2.2基本不等式(第一课时) 教学设计

2.2基本不等式
2.2.1《基本不等式》教学设计
一、教材分析
本节课是高中数学人教A版必修第一册第二章第二节第一课时基本不等式.是在学习了《等式性质与不等式性质》的基础上，研究基本不等式的几何背景、代数证明和实际应用.基本不等式在知识体系中具有承上启下的作用，学好基本不等式对后续研究函数最值问题具有重要意义.它不仅在高中数学中占有重要地位，是高考必考知识点，也在实际生活、生产实践中也具有广泛的应用.
二、学情分析
对于高一的学生，不等式并不陌生，学生在前面已经学习了等式及不等式的性质，掌握了不等式的性质和作差比较法证明不等式，已经具备了一定的数学建模能力，对本节课的学习有很大帮助；学生具有一定的逻辑推理能力，但还有待提高，没有系统学习过证明不等式的基本方法，尤其对于分析法证明不等式的思路以前接触较少;对于最值问题，学生习惯转化为二次函数，根据函数的图像和性质求解，对于根据已知不等式求最值接触较少，尤其会忽略等号成立的条件.
三、教学目标
1.知识与技能:体会从不同角度探索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题;
2.过程与方法:理解基本不等式的几何解释，提出新问题，师生共同探讨，经历基本不等式的推导过程，领会代数方法证明基本不等式，并应用基本 不等式解决生活实际问题.体会数形结合、分类讨论等数学思想，能够系统的总结本节课是知识与方法.
3.情感态度价值观:感知生活中的数学，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神.并在探究的过程中培养学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养，体会数学的严谨性，发现数学的实用性.
四、重点难点
教学重点: （1）从不同角度探索基本不等式的证明过程；
（2）基本不等式的简单应用.
教学难点: （1）如何运用不等式解最值问题.
（2）领会运用不等式求最值问题的三个要点：一正、二定、三相等.
五、教法学法
本节课教师将采用层层设问、启发引导学生自主探究学习的教学模式；借助多媒体平台辅助教学，运用几何画板、PPT课件、实物投影展示学生探讨成果，提高课堂效率，营造主动积极探索的课堂氛围，为学生提供直观感性的材料，有助于学生将抽象的数学知识直观化，促进学生对数学知识的理解和掌握，使学生在学习中体会到成功的喜悦和数学之美.
六、教学过程
一、情境创设导入课题
情景引入：以生活实例启发学生思考问题，引出本节课题：
问题1：（多媒体展示，学生复述）在农村，为防止家禽家畜对菜地的破坏，常用篱笆围成一个矩形菜园，如果菜园面积一定为100立方米，为节省材料，就应该考虑所用篱笆最短的问题；那么最短是多少呢？
师：同学们认为怎么围才最短呢？
生：可以设矩形一个长是，宽用面积为，然后求周长最短。
师：非常好，这是我们第三章要学习的一类函数—对勾函数，研究性质，我们就可以求它的最小值了。还有其他同学有想法吗？
生：……
师：大家各抒己见，都非常棒。怎么才能更快捷得解决这个问题呢？带着疑问，学习本堂课的内容，就能够很轻松得解决这个最值问题了。
【设计意图】：结合实际问题，引入本节内容，问题简单易懂，贴近学生生活，使学生感受到生活处处是数学，让学生感受数学的实用性，激发学生学习兴趣。
探究一：如下图是在北京召开的第24解国际数学家大会会标，会标是根据根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表了咱们中国人民的热情好客。该风车可以抽象成平面图形：图2
图1：会标 图2：数学模型
问题1、师：从图形中，大家能观察到哪些图案信息呢？
生： 点，边，角，四个全等的直角三角形，大、小两个正方形。
师：那你能从这个弦图里得到一些关于三角形、正方形的哪些几何或代数关系吗？
生：正方形和三角形的周长、面积可以用边求得，三角形两直角边分别为，正方形边长为。
师：非常好，我们得到了他们边长的信息，他们面积之间又存在哪些等量或不等关系吗？
生：可以得到
师：还有吗？
生：还可以知道正方形面积大于四个三角形面积之和，也就是
师：非常好，很棒，在想，还有没有了？仅此而已吗？
（学生可能需要思考1分钟，耐心等待，或给一点点提示）
生：四个三角形面积之和还可能等于正方形面积，即，
此时，教师利用多媒体动态演示的变化，取等号成立的条件，证明学生的猜想是正确的。并由学生归纳出如下结论：
