江苏省南京市鼓楼区2014-2015高二上学期期中考试文科数学试题

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高二(上)期中试题
数 学(文科)
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为100分，考试时间为100分钟．21世纪教育网版权所有
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21教育网
一、填空题(本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置上)
1．过点(2，－2)，(－2，6)的直线方程是 ．
2．命题“ x∈[－1，1]，x2－3x＋1＜0”的否定是 ．
3．圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1和圆C2：x2＋y2＋4x－4y－1＝0的位置关系是 ．
4．直线x＋2y－2＝0与2x＋a y－2a＝0垂直，则a的值是 ．
5．过点(2，－2)的抛物线的标准方程是 ．
6．若点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是 ．
7．已知△ABC和△DEF，则“这两个三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形全等”是“这两个三角形面积相等”的 条件(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个)．21·cn·jy·com
8．椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积是 ．
9．已知双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为2，一条准线方程为y＝－1，则其渐近线方程为 ．www.21-cn-jy.com
10．圆心在y轴上，且与直线2x＋3y－10＝0相切于点A(2，2)的圆的方程是 ．
11．若“(x－a)(x－a－1)＜0”是“1＜2x＜16”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ．
12．直线y＝x＋b与曲线x＋＝0恰有一个公共点，则b的取值范围是 ．
13．曲线 ＝(2－x) 的焦点是双曲线C的焦点，点(3，－ eq \f(2,3) )在C上，则C的方程是 ．www-2-1-cnjy-com
14．已知圆 (x－a)2＋(y－b)2＝4过坐标原点，则a＋b的最大值是 ．
二、解答题(本大题共6小题，共计58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)　　21*cnjy*com
15．(本小题满分8分)写出命题“若直线l ( http: / / www.21cnjy.com )的斜率为－1，则直线l在两坐标轴上截距相等”的逆命题，否命题与逆否命题，并分别指出这三个命题是真命题还是假命题？【来源：21·世纪·教育·网】
16．(本小题满分9分)某企业计划生产A， ( http: / / www.21cnjy.com )B两种产品．已知生产每吨A产品需3名工人，耗电4 kW，可获利润7万元；生产每吨B产品需10名工人，耗电5 kW，可获利润12万元，设分别生产A，B两种产品x吨，y吨时，获得的利润为z万元．【出处：21教育名师】
(1)用x，y表示z的关系式是 ；
(2)该企业有工人300名，供电局只能供电200 kW，求x，y分别是多少时，该企业才能获得最大利润，最大利润是多少万元？【版权所有：21教育】
17．(本小题满分10分)已知直线l：2x＋y＋4＝0，圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0．
(1)直线m与直线l平行，且与圆C相切，求m的方程；
(2)设直线l和圆C的两个交点分别为A，B，求过A，B的圆中面积最小的圆的方程．
18．(本小题满分10分)设直线l的方程是x＋my＋2＝0，圆O的方程是x2 ＋y2＝r2 (r >0)．
(1)当m取一切实数时，直线l与圆O都有公共点，求r的取值范围；
(2)r＝4时，求直线l被圆O截得的弦长的取值范围．
19．(本小题满分10分)已知双曲线C1：－8y2＝1(a＞0)的离心率是，抛物线C2：y2＝2px的准线过C1的左焦点．2·1·c·n·j·y
(1)求抛物线C2的方程；
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，4)是C2上三点，且CA⊥CB，证明：直线AB过定点，并求出这个定点的坐标．2-1-c-n-j-y
20．(本小题满分11分) ( http: / / www.21cnjy.com )椭圆＋＝1(a＞b＞0)的中心是O，左，右顶点分别是A，B，点A到右焦点的距离为3，离心率为，P是椭圆上与A，B不重合的任意一点．【来源：21cnj*y.co*m】
(1) 求椭圆方程；
(2)设Q(0，－m)(m＞0)是y轴上定点，若当P点在椭圆上运动时PQ最大值是，求m的值．
高二(上)期中试题
数 学(文科)参考答案
一、填空题(每小题3分，共42分)
1．2x＋y－2＝0
2． x∈[－1，1]，x2－3x＋1≥0
3．相交
4．－1
5．y2＝2x或x2＝－2y
6．(，＋∞)
7．充分不必要
8．24
9．y＝± eq \f(,3) x
