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第2章 三角形
本章复习课
类型之一 三角形的有关概念
1．如图2－1，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长大6 cm，则AB与AC的差为 ( )
图2－1
A．2 cm B．3 cm
C．6 cm D．12 cm
2．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的是 ( )
图2－2
类型之二 三角形三边之间的关系
3．[2012·义乌]如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是 ( )
A．2 B．3
C．4 D．8
4．[2012·绥化]若等腰三角形两边长分别为3和5，则它的周长是________．
类型之三 三角形的内角和及三角形外角的性质
5．一个承重架的结构如图2－3所示，如果∠1＝155°，那么∠2＝________度．
图2－3
6．[2011·德州]如图2－4，直线l1∥l2，∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3等于 ( )
图2－4
A．55° B．60°
C．65° D．70°
类型之四 命题与证明
7．[2010·来宾]命题“ ( http: / / www.21cnjy.com )如果一个数是偶数，那么这个数能被2整除”的逆命题是__________________________________________________________________
__________________________________________________________________.
8．命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是__________________ ，这个逆命题是________(填“真”或“假”)命题．
9．如图2－5，在△ADF与△CBE中，点A，E，F，C在同一直线上，现给出下列四个论断：①AE＝CF；②AD＝CB；③∠B＝∠D；④AD∥BC.请你选择其中三个作为条件，余下的一个作为结论，构成一个命题．请问：
(1)在所有构成的命题中有假命题吗？若有，请写出它的条件和结论(用序号表示)．
(2)在所有构成的真命题中，任意选择一个加以证明．
图2－5
类型之五 等腰三角形的性质及判定
10．[2011·张家界]如图2－6，在△ABC中，AB＝AC，点D 为BC边的中点，∠BAD＝20°，则∠C＝________．
图2－6
11．在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD；④OB＝OC.请你从上述四个条件中选出两个条件，然后利用这两个条件证明△ABC是等腰三角形．(选出的条件用序号表示)
图2－7
类型之六 线段的垂直平分线
12．如图2－8，在Rt△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E.已知∠BAE＝10°，则∠C的度数为 ( )
图2－8
A．30° B．40°
C．50° D．60°
13．如图2－9，在△ABC中，BC ( http: / / www.21cnjy.com )＝8 cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18 cm，则AC的长等于 ( )
A．6 cm B．8 cm
C．10 cm D．12 cm
类型之七 全等三角形
14．[2012·铜仁]如图2－10，点E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE＝CF，BE＝DF.求证：△ADE≌△CBF.
图2－10
类型之八 尺规作图
15．如图2－11，已知线段a，h作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h.张红的作法是：
(1)作线段BC＝a；
(2)作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；
(3)在直线MN上截取线段h；
(4)连接AB，AC，△ABC为所求作的等腰三角形．
上述作法的四个步骤中，有错误的一步，你认为是 ( )
图2－11
A．(1) B．(2)
C．(3) D． (4)
16．[2012·北海]已知：如图2－12，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°.
(1)作∠B的平分线BD，交AC于点D；作AB的中点E(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明)；
(2)连接DE，求证：△ADE≌△BDE.
图2－12
答案解析
1．C 【解析】 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC.所以△ABD比△ACD的周长大6 cm，即AB与AC的差为6 cm.故选C.
2．B 3.C
4．11或13
5．65 【解析】 因为∠1＝155°，∠2＋90°＝∠1，所以∠2＝155°－90°＝65°.
6．C
7．如果一个数能被2整除，那么这个数是偶数
8．对应角相等的三角形全等 假
9．解：(1)假命题为：条件①②③；结论④.
(2)(答案不唯一)
已知条件①③④；结论②
已知AE＝CF，∠B＝∠D，AD∥BC.
求证：AD＝CB.
证明：因为AE＝CF，
所以AE＋EF＝CF＋EF.
所以AF＝EC.因为AD∥BC，
所以∠A＝∠C.又因为∠B＝∠D，
所以△ADF≌△CBE.所以AD＝CB.
10．70°
11．解：可以选择①③；①④；②③；②④.
选①③证明；
因为∠EBO＝∠DCO，BE＝CD，∠EOB＝∠DOC，
所以△EOB≌△DOC.
所以OB＝OC.
所以∠OBC＝∠OCB.
因为∠ABC＝∠EBO＋∠OBC，∠ACB＝∠DCO＋∠OCB，
所以∠ABC＝∠ACB.
所以△ABC是等腰三角形．
12．B 【解析】 因为ED是AC的垂直平分线，
所以AE＝CE，
所以∠EAC＝∠C.又因为∠B＝90°，∠BAE＝10°，
所以∠AEB＝80°，又因为∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2∠C，
所以∠C＝40°.故选B.
13．C 【解析】 因为DE是边AB的垂直平分线，
所以AE＝BE.
所以△BCE的周长为BC＋BE＋CE＝BC＋AE＋CE＝BC＋AC＝18.
又因为BC＝8 cm，所以AC＝10 cm.故选C.
14．解：因为AE∥CF，
所以∠AED＝∠CFB.
因为DF＝BE，所以DF＋EF＝BE＋EF，
即DE＝BF，
在△ADE和△CBF中，
所以△ADE≌△CBF(SAS)．
15．C
16．解：(1)作出∠B的平分线BD；
作出AB的中点E.
(2)证明：因为∠ABD＝×60°＝30°，∠A＝30°，
所以∠ABD＝∠A，
所以AD＝BD，
在△ADE和△BDE中
所以△ADE≌△BDE(SSS)．
第16题答图
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第4课时 全等三角形判定方法3 (AAS)
1．如图2－5－48，线段AB、CD相交于点O，且O为AB的中点，则下列不能使△AOD≌△BOC的条件是 ( )
图2－5－48
A．AD＝BC B．∠A＝∠B
C．∠D＝∠C D．OC＝OD
2．如图2－5－49，已知AD＝BC，∠1＝∠2，则△ACD与△BDC的关系是 ( )
图2－5－49
A．全等 B．不全等
C．不一定全等 D．无法判断
3．在△ABC与△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠A＝∠A′，若要使△ABC≌△A′B′C′，那么，还需添加条件 ( )
A．∠ C＝∠C′ B．∠B＝∠B′
C．AC＝A′C′ D．以上都可以
4．[2011·湛江]如图2－5－50 ( http: / / www.21cnjy.com )，点B，C，F，E在同一直线上，∠1＝∠2，BC＝FE，∠1________(填“是”或“不是”)∠2的对顶角，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是__________________________(只需写出一个)．
图2－5－50
5．[2011·菏泽]如图2－5－51，已知∠ABC＝∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线，求证：AB＝DC.
