求出，即可求解．
本题主要考查数列的递推式，考查转化能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：构造函数，其中，则，
当时，；当时，．
所以，函数的增区间为，减区间为．
因为，，，
因为，则，则，
故．
故选：．
构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可得出、、，比较、、的大小关系，结合函数在上的单调性可得出、、的大小关系．
本题主要考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：若函数的定义域为，则函数的定义域为，A错误；
的图象关于对称，B正确；
，最小值为，C错误；
幂函数在上为减函数，则，
解得，D正确．
故选：．
由已知结合函数的定义域，对称性，指数及二次函数的性质，幂函数的性质分别检验各选项即可判断．
本题综合考查了函数的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：事件“零件为第台车床加工”，事件“零件为次品”，
则，，，
，，，故A正确，B错误；
，故C正确；
，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合全概念公式、条件概率公式依次求解即可．
本题考查全概念公式、条件概率公式，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：当时，，
当时，，
当时，，
可得，，化简整理可得，，
所以，即，
故，
当时，也满足上式，当时，不满足上式，
故，故A错误，B正确；
，，，
故，，成等比数列，故C正确；
，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合作差法，以及叠乘法，求出数列的通项公式，即可依次判断．
本题主要考查数列的递推式，考查转化能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为为奇函数，所以，
取可得，对，
因为，所以，
所以，又，即，，故，
所以函数的图象关于点对称，错，
因为，所以，
所以，为常数，
因为，所以，
所以，取可得，
所以，又，即，
所以，所以，
所以，故函数为周期为的函数，
因为，所以，，
所以，
所以，
所以，
故的值为，D正确；
因为，即，
故函数也为周期为的函数，C正确．
故选：．
由为奇函数可得，由取导数可得，结合条件可得，判断，再由条件判断函数，的周期，由此计算，判断，．
本题主要考查了抽象函数的应用，考查了函数的奇偶性、对称性和周期性，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由，得．
函数的定义域为．
函数是定义域内的减函数，
，．
函数的值域为
故答案为：
由根式内部的代数式大于等于求得函数的定义域，再由单调性求解值域．
本题考查函数的定义域与值域的求法，训练了利用函数单调性求函数的值域，是基础题．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数零点与方程根的关系，转化思想的应用，属于中档题．
依题意画出函数图象，将方程的解得个数转化为图象交点个数，数形结合即可求得答案．
【解答】
解：因为，且当时，，
所以可得函数在上的图象如图所示，
当时，，
当时，，
若，恰有个解，即与在上恰有个交点，
由图可得或，
故答案为．

15.【答案】增
【解析】解：已知，则，令，，
则，所以在为增函数，
即函数在定义域内是增函数；
，，
又，，
可得，由于在为增函数，
所以，解得，即的最小值为．
故答案为：增；．
可知，令，求导利用导函数的正负即可判断单调性；再根据，可知，利用的单调性解不等式即可．
本题考查导数的综合应用，考查构造函数，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由，得，即，
数列是首项为，公差为的等差数列，所以，
即．
当为偶数时，，
所以，
所以，故．
故答案为：．
变形得到，确定是首项为，公差为的等差数列，根据得到，得到通项公式．
本题主要考查数列的递推式，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】证明：数列满足，且，当时，解得，
由于数列是公差为的等差数列．
所以，
故．
所以常数，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
解：由可知，
所以．
数列单调递增，
由于，，
所以的最小值为．
【解析】直接利用关系式的变换和定义法的应用求出数列是等比数列．
利用的结论，进一步求出数列的和，最后利用数列的单调性求出最小值．
本题考查的知识要点：数列的关系式的变换，数列的通项公式的求法，数列的求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
18.【答案】解：由题意，，
由，得所以，，而．
所以．
由题意，知．
，的对应值表为：


于是，；；
；；
．
的分布列：


．
【解析】答对的题数和得分列很容易列出一次函数关系，在利用二项分布的概率公式求；
根据中，的关系，及二项分布的概率公式来写出分布列，然后先求，利用数学期望运算性质求出．
本题考查离散型随机变量的期望，考查学生的运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：，，
，，
的图像在处的切线方程为，即．
由题意得，因为函数，
故有，，等价转化为，
即在时恒成立，所以，
令，则，
令，则，所以函数在时单调递增，
，，
，使得，
当时，，即，单调递减，
当时，，即，单调递增，
故，
由，得，
在中，，当时，，
函数在上单调递增，，即与，
，
，即实数的取值范围为．
【解析】根据导数的几何意义知函数在处的导数值即为切线斜率，所以对函数求导可得切线斜率，进而得切线方程；
根据题意属于不等式恒成立求参数取值范围问题，可以把不等式分离参数，然后构造新函数，转化为利用导数求新函数的最值问题．
本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的切线，恒成立问题的求解，化归转化思想，属难题．
20.【答案】解：因为，
所以得分超过分的人数为，得分不超过分的人数为人，
因为，，，
所以，
即，
解得，
所以，
则人中男生人数为人，女生人数为人，
又，
所以在得分不超过分的人中，男生有人，女生有人，
则在得分超过分的人中，男生有人，女生有人．
列联表如下：
性别 了解安全知识的程度 合计
得分不超过分的人数 得分超过的人数
男
女
合计
零假设为：该校学生了解安全知识的程度与性别没有关联，
因为，
根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，
即认为了解安全知识的程度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于；
因为男生获奖的概率为，女生获奖的概率为，
易知的所有取值为，，，，，
此时，，，
，，
则的分布列为：
所以．
【解析】由题意，根据条件概率的有关公式得到列联表中信息，补全列联表，代入公式中得到观测值，将其与临界值进行比对，进而即可求解；
先得到的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解．
本题考查离散型随机变量分布列及数学期望，考查了逻辑推理和运算能力．
21.【答案】解：数列的首项为，公差为的等差数列，数列满足，，
整理得：，解得，
所以．
递增的等比数列满足：，且，，成等差数列．
所以，解得或舍去，
故，
由得：令，
所以，
，
得：，
故．
由于，
所以，
由于恒成立，
即恒成立，
故，
由于函数为增函数，故，
所以．
【解析】首先利用已知条件建立等量关系式求出数列的通项公式；
利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和；
利用列相消法的应用和数列的单调性的应用求出参数的取值范围．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，数列的单调性，裂项相消法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
22.【答案】解：由得，
因为有两个不同的极值点，，
则有两个不同的零点，
即方程有两个不同的实根，
即直线与的图象有两个不同的交点，
设，则，
当时，，单调递增，
且的取值范围是；
当时，，单调递减，
且的取值范围是，
所以当时，直线与的图象有两个不同的交点，有两个不同的极值点，，
故实数的取值范围是；
由知，
设，则，
由得，
即，
所以要证，只需证，
即证，
即证，
设，即证，
即证，
设，
则，
所以在是增函数，，
所以，
从而有．
【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值，考查导数中的不等式证明，属于较难题．
对函数求导，根据题意可得，方程有两个不同的实根，设，对求导，根据函数单调性可得的取值范围，即可得实数的取值范围；
设，则，结合可得，要证，即证，设，即证，构造函数，根据函数的单调性可得，即可得证．
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