师：由上你能得到一个系统的结论吗？
生：结论：（当且仅当时等号成立）
【设计意图】：通过会标导入新课，让学生感受到数学文化的同时，激起学生的爱国情怀，少年强则国强，激发学生的学习兴趣。同时鼓励学生独立思考，培养学生直观想象能力和抽象思维能力，培养学生分析图像，由几何关系得到代数关系，并通过对数量关系的分析得到基本不等式，发现等号成立的条件，体会数形结合的数学核心素养，为问题2的证明做铺垫。
师：那么你能给出上述结论的证明吗？
生：要证成立，即证恒成立，即且当时等号成立（此处学生口述即可，教师适当规范学生的语言表述）。
师：很好，这是利用的分析法证明了不等式的成立，这里一般我们都是用来表示这个关系式，那如果将上式中的换成，你能得到什么结论呢，取等号时成立的条件是什么呢？
（学生思考一分钟，在草稿纸上尝试书写）
学生思考后回答，举手学生回答，老师板书基本不等式。
基本不等式：（）当且仅当时等号成立。
师：我们得到的基本不等式，你觉得关键在哪里，哪里容易被忽略？
生：要求，还有等号成立条件容易被忽略。
【设计意图】在的证明处让学生理解何为分析法，分析法的严谨用语，同时让学生体会代换在数学中的作用，同时把握基本不等式的关键之处，感受数学知识间的联系
问题2、你能对基本不等式进行证明吗？你有几种方法可以证明？
师：我们通常称为基本不等式。那么，还有没有其他方法可以证明基本不等式呢？大家思考一分钟，然后小组讨论十分钟。
（教师指导学生分组讨论证明基本不等式，老师查看学生讨论情况，并予以适当的引导，学生分组讨论证明基本不等式，并由一位同学上黑板板书小组讨论成果，学生和老师进行适当点评，并利用多媒体展台展示其他小组成果，并由对应小组分别解说）
十分钟后，
师：哪个来和我们分享一下你们讨论的成果呢？有请第1小组和我们分享。
生：我们组用的分析法，要证（），只要证，即证，也就是证，也即，显然式子成立，而且当且仅当取等号。（学生上台板书）
【设计意图】：小组讨论培养学生团结合作精神，同时学生之间思想发生碰撞，各抒己见有利于学生理解感悟用带代数的方法证明基本不等式，进而使学生加深对基本不等式的理解。观察学生的思路和证明过程，引导学生动手写出证明过程，并自我归纳总结。让学生对学生的优缺点进行点评，有利于其他学生参与其中，并且感受证明方法和过程的严谨性，有利于学生准确、灵活应用。
师：大家听懂了吗？非常好，思路很清晰得证明了基本不等式的成立，而且点到了等号成立的条件，很有调理，而且字迹工整，组内加十分。那还有没有和第一组方法不同的。请第3小组拍照上传你们的答案，我们大屏幕投影共享。
生：我们小组用的作差法：
这样就证明了。
师：非常棒，作差法是我们比较大小常用的一种方法，可是，我们的证明完整吗？想一想？
生：等号成立条件：当且仅当时取等号。
师：这样，我们又一次得到了基本不等式，这里一定要仔细，等号是否成立一定要说明。根据上面两组同学的证明和分析，大家是否真的理解了基本不等式的意义？
【设计意图】多媒体展示组内同学成果，方便其他同学观察，同时调动班级学生积极性，发现其他小组证明的优点和不足，查漏补缺，同时调动班级学习氛围。把握理解比较法的证明过程，发散学生思维，再次感悟代数法证明基本不等式，同时为下一步几何分析法做铺垫。
探究二、如右图，是圆的直径，点是上的一点，，，你能利用这个图形，得到基本不等式的几何解释吗？
（学生口述证明过程，组内补充，其他小组点评，老师在最后进行总结）
证明：
，，由于小于或等于圆的半径，用不等式表示为
（）
显然，当且仅当点与圆心重合，即时，上述不等式的等号成立。
【设计意图】：利用图像进一步分析，让学生能够从几何角度研究基本不等式，感受数学的数形结合，进一步完善代数结论。
结论：（多媒体展示学生口述结果）
这里叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数。
基本不等式从代数角度解释为：几何平均数不大于算术平均数。
从几何角度解释为：圆半弦不大于半径。
师：由基本不等式我们还能得到哪些变形形式呢？
学生回答变形的多种形式，老师在黑板板书学生的答案。
师：我们现在已经分别从代数和几何角度对基本不等式进行推导，大家思路很清晰，细节地方一定要再度把握。我们已经学习了基本不等式，那现在尝试解决一下我们课堂开始时的问题吧（多媒体超链接到情境引入1）
（学生解答情境1，老师板书学生的答案）
解：设矩形菜园的长为米，宽为米，
则，篱笆长为米，
由，可得，.