6．[2011·镇江]如图2－5－52，已知在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E＝∠B，ED＝DC.求证：AB＝AC.
图2－5－52
INCLUDEPICTURE "../../../B组.EPS" \* MERGEFORMAT
7．[2011·乌鲁木齐]如图2－5－53，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D.求证：△BEC≌△CDA.
图2－5－53
INCLUDEPICTURE "../../../C组.EPS" \* MERGEFORMAT
8．如图2－5－54，AB∥CD，BE，CE分别是∠ABC，∠BCD的平分线，点E在AD上．求证：BC＝AB＋CD.
图2－5－54
答案解析
1．A 【解析】 A中对应相等的是边边角，故A错．
2．A 【解析】 先判断△ADO≌△BCO(AAS)，再由OD＝OC得∠ODC＝∠OCD，从而得△ADC≌△BCD(ASA)(或SAS)．
3．D 【解析】 在△ABC与△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，故要△ABC≌△A′B′C′，只需添加条件：∠B＝∠B′(ASA)或AC＝A′C′(SAS)或∠C＝∠C′(AAS)．
4．不是 可以填AC＝DF或∠B＝∠E或∠A＝∠D(答案不唯一)
5．证明：因为∠ABC＝∠DCB，AC平分∠BCD，BD平分∠ABC，所以∠ACB＝∠DBC.
在△ABC与△DCB中，
所以△ABC≌△DCB.
所以AB＝DC.
6．证明：因为AD平分∠EDC，
所以∠ADE＝∠ADC.
又DE＝DC，AD＝AD，
所以△ADE≌△ADC，
所以∠E＝∠C.
又∠E＝∠B，
所以∠B＝∠C，所以AB＝AC.
7．证明：因为BE⊥CE于E，AD⊥CE于D.
所以∠BEC＝∠CDA＝90°.
在Rt△BEC中，∠BCE＋∠CBE＝90°，
在Rt△BCA中，∠BCE＋∠ACD＝90°，
所以∠CBE＝∠ACD.
在△BEC和△CDA中，
因为
所以△BEC≌△CDA.
8．证明：在BC上截取BF＝AB，连接EF.
在△ABE和△FBE中，
所以△ABE≌△FBE(SAS)，
所以∠EFB＝∠A.
因为AB∥CD，
所以∠D＋∠A＝180°.
又∠EFC＋∠BFE＝180°.
所以∠D＝∠EFC.
因为∠ECF＝∠DCE，EC＝EC，
所以△EFC≌△EDC(AAS)，
所以FC＝DC，
即BC＝BF＋CF＝AB＋CD.
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图2－5－51温馨提示：
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第3课时 三角形的内角和
1．若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是 ( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
2．[2012·云南]如图2 ( http: / / www.21cnjy.com )－1－29，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为 ( )
图2－1－29
A．40° B．45°
C．50° D．55°
3．[2012·梧州]如图2－1－30 ( http: / / www.21cnjy.com )，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝128°，∠C＝36°，则∠DAE的度数是 ( )
图2－1－30
A．10° B．12°
C．15° D．18°
4．如图2－1－31，直线a∥b，则∠A的度数是 ( )
图2－1－31
A．28° B．31°
C．39° D．42°
5．[2012·漳州]将一副直角三角板，按如图2－1－32所示叠放
在一起，则图中∠α的度数是 ( )
A．45° B．60°
C．75° D．90°
6．如图2－1－33，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD＝120°，则∠A等于________．
图2－1－33
7．如图2－1－34是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，这块三角形木板另外一个角是________度．
INCLUDEPICTURE "../../../B组.EPS" \* MERGEFORMAT
8．一个零件的形状如图2－1－35所示，按规定∠BAC＝90°，∠B＝21°，∠C＝20°.检验工人量得∠BDC＝130°，就断定这个零件不合格，你能运用所学的知识说出其中的道理吗？
图2－1－35
9．如图2－1－36，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数．
图2－1－36
INCLUDEPICTURE "../../../C组.EPS" \* MERGEFORMAT
10．如图2－1－37所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．
图2－1－37
答案解析
1．B 【解析】 三角形三个内角度数的 ( http: / / www.21cnjy.com )比为2∶3∶4，所以三角形的三个内角分别是180°×＝40°，180°×＝60°，180°×＝80°.所以该三角形是锐角三角形．故选B.
2．A 【解析】 因为∠B＝67°，∠C＝33°，所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－67°－33°＝80°.因为AD是△ABC的角平分线，所以∠CAD＝∠BAC＝×80°＝40°. 故选A.
3．A 【解析】 因为AD⊥BC，∠C＝36°，
所以∠CAD＝90°－36°＝54°，
因为AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝128°，
所以∠CAE＝∠BAC＝×128°＝64°，
所以∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝64°－54°＝10°.故选A.
4．C 【解析】 因为a∥b，所以∠DBC＝70°，
所以∠ABD＝180°－70°＝110°，所以∠A＝180°－31°－110°＝39°.故选C.
5．C 【解析】 如图，因为∠1＝90°－60°＝30°，所以∠α＝45°＋30°＝75°.故选C.
第5题答图
6．80° 【解析】 因为∠ACD＝∠A＋∠B，所以∠A＝∠ACD－∠B＝120°－40°＝80°.
7．40
8．【解析】 可以先计算出合格时∠BDC ( http: / / www.21cnjy.com )的度数．由于∠BDC与∠A，∠B，∠C不在同一个三角形内，所以无法找到它们之间的数量关系，因此需要添加辅助线．
解：方法一：连接AD并延长，如图(1)所示．
第8题答图
因为∠1＝∠3＋∠C，∠2＝∠4＋∠B，
所以∠1＋∠2＝∠3＋∠C＋∠4＋∠B＝(∠3＋∠4)＋∠C＋∠B＝∠BAC＋∠B＋∠C，
所以∠1＋∠2＝90°＋21°＋20°＝131°，即∠BDC＝131°.
由于零件中∠BDC＝130°，所以可以断定这个零件不合格．
方法二：延长CD交AB于E，如图(2)所示．
因为∠CEB＝∠C＋∠A，∠CDB＝∠CEB＋∠B，
所以∠BDC＝∠C＋∠A＋∠B＝20°＋90°＋21°＝131°.