10．x2＋(y＋1)2=13
11．
12．{b|－1≤b<1，或b=}
13．3x2－y2＝1
14．2
二、解答题(本大题有6小题，共58分)
15．逆命题
若直线l在两坐标轴上截距相等，则直线l的斜率为－1；该命题是假命题；……3分
否命题
若直线l的斜率不为－1，则直线l在两坐标轴上截距不相等；该命题是假命题；……6分
逆否命题
若直线l在两坐标轴上截距不相等，则直线l的斜率为不－1；该命题是真命题．……8分
(说明，对一个得3分，对两个得6分，对三个得8分)
16．(1)z＝7x＋12 y；……2分
(2)根据题意得……4分
由得……5分
记点A(20，24)．
(作出可行域)如右图，当斜率为－ 的直线经过点A(20，24)时，在y轴上的截距最大． ……8分
此时，z取得最大值，为428(万元)．
所以，x，y分别是20，24时，该企业才能获得最大利润，最大利润是428万元．……………………………9分21·世纪*教育网
17．(1)易得直线l的斜率为－2，圆C的圆心为点(－1，2)，半径为2．…………………………………2分
设直线m的方程为2x＋y＋k＝0，
由＝2，解得k＝±2．所以m的方程为2x＋y±2＝0．………………………………………5分
(2)由可得两交点的坐标分别为(－，)， (－3，2)．……………7分
过A，B且面积最小的圆即以线段AB为直径的圆，其方程为(x＋) 2＋(y－) 2＝．…………10分
18．(1)直线l过定点(－2，０)，当m取一切实数时，直线l与圆O都有公共点等价于点(－2，０)在圆O内或在圆O上，……………………………………………………………………………………2分
所以r的取值范围是[，＋∞)；………………………………………………………………………5分
(其他解法，类比赋分，如≤r恒成立，等)
(2)设坐标为(－2，０) 的点为点A，
当直线l与OA垂直时，直线l被圆O截得的弦长为4；………………………………………………7分
x轴被圆O截得的弦长为8； ………………………………………………8分
直线l被圆O截得的弦长的取值范围是[4，8)．………………………………………………………10分
(其他解法，类比赋分，如弦长2取值范围是[4，8)，等)
19． (1)因为双曲线C1：－8y2＝1(a＞0)的离心率是，
所以a2＝，c2＝， …………………………………………………………2分
所以抛物线C2：y2＝2px的准线方程是x＝－，
所以p＝1，抛物线C2的方程是y2＝2x． ………………………………………………4分
(2)不妨设C(8，4)，
(第一类解法)
设AC的斜率为k，则直线AC的方程是y－4＝k(x－8)，
x＝代入并整理，得ky2－2y＋8－8k＝0，
方程的两根是4和－4，所以y1＝－4，x1＝，
A点的坐标是（，－4），
同理可得B点的坐标（2(2＋k)2，－2k－4），　　 ………………………………………………7分
直线AB的斜率KAB＝ eq \f(（－4）－（－2k－4）, －2(2＋k)2)＝，
直线AB的方程是y－(－2k－4)＝[x－2(2＋k)2]，
即y＝(x－10)－4， ………………………………………………9分
直线AB过定点，定点坐标是（10，－4）．　 ………………………………………………10分21cnjy.com
(第二类解法)
因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在C2上，
所以x1＝，x2＝．显然，y1≠4， y2≠4，y1＋y2≠0．
因为CA⊥CB，所以(－8)(－8)＋(y1－4)( (y2－4)＝0．
所以(y1＋4)(y2＋4)＝－4，y1y2＝－4(y1＋y2)－20 (*)， …………………………………6分
直线AB的方程是y－y1＝ eq \f(y2－y1,－) (x－)，
解法一 直线AB的方程即y＝x＋，
将(*)式代入，得y＝(x－10)－4， ………………………………………………9分
所以直线AB过定点，这个定点的坐标是(10，－4)． ………………………………10分
解法二 由(*)得y2＝－ ．
把y2＝－ 代入直线方程，整理得y12(－y－4)＋y1(2x－10)＋8 x＋20 y＝0．…………8分
由得
所以直线AB过定点，这个定点的坐标是(10，－4)． …………………………10分
解法三 由(*)式得y2＝－ ．
可得
进而得A(18，－6)，B(2，－2)，
进而得直线AB：x＋4y＋6＝0．(其它方程类比赋分) ………………………………………7分
由(*)式得还可得
进而得A(，－3) ，B(32，－8) ，
进而得另一直线AB：2x＋11y＋24＝0． ………………………………………………8分
由得
因为适合直线AB的方程(y＝x＋)， ……………………………………9分
所以直线AB过定点，这个定点的坐标是(10，－4)． ……………………………………10分
20．(1) 由题意得 eq \b\lc\{(\a\al(a＋c＝3，, ＝，)) 解得
所以，所求方程为＋ =1．………………………………………………………………………4分
(2) PQ2=x02＋(y0＋m)2=－(y0－3m)2＋4m2＋4，………………………………………………………6分
①当0②当m>时，PQmax=m＋，令m＋=，得m=－(舍去)；………………… 10分
所以m的值是．………………………………………………………………………………………11分
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