等号当且仅当时成立，此时.
因此，这个矩形的长宽相等为10米时，篱笆最短为40米。
师：我们成功解决了这个实际问题，那么对于这个例题的证明你有什么发现吗？
生：当乘积为定值时， 时，和可以取最小值。
【设计意图】：锻炼学生学习运用基本不等式，学生由例题归纳基本不等式应用的第一个结论，培养学生逻辑推理能力和总结提炼概括能力，并为下一个变式总结做铺垫。
师：非常好，那我们这个实例在改变一下呢？又会得到什么结论？
（多媒体展示变式）
变式：用一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各位多少时，它的面积最大，面积最大是多少？
（学生思考2两分钟，然后给出答案，并由学生进行解说）
生：设矩形菜园的长为米，宽为米，
则：，，
矩形菜园面积为立方米，
由，可得
，
当且仅当时等号成立。
师：证明过程很严谨，表述也非常清晰，那么从变式你能得到什么结论吗？
生：和一定时，乘积有最大值，在等号成立时取最大。
师：非常不错，那么你能用简单的语言概括我们得到的两个结论吗？
生：积定和最小，和定积最大（教师通过引导使学生得到此概括性结论）
师：我们现在已经可以应用基本不等式解决生活中的实际问题，那么思考一下任何情况我们都可以使用基本不等式吗？它有没有什么前提条件？
生：这里要求根号下为正，这里均为正数才可以使用，同时等号才能成立取到最值。
师：那我们简单用7个字来概括一下吧：
“一正，二定，三相等”
（学生解释感悟一正：均为正数，二定：和与积中谁为定值，三相等：等号成立条件）
【设计意图】学生概括总结性结论，培养学生逻辑思维能力和抽象概括能力，同时让学生再次感悟基本不等式应用前提和使用方法，体会数学在生活中的实用性。
师：我们本节课的主要内容到此结束了，如何运用基本不等式解决实际生活中的最值问题，我们放到下节课继续探讨。下面对我们所学内容进行简单测验。
七、课堂检测
1.判断对错：
（1）由，则 . （ ）
（2）若，则. ( )
2.已知，求的最小值
（学生独立思考完成，找学生分享他们的答案，给出适当点评）
【设计意图】：考查学生本节课对所学知识点的掌握情况，是否真正理解基本不等式，理解运用基本不等式时需要注意的条件，从真正意义上理解基本不等式的含义，同时查漏补缺，便于学生课下继续研讨交流。
师：我们已经基本能够运用基本不等式解决一些简单问题了，有一定把握我们的使用条件，真正理解一正、二定、三相等。
（下面进入课堂总结）
八、课堂总结
师：通过本节课的学习，你都有哪些收获呢？哪位同学和大家分享一下？
（学生们分享交流本节课所学重点）
师：那么你还有哪些疑惑没有解决吗？
（学生提出可能性的疑惑）
【设计意图】：通过让学生总结本节课知识点能使学生在头脑中自主形成自己可以理解掌握额知识体系，自己总结检测把握重点，对疑问处更清晰，便于学生与学生、学生与老师的交流。
九、课后作业
教材P48习题2.2复习巩固第1题和综合运用第5题写到作业本上，其他写到课堂随堂本上。
【设计意图】：巩固本节课所学内容，学生上交作业便于老师检查学生掌握程度，发现学生在学习和运用基本不等式时可能出现的问题。
十、教学反思
课后反思本节课的优缺点，并对学生的反馈整理归纳。
十一、教学设计评价
本节课的教学，较好得完成了本节课的教学目标，课堂始终以学生为主体，老师层层设问、反问、追问，引导学生自主探索求知。通过本节课的内容使学生掌握（1）基本不等式的几何含义，以及它的代数和几何证明方法。（2）体会从不同角度探索基本不等式，能够使用基本不等式解决实际生活中的最值问题，体现数学的核心素养。（3）把握基本不等式使用前提“一正二定三相等”，若不满足则不能直接运用基本不等式。
十二、板书设计
(
2.2.1
基本不等式
1
．
探索一、
2.
例题：
基本不等式：
（
）
（
1
）
当且仅当
时等号成立。
3.
总结
注：（
1
）式的变形形式：
概括不等式成立的条件：
4.
作业
)