由于零件中∠BDC＝130°，所以可以断定这个零件不合格．
9．【解析】 运用三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和建立∠3、∠4与∠1、∠2的关系，再用三角形内角和定理求出有关角的大小．
解：因为∠4＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，
所以∠4＝2∠2，又因为∠3＝∠4，
所以∠3＝2∠2，所以∠2＝∠3，
在△ABC中，∠2＋∠3＋∠BAC＝180°，
因为∠BAC＝63°，所以∠3＋∠3＋63°＝180°，
所以∠3＝∠4＝78°，而∠DAC＝180°－78°－78°＝24°.
10．解：因为∠AGL＝∠A＋∠B，∠CHG＝∠C＋∠D，∠ELH＝∠E＋∠F，
所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝∠AGL＋∠CHG＋∠ELH(即△GHL的外角和)．
所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.
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图2－1－32
图2－1－34温馨提示：
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2.2__命题与证明__
第1课时 定义与命题
1．下列属于定义的是 ( )
A．两点确定一条直线
B．两直线平行，同位角相等
C．等角的补角相等
D．线段是直线上的两点和两点间的部分
2．下列说法正确的是 ( )
A．“作线段CD＝AB”是一个命题
B．三角形的三条中线的交点为三角形的重心
C．命题“若x＝1，则x2＝1”的逆命题也是正确的
D．“具有相同字母的项称为同类项”是“同类项”的定义
3．[2012·贵州]定义：f(a，b)＝(b，a)，g(m，n)＝(－m，－n)，例如f(2，3)＝(3，2)，g(－1，－4)＝(1，4)则g(f(－5，6))等于 ( )
A．(－6，5) B．(－5，－6)
C．(6，－5) D．(－5，6)
4．把“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是____________
______________________________________，它的条件是____________，结论是_____________________________________________________________．
5．命题“和为180°的两个角互为补角”的逆命题是______________________ .
6．叙述下列概念的定义．
(1)轴对称图形；
(2)分式；
(3)两平行线间的距离．
7．将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式．
(1)末位数字是5的整数都能被5整除；
(2)直角三角形的两个锐角互余．
INCLUDEPICTURE "../../../B组.EPS" \* MERGEFORMAT
8．阅读下列材料，然后回答问题．
材料：连接三角形两边中点的线段叫作三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的中位线．如图2－2－1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，线段DE就是△ABC的中位线．
问题：请叙述三角形的中线的定义，并比较三角形的中线与三角形的中位线这两个概念的异同．
图2－2－1
9．某位同学在学过对顶角后，根据自己对对顶角的特征性质的了解给出了自己的定义：没有公共边且相等的两个角叫作对顶角．
你认为他的定义正确吗？若不正确，请写出“对顶角”的正确定义，并举出一个例子，说明他的定义是不正确的．
INCLUDEPICTURE "../../../C组.EPS" \* MERGEFORMAT
10．我们知道平移是将图形中的每一个点都按同一方向移动相同的距离，试判断水磨转动是否为平移现象，并说明原因．
答案解析
1．D
2．B 【解析】 “作线段C ( http: / / www.21cnjy.com )D＝AB”没有对事情作判断，不是命题，故选项A错误；三角形的三条中线的交点为三角形的重心；命题“若x＝1，则x2＝1”的逆命题是若x2＝1，则x＝1是错误的，x也有可能等于－1，故选项C是错误的；同类项的定义是所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫作同类项，故选项D错误．
3．A
4．如果两个角相等，那么这两个角的余角相等 两个角相等 这两个角的余角相等
5．互为补角的两个角的和为180°
【解析】 因为原条件为：和为180°，结论为：这两个角互补，所以“和为180°的两个角互为补角”的逆命题是：互为补角的两个角的和为180°.
6．解：(1)如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形．
(2)一个整式f除以一个非零整式g，所得的商记作，把代数式叫作分式 .
(3)两平行线的公垂线段的长度叫作两平行线间的距离．
7．解：(1)如果一个整数的末位数是5，那么这个数就能被5整除；
(2)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余．
8．解：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线．
相同点：这两个概念都与三角形的边的中点有联系．
不同点：三角形的中线是连接一边中点与这边所对顶点的线段，而三角形的中位线则是连接三角形两边中点的线段．
9．解：不正确．对顶角：两个角有共同的顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角叫作对顶角．
如图，将一个直角三等分，那么∠AOB＝∠COD＝30°，并且它们没有公共边，但是它们显然不是对顶角．
第9题答图
10．解：水磨转动不是平移现象，原因是每个点移动的方向不同，移动的距离也不相等．
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第2课时 真假命题、证明、定理与逆定理
1．下列命题中，是真命题的是 ( )
A．对顶角相等 B．同位角相等
C．内错角相等 D．同旁内角互补
2．[2012·温州]下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是 ( )
A．a＝－2 B．a＝－1
C．a＝1 D．a＝2
3．下列命题中，错误的是 ( )
A．三角形两边之和大于第三边
B．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
C．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分
D．若|x|＝5，则x＝5.
4．下列命题中，是真命题的是 ( )
A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0
B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0
C．若a·b＝0，则a＝0，且b＝0
D．若a·b＝0，则a＝0，或b＝0
5．[2011·广州]已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四个命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c;
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.
其中真命题是________(填写所有真命题的序号)．
6．请写出一个原命题是真命题，逆命题是假命题的命题____________________．
7．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举一个反例．
(1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
(2)如果a＞b，那么ac＞bc；
(3)两个锐角的和是钝角．
INCLUDEPICTURE "../../../B组.EPS" \* MERGEFORMAT
8．已知命题“若a＞b，则a2＞b2”．
(1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例；
(2)写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假；若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例．
9．命题：若a＞b，则<.
(1)请判断这个命题是真命题还是假命题．若是真命题，请证明；若是假命题，请举一个反例；
(2)请你适当修改命题的条件使其成为一个真命题．
INCLUDEPICTURE "../../../C组.EPS" \* MERGEFORMAT
10．如图2－2－3，点B，A， ( http: / / www.21cnjy.com )E在同一条直线上，(1)AD∥BC，(2)∠B＝∠C，(3)AD平分∠EAC.请你用其中两个作为条件，另一个作为结论，构造命题，并说明你构造的命题是真命题还是假命题．
图2－2－3
答案解析
1．A 【解析】 对顶角相等，正确；在两条平行线被第三条直线所截的条件下，B、C、D才正确．故选A.
2．A 【解析】 用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：a＝－2，因为(－2)2＞1，但是a＝－2＜1，所以选项A正确；故选A.
3．D
4．D 【解析】 选项A，a·b＞0可得a、b同号，可能同为正，也可能同为负，是假命题；选项B，a·b＜0可得a、b异号，所以错误，是假命题；选项C，a·b＝0可得a、b中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零，是假命题；选项D，若a·b＝0，则a＝0，或b＝0，是真命题．故选D.
5．①②④
6．对顶角相等(答案不唯一)
7．解：(1)假命题，两直线不平行时不成立，可通过画图说明；
(2)假命题，当c≤0时不成立，如3＞2，但3×0＝2×0等；
(3)假命题，如∠α＝20°，∠β＝50°，则∠α＋∠β＝70°不是钝角．
8．解：(1)假命题．
反例：a＝2，b＝－3，有a＞b，但a2＜b2；
(2)逆命题：若a2＞b2，则a＞b.
此命题为假命题．
反例：a＝－2，b＝－1，有a2＞b2，但a＜b.
9．解：(1)假命题．如a＝1，b＝－2符合a＞b，但不满足<.
(2)改成：若a＞b＞0，则<.
10．解：命题：如果AD∥BC，∠B＝∠C，那么AD平分∠EAC.(答案不唯一)
它是真命题，理由如下：
因为AD∥BC，
所以∠B＝∠EAD，∠C＝∠DAC.
又因为∠B＝∠C，
所以∠EAD＝∠DAC，即AD平分∠EAC.
故是真命题．
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第2章 三角形
2.1__三角形__
第1课时 三角形
1．一位同学用三根木棒拼成图形如下，则其中符合三角形概念的是 ( )
图2－1－4
2．如图2－1－5所示，∠BAC的对边是 ( )
图2－1－5
A．BD B．DC
C．BC D．AD
3．图2－1－6中的三角形共有 ( )
图2－1－6
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
4．已知三角形ABC的三边a、b、c满足|a－b|＋|b－c|＝0，则△ABC的形状是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．以上都不对
5．[2012·郴州]以下列各组线段为边，能组成三角形的是 ( )
A．1 cm，2 cm，4 cm
B．4 cm，6 cm，8 cm
C．5 cm，6 cm，12 cm
D．2 cm，3 cm，5 cm
6．[2012·长沙]现有3 cm，4 ( http: / / www.21cnjy.com )cm，7 cm，9 cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
7．如图2－1－7中，△ABE中AE边的对角为________，AD是△ACD中________的对边，CE是________的公共边．
图2－1－7
8．指出图2－1－8中有几个三角形，并用字母把它们分别表示出来．
图2－1－8
INCLUDEPICTURE "../../../B组.EPS" \* MERGEFORMAT
9．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图2－1－9中以BC为公共边的“共边三角形”有 ( )
图2－1－9
A．2对 B．3对
C．4对 D．6对
10．[2012·绥化]若等腰三角形两边长分别为3和5，则它的周长是________．
INCLUDEPICTURE "../../../C组.EPS" \* MERGEFORMAT
11．湖边上有A，B两个村庄(如图2－1－10)，从A到B有两条路可走，即A→P→B和A→Q→B.试判断哪条路更短，并说明理由．
图2－1－10
答案解析
1．D 【解析】 因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾相接所构成的图形．故选D.
2． C
3．D 【解析】 图中的三角形有：△ABD，△ADC，△ABC，△AEC，△DEC，共5个．
4．C 【解析】 由题意，得a－b＝0，b－c＝0，解得a＝b，b＝c，所以a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形．故选C.
5．B
6．B 【解析】 四条木棒的所有组合：3，4，7和3，4，9和3，7，9和4，7，9；只有3，7，9和4，7，9能组成三角形．故选B.
7．∠ABE ∠ACD △ACE与△DCE
8．解：图中共有8个三角形，分别是△AEO、△AEC、△AOC、△ABD、△ABC、△ADC、△BEC、△ODC.
9．B 【解析】 △ABC与△DBC，△ABC与△EBC，△DBC与△EBC.
10．11或13
11．解：A→Q→B更短，理由：延长AQ交BP于E.
在△APE中，AP＋PE＞AQ＋QE①，在△BEQ中，QE＋BE＞BQ②.①＋②得，AP＋PE＋QE＋BE＞AQ＋QE＋BQ，即AP＋PB＞AQ＋BQ.
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第3课时 命题的证明
1．[2012·张家界]如图2－2－6，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是 ( )
图2－2－6
A．当∠1＝∠2时，一定有a∥b
B．当a∥b时，一定有∠1＝∠2
C．当a∥b时，一定有∠1＋∠2＝90°
D．当∠1＋∠2＝180°时，一定有a∥b
2．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中 ( )
A．有一个内角大于60°
B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60°
D．每一个内角都小于60°
3．如图2－2－7，下列推理不正确的是 ( )
图2－2－7
A．因为AB∥CD，所以∠ABC＋∠C＝180°
B．因为∠1＝∠2，所以AD∥BC
C．因为AD∥BC，所以∠3＝∠4
D．因为∠A＋∠ADC＝180°，所以AB∥CD
4．用反证法证明“两直线平行，同旁内角互补”．在下面证明过程中填空．
已知：如图2－2－8, l1∥l2, l1、l2被l3所截．
求证：∠1＋∠2＝180°.
图2－2－8
证明：假设____________．
因为l1∥l2，
所以∠2＝ ∠3(两直线平行，同位角相等)．
所以________≠180°，这与平角的定义相矛盾.
所以____________不成立.
所以____________．
INCLUDEPICTURE "../../../B组.EPS" \* MERGEFORMAT
5．已知：如图2－2－9所示，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，交AB于G，交CA延长线于E，∠1＝∠2.
求证：AD平分∠BAC.(填写分析和证明中的空白)
图2－2－9
分析：要证明AD平分∠BAC，只要证明________＝________，而已知∠1＝∠2，所以应联想这两个角和∠1、∠2的关系．由AD⊥BC于D，EF⊥BC于F可推出________∥______，然后根据平行线得出的同位角相等，内错角相等，即可将所要证明相等的角与∠1，∠2联系起来．
证明：因为AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，
所以________∥________ (在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行)，
所以________＝________(两直线平行，内错角相等)，
________＝________(两直线平行，同位角相等)．
因为________(已知)，
所以________＝________．
即AD平分∠BAC(角平分线的定义)．
6．用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．
INCLUDEPICTURE "../../../C组.EPS" \* MERGEFORMAT
7．求证：如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直．
答案解析
1．D
2． C 【解析】 用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都大于60°.故选C.
3．C
4．∠1＋∠2≠180° ∠1＋∠3 ∠1＋∠2≠180° ∠1＋∠2＝180°
5．∠BAD ∠CAD EF AD EF AD ∠1 ∠BAD ∠2 ∠CAD ∠1＝∠2 ∠BAD ∠CAD
6．解：已知：在等腰△ABC中，∠A＝∠B.
求证：∠A<90°，∠B<90°.
证明：假设∠A≥90°，∠B≥90°.
因为∠C>0°，所以∠A＋∠B＋∠C>180°，
这与“三角形内角和等于180°”矛盾．
所以假设不成立，原命题成立，
即等腰三角形的底角是锐角．
7．解：已知：如图，AB∥CD，EF⊥AB于点M，且EF交CD于点N.求证：EF⊥CD.
证明：因为EF⊥AB，所 ( http: / / www.21cnjy.com )以∠EMB＝90°.又因为AB∥CD，所以∠EMB＝∠END，所以∠END＝90°，所以EF⊥CD.
第7题答图
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第2课时 三角形的高、角平分线、中线
1．三角形的重心是三角形三条什么的交点？ ( )
A．中线 B．高
C．角平分线 D．边的垂直平分线
2．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等的两部分的是 ( )
A．三角形的中线 B．三角形的角平分线
C．三角形的高 D．以上答案均正确
3．如图2－1－16，在△ABC中，∠C＝90°，D，E为AC上的两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，则下列说法中不正确的是 ( )
A．BC是△ABE的高
B．BE是△ABD的中线
C．BD是△EBC的角平分线
D．∠ABE＝∠EBD＝∠DBC
4．如图2－1－17，在△ABC中，BD＝CD，∠ABE＝∠CBE.
(1)______是△ABC的中线，DE是________的中线；
(2)△ABC的角平分线是________，BF是________的角平分线．
5．如图2－1－18，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，BE为△ABC的中线，如果AC＝12 cm，则AE＝________；如果∠ABC＝80°，则∠ABD＝________．
6．已知△ABC，如图2－1－19，过点A画△ABC的角平分线AD，中线AE和高线AF.
图2－1－19
INCLUDEPICTURE "../../../B组.eps" \* MERGEFORMAT
7．如图2－1－20，网格中小正方形的边长都为1.在△ABC中，试画出其三边的中线(顶点与对边中点连接的线段)，然后探究三条中线位置及其有关线段之间的关系，你发现了什么有趣的结论？
图2－1－20
8．如图2－1－21所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，且AB＝8 cm，AC＝5 cm，则△ABE比△ACE的周长长多少？△ABE与△ACE的面积有什么关系？说明理由．
图2－1－21
INCLUDEPICTURE "../../../C组.eps" \* MERGEFORMAT
9．有一块肥沃的三角形土地，其中一边与灌渠相 ( http: / / www.21cnjy.com )邻，如图2－1－22所示．政府要将这块土地按人口分给甲、乙、丙三家，若甲家有6口人，乙家有5口人，丙家有4口人，且每户所分土地都与灌渠相邻，请你帮助设计一个合理的分配方案．
图2－1－22
答案解析
1．A
2．A 【解析】 因为三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，所以三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分．
3．D 【解析】正确理解三角形的高、中线与角平分线的概念．
4．AD △BEC BE △ABD
【解析】 由三角形的中线和角平分线的有关概念可得．
5．6 cm 40° 【解析】 由三角形的中线、角平分线的定义计算即可．
6．解：画法及图略．
7．解：画图略．(1)三条中线交于一点；(2)在同一条中线上，三条中线的交点到边中点的距离等于它到顶点距离的一半．
8．【解析】 比较两个三角形的周长即是比较两个三角形三边之和的大小关系；而比较两个三角形的面积大小，则是比较底与高乘积的大小．
解：△ABE的周长为AB＋AE＋BE，
△ACE的周长为AC＋CE＋EA.
又因为AE是△ABC的中线，
所以BE＝CE.
所以△ABE与△ACE的周 ( http: / / www.21cnjy.com )长之差为(AB＋AE＋BE)－(AC＋AE＋CE)＝AB－AC＝8－5＝3(cm)，即△ABE比△ACE的周长长3 cm.
△ABE和△ACE的面积相等，理由如下：
因为AD是△ABE与△ACE的高，
所以S△ABE＝BE·AD，S△ACE＝CE·AD.
又因为BE＝CE，所以S△ABE＝S△ACE.
9．【解析】 此题要求按人口分给甲、乙、丙三家，也就是说使三家土地的面积比为6∶5∶4；与灌渠相邻，即把BC边分成(6＋5＋4)份，甲家占6份，乙家占5份，丙家占4份．
解：如图所示．
第9题答图
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图2－1－16
图2－1－17
图2－1－18温馨提示：
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2.4__线段的垂直平分线__
第1课时 线段的垂直平分线的性质
1．如图2－4－7，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于 ( )
图2－4－7
A．80° B．70°
C．60° D．50°
2．如图2－4－8，AC＝AD，BC＝BD，则有 ( )
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．CD平分∠ACB
3．[2012·邵阳] 如图2 ( http: / / www.21cnjy.com )－4－9所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，ED是BC的垂直平分线，请写出图中两条相等的线段是________．
图2－4－9
4．如图2－4－10，在△ABC中，AB＝5 ( http: / / www.21cnjy.com ) cm，AC＝3 cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，连接DC，则△ACD的周长为________cm.
图2－4－10
5．如图2－4－11，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC.
(1)求∠ECD的度数；
(2)若CE＝5，求BC长．
图2－4－11
INCLUDEPICTURE "../../../B组.EPS" \* MERGEFORMAT
6．如图2－4－12，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P.
(1)求证：PA＝PB＝PC.
(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？
图2－4－12
INCLUDEPICTURE "../../../C组.EPS" \* MERGEFORMAT
7．根据图2－4－13，解答下列各题．
(1)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，ME和NF分别垂直平分AB和AC，求∠MAN的度数．
(2)在(1)中，若无AB＝AC的条件，你还能求出∠MAN的度数吗？若能，请求出；若不能，请说明理由．
(3)在(2)的情况下，若BC＝10 cm，试求出△AMN的周长．
答案解析
1．C 【解析】 因为等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，所以∠ABC＝＝80°.
因为DE是线段AB的垂直平分线，
所以AE＝BE，∠A＝∠ABE＝20°，
所以∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝80°－20°＝60°.
故选C.
2．A 【解析】 因为AC＝AD，BC＝BD，所以点A， B在线段CD的垂直平分线上．所以AB垂直平分CD.故选A.
3．BD＝CD(答案不唯一) 【解析】 因为ED是BC的垂直平分线，
所以BE＝CE，BD＝CD，
因为在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
所以∠ECB＝∠B＝30°，∠A＝90°－∠B＝60°，
所以∠ACE＝90°－30°＝60°，
所以△AEC是等边三角形，
所以AE＝EC＝AC，
所以AE＝AC＝EC＝BE.
所以图中两条相等的线段是：BE＝CE＝AC＝AE或BD＝CD.
故答案为：此题答案不唯一，如BD＝CD等．
4．8 【解析】 因为DE为BC的垂直平分线，所以CD＝BD，
所以△ACD的周长为AC＋CD＋AD＝AC＋AD＋BD＝AC＋AB，
又因为AC＝3 cm，AB＝5 cm，所以△ACD的周长为3＋5＝8 (cm)．
5．解：(1)因为DE垂直平分AC，所以CE＝AE，
所以∠ECD＝∠A＝36°；
(2)因为AB＝AC，∠A＝36°，
所以∠B＝∠ACB＝72°，
所以∠BEC＝∠A＋∠ECD＝72°，
所以∠BEC＝∠B，
所以BC＝EC＝5.
6．证明：(1)因为边AB、BC的垂直平分线交于点P，
所以PA＝PB，PB＝PC.
所以PA＝PB＝PC.
(2)点P在边AC的垂直平分线上，因为PA＝PC，
所以点P在边AC的垂直平分线上(和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)
还可得出结论：三角形三边的垂直平分线相交于一点．
7．解：(1)因为ME垂直平分AB，
所以MA＝MB，
所以∠B＝∠BAM，
同理NA＝NC，所以∠C＝∠NAC.
因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∠BAC＝100°，
所以∠B＋∠C＝80°，
所以∠BAM＋∠NAC＝80°，
所以∠MAN＝∠BAC－(∠BAM＋∠NAC)＝100°－80°＝20°；
(2)能，∠MAN＝20°，[理由同(1)]．
(3)由(1)知MA＝MB，NA＝NC.
所以AM＋AN＋MN＝BM＋NC＋MN＝BC＝10 (cm)．
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图2－4－8
图2－4－13温馨提示：
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第5课时 全等三角形判定方法4(SSS)
1．如图2－5－61，点D，E在线段BC上，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，要判定△ABD≌△ACE，较为快捷的方法是 ( )
图2－5－61
A．SSS B．SAS
C．ASA D．AAS
2．如图2－5－62所示，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CE，则由“SSS”可以判定 ( )
图2－5－62
A．△ABD≌△ACD
B．△BDE≌△CDE
C．△ABE≌△ACE
D．以上都不对
3．[2012·茂名]如图2－5－63所示，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形的哪个性质？
答：__________(填“稳定性”或“不稳定性”)．
图2－5－63
4．如图2－5－64所示，在△ABC中，AB ( http: / / www.21cnjy.com )＝AC，D为BC的中点，则△ABD≌△ACD，根据是________，AD与BC的位置关系是________．
图2－5－64
5．如图2－5－65，已知AB＝CD，AD＝BC，∠1＝40°，∠2＝80°，则∠A＝________．
图2－5－65
INCLUDEPICTURE "../../../B组.eps" \* MERGEFORMAT
6．如图2－5－66，点B，E， C，F在同一直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AC∥DF.
图2－5－66
7．如图2－5－67所示，AB＝CD，AE＝DF，CE＝BF.
(1)△ABE能否与△DCF重合？说明理由．
(2)若∠B＝30°，AE⊥AB，则将△CDF从F点沿BC平移至________点，再沿顺时针方向旋转________才能与△BAE重合．
图2－5－67
INCLUDEPICTURE "../../../C组.eps" \* MERGEFORMAT
8．如图2－5－68所示，AB＝AE，BC＝ED，CF＝FD，AC＝AD.求证：∠BAF＝∠EAF.
图2－5－68
答案解析
1．A 2.C
3．稳定性
4．SSS 垂直
5．60° 【解析】 在△ABD和△CDB中，
所以△ABD≌△CDB(SSS)，
所以∠ABD＝∠1＝40°，
所以∠A＝180°－∠ABD－∠2＝180°－∠1－∠2＝180°－40°－80°＝180°－120°＝60°.
6．证明：因为BE＝CF，
所以BE＋EC＝CF＋EC，
所以BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
所以△ABC≌△DEF(SSS)，
所以∠ACB＝∠F，
所以AC∥DF.
7．解：(1)△ABE与△DCF能重合．理由如下：
因为CE＝BF，所以CE＋EF＝BF＋EF，所以CF＝BE.
在△ABE与△DCF中，
所以△ABE≌△DCF.
(2)E 180°
8．【解析】 先证明△ABC≌△AED，再证明△ACF≌△ADF，即可得∠BAF＝∠EAF.
证明：在△ABC和△AED中，
所以△ABC≌△AED(SSS)，
所以∠BAC＝∠EAD(全等三角形对应角相等)．
在△ACF和△ADF中，
所以△ACF≌△ADF(SSS)，
所以∠CAF＝∠DAF(全等三角形对应角相等)，
所以∠BAC＋∠CAF＝∠EAD＋∠DAF，
所以∠BAF＝∠EAF.
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2.5__全等三角形__
第1课时 全等三角形
1．已知图2－5－7中的两个三角形全等，则∠α的度数是 ( )
图2－5－7
A．72° B．60° C．58° D．50°
2．如图2－5－8，△ABC≌△A ( http: / / www.21cnjy.com )DE，如果AB＝5 cm，BC＝7 cm，AC＝6 cm，那么DE的长是 ( )
图2－5－8
A．6 cm B．5 cm
C．7 cm D．无法确定
3．如图2－5－9，已知△ABC≌△CDE，其中AB＝CD，那么下列结论中，不正确的是 ( )
图2－5－9
A．AC＝CE
B．∠BAC＝∠ECD
C．∠ACB＝∠ECD
D．∠B＝∠D
4．如图2－5－10，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，则下列不正确的等式是 ( )
A．AB＝AC
B．∠BAE＝∠CAD
C．BE＝DC
D．AD＝DE
5．如图2－5－11所示，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝3，则EC的长为 ( )
A．2 B．3
C．5 D．2.5
6．如图2－5－12，如 ( http: / / www.21cnjy.com )果△ABC≌△DEF，△DEF的周长是27 cm，DE＝9 cm，EF＝13 cm，∠E＝∠B，则AC＝________cm.
图2－5－12
7．已知，如图2－5－13所示，点A、B、C、D在同一直线上，△ABF≌△DCE，AF和DE，BF和CE是对应边．求证：AF∥DE.
图2－5－13
INCLUDEPICTURE "../../../B组.EPS" \* MERGEFORMAT
8．如图2－5－14，已知△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角．
(1)写出相等的线段与角；
(2)若EF＝2.1 cm，FH＝1.1 cm，HM＝3.3 cm，求MN和HG的长度．
图2－5－14
INCLUDEPICTURE "../../../C组.EPS" \* MERGEFORMAT
9．如图2－5－15，点A、D、E在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：
(1)BD＝DE＋CE；
(2)△ABD满足什么条件时，BD∥CE.
图2－5－15
答案解析
1．D
2．C 【解析】 因为△ABC≌△ADE，所以BC＝DE.因为BC＝7 cm，所以DE＝7 cm.故选C.
3．C 【解析】 因为△ABC≌△CDE，AB＝CD，所以∠ACB＝∠CED，AC＝CE，∠BAC＝∠ECD，∠B＝∠D.选项C中∠ACB＝∠ECD是错的．故选C.
4．D 【解析】 因为△A ( http: / / www.21cnjy.com )BE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，所以AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，BE＝DC，AD＝AE，故A、B、C正确；AD的对应边是AE而非DE，所以D错误．故选D.
5．A 【解析】 因为△ABE≌△ACF，所以AC＝AB＝5，所以EC＝AC－AE＝2.故选A.
6．5 【解析】 DF＝27－DE－EF＝5 cm.因为△ABC≌△DEF，∠E＝∠B，所以AC＝DF＝5 cm.
7．证明：因为△ABF≌△DCE，
所以∠A＝∠D，所以AF∥DE.
8．解：(1)因为△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角，
所以EF＝NM，EG＝NH，FG＝MH，∠F＝∠M，∠E＝∠N，∠EGF＝∠NHM，所以FH＝GM；
(2)由(1)知EF＝NM，又因为EF＝2.1 cm，
所以MN＝2.1 cm；
由(1)知FG＝MH，FH＋HG＝FG，
FH＝1.1 cm，HM＝3.3 cm，
所以HG＝FG－FH＝HM－FH＝3. 3－1.1＝2.2 cm.
9．解：(1)因为△BAD≌△ACE，
所以BD＝AE，AD＝CE，
所以BD＝AE＝AD＋DE＝CE＋DE，即BD＝DE＋CE.
(2)△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE，
理由是：因为△BAD≌△ACE，
所以∠E＝∠ADB＝90°(添加的条件是∠ADB＝90°)，
所以∠BDE＝180°－90°＝90°＝∠E，
所以BD∥CE.
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图2－5－10
图2－5－11温馨提示：
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第3课时 全等三角形判定方法2(ASA)
1．如图2－5－35所示，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，若使△ABC≌△A′B′C′，还需要 ( )
图2－5－35
A．∠B＝∠B′ B．∠C＝∠C′
C．AC＝A′C′ D．以上都对
2．如图2－5－36所示，已知AB∥DE，CD＝BF，若△ABC≌△EDF，还需补充的条件可以是 ( )
图2－5－36
A．AC＝EF B．AC∥EF
C．∠B＝∠E D．不用补充
3．如图2－5－37，AB＝AC，∠B＝∠C，BD、CE交于点O，连接AO，那么，要得出AD＝AE，就要先得出△________≌△________．现有条件AB＝AC，∠B＝∠C和条件________＝________，所以，根据________定理，可得△________≌△________，故可得出AD＝AE.
4．如图2－5－38，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求证：AD＝AE.
图2－5－38
5．[2011·北京]如图2－5－39，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A＝∠F，AB＝FD.
求证：AE＝FC.
图2－5－39
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6．如图2－5－40，已知AD ( http: / / www.21cnjy.com )是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，还需添加一个条件________，并给予证明．
图2－5－40
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7．如图2－5－41所示，在R ( http: / / www.21cnjy.com )t△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD垂直于过点A的一条直线于D，CE⊥AN于E.求证：DE＝BD－CE.
图2－5－41
答案解析
1．D 【解析】 选项A可利用AS ( http: / / www.21cnjy.com )A得到△ABC≌△A′B′C′.选项B中，因为∠B＝180°－∠A－∠C，∠B′＝180°－∠A′∠C′，因为∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，所以∠B＝∠B′，即转化为选项A.选项C中可由SAS判定△ABC≌△A′B′C′.
2．B 【解析】 因为AB∥DE，所以∠ ( http: / / www.21cnjy.com )B＝∠D.若AC∥EF，所以∠ACB＝∠EFD.又CD＝BF，所以DF＝BC.根据ASA可得△ABC≌△EDF.
3．ADB AEC ∠BAD ∠CAE ASA ADB AEC
4．证明：在△ACD和△ABE中，
所以△ACD≌△ABE(ASA)．
所以AD＝AE.
5．证明：因为BE∥DF，
所以∠ABE＝∠D.
在△ABE和△FDC中，
所以△ABE≌△FDC.
所以AE＝FC.
6．解法一；添加条件：AE＝AF，
证明：在△AED与△AFD中，
因为AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，
所以△AED≌△AFD(SAS)．
解法二；添加条件：∠EDA＝∠FDA，
证明：在△AED和△AFD中，
因为∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA，
所以△AED≌△AFD(ASA)．
7．【解析】 要证DE＝BD－C ( http: / / www.21cnjy.com )E，而DE＝AE－AD，故可想到证BD＝AE，AD＝CE，而其分别在△ABD与△CAE中，显然要证明△ABD与△CAE全等．
证明：因为∠BAC＝90°，BD⊥AN，
所以∠BAD＋∠CAE＝90°.
∠ABD＋∠BAD＝90°
所以∠CAE＝∠ABD.
因为BD⊥AN，CE⊥AN，
所以∠BDA＝∠AEC＝90°，
所以∠BAD＝∠ACE.
在△ABD和△CAE中，
所以△ABD≌△CAE(ASA)．
所以BD＝AE，AD＝CE(全等三角形对应边相等)．
因为DE＝AE－AD，所以DE＝BD－CE.
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第2课时 等腰三角形的判定
1．若△ABC的三边长分别为a，b，c ( http: / / www.21cnjy.com )满足(a－b)(b－c)·(c－a)＝0，那么△ABC的形状是 ( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．锐角三角形
2．下列条件中，不能得到等边三角形的是 ( )
A．有两个内角是60°的三角形
B．有两边相等且是轴对称的三角形
C．有一个角是60°且是轴对称的三角形
D．三边都相等的三角形
3．如图2－3－14，已知∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，且BC＝10，AD＝9，则CE＝________．
图2－3－14
4．如图2－3－15，AD和BC交于点O，AB∥DC，OA＝OB，试说明△OCD是等腰三角形．
图2－3－15
5．在折纸游戏中，将一条两边沿互相平行的纸带如图2－3－16折叠，小明在游戏中发现：不管折叠角是锐角、直角或钝角，△PEF始终是等腰三角形．你认为他的想法对吗？请说明理由．
图2－3－16
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6．如图2－3－17，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，DE∥AB，交AC于点E，判断△ADE是不是等腰三角形，并说明理由．
图2－3－17
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7．如图2－3－18所示，△ABC是等边三角形，CD是AB边上的高，延长CB到E使BE＝BD，连接DE.
(1)请你写出图中的一个等腰三角形(除△ABC外，不必说明理由)．
(2)如果已知AC＝2 013 cm，你能求出图中CE的长吗？试试看．
(3)把“CD是AB边上的高”改成什么条件仍能使(1)(2)成立？
图2－3－18
答案解析
1．A 【解析】 因为(a－b)( b－c)(c－a)＝0，
所以a－b＝0或b－c＝0或c－a＝0，
即a＝b或b＝c或c＝a，因而该三角形一定是等腰三角形．
故选A.
2．B
3．10 【解析】 由AD∥CE，得∠BEC＝∠A，由已知可得∠BEC＝∠B，从而得出BC＝EC.
4．解：因为AB∥CD，所以∠A＝∠D，∠B ( http: / / www.21cnjy.com )＝∠C，又因为OA＝OB，所以∠A＝∠B，所以∠C＝∠D，所以△OCD是等腰三角形．
5．解：正确．
由折叠，得∠PEF＝∠FEC′.
又因为BD′∥AC′，
所以∠FEC′＝∠PFE.
所以∠PEF＝∠PFE，
所以PE＝PF.
所以△PEF是等腰三角形．
6．解：△ADE是等腰三角形．理由如下：
因为AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，
所以∠BAD＝∠CAD(等腰三角形三线合一定理)．
因为DE∥AB，
所以∠BAD＝∠ADE(两直线平行，内错角相等)，
所以∠CAD＝∠ADE，
所以AE＝DE，
所以△ADE是等腰三角形．
7．解：(1)△BDE为等腰三角形；
(2)因为△ABC为等边三角形，
所以AB＝AC＝2 013 cm；
又因为CD是AB边上的高，
所以BD＝AB＝1 006.5 cm，
所以BE＝BD＝1 006.5 cm，
所以CE＝BC＋BE＝2 013＋1 006.5＝3 019.5 cm；
(3)把“CD是AB边上的高”改成“CD是AB边上的中线”或“CD是∠ACB的平分线”仍能使(1)(2)成立．
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第2课时 线段垂直平分线的作法
1．如图2－4－20，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M， N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为 ( )
图2－4－20
A．7
B．14
C．17
D．20
2．为了推进新型农村合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等(A、B、C不在同一直线上，地理位置如图2－4－21所示)，请你用尺规作图的方法确定点P的位置．
要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．
图2－4－21
3．如图2－4－22，一张纸上有线段AB.
(1)请用尺规作图，作出线段AB的垂直平分线(保留作图痕迹，不写作法和证明)．
(2)若不用尺规作图，你还有其他作法吗？请说明作法(不作图)．
图2－4－22
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4．如图2－4－23，已知△ABC.
(1)作BC边的垂直平分线交BC于D，连接AD(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的基础上，若△ABC的面积为6，则△ABD的面积为________．
图2－4－23
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5．[2012·凉山州]在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．
如图2－4－24(1)，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？
图2－4－24
聪明的小华通过独立思考，很快得出了 ( http: / / www.21cnjy.com )解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线(图2－4－24(2))，问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的作法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点B′.
②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．
请你参考小华的作法解决下列问题．如图2－4－25在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小．(保留作图痕迹，不写作法)．
图2－4－25
答案解析
1．C 【解析】 因为在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.所以MN是AB的垂直平分线，所以AD＝BD，因为△ADC的周长为10，所以AC＋AD＋CD＝AC＋BD＋CD＝AC＋BC＝10，因为AB＝7，所以△ABC的周长为AC＋BC＋AB＝10＋7＝17.故选C.
2．解：已知：A村、B村、C村，
求作：新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等．
第2题答图
3．解：(1)如图所示；
第3题答图
(2)对折，使得点A与点B重合，则折痕所在的直线为线段AB的垂直平分线．
4．解：(1)如图．
第4题答图
(2)因为BD＝CD，
所以S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝×6＝3.
5．解：作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，点P即为所求；
第5题答图
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2.6__用尺规作三角形__
1．用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是 ( )
A．作一个角等于已知角
B．作已知直线的垂线
C．作一条线段等于已知线段
D．作角的平分线
2．[2012·河北]如图2－6－5，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，弧FG是 ( )
图2－6－5
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
3．已知两角和其中一角的对边作三角形时，可由三角形内角和定理求出第三个角，再依据________作三角形．
4．已知∠A和线段AB，要求作一个唯一的△ABC，还需给出一个条件是________________．
5．已知：△ABC(如图2－6－6所示)．
求作：△A′B′C′，使△A′B′C′≌ABC.
图2－6－6
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6．如图2－6－7，已知线段a，b，且a>b.求作△ABC，使∠C＝90°，AB＝a，AC＝b.
图2－6－7
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7．[2012·达州]数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：
作法：如图2－6－8(1)，①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE.
②分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.
③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．
小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下：步骤：如图2－6－8(2)，
①利用三角板上的刻度，在OA和OB上分别截取OM、ON，使OM＝ON.
②分别过M、N作OM、ON的垂线，交于点P.
③作射线OP，则OP为∠AOB的平分线．
小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线．
根据以上情境，解决下列问题：
①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是________．
②小聪的作法正确吗？请说明理由．(提示：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等)
③请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法．(要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明)
图2－6－8
答案解析
1．C 【解析】根据三边做三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段．故选C.
2．D 【解析】 根据题意，所作出的是∠BCN＝∠AOB，
根据作一个角等于已知角的作法，弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．故选D.
3．ASA
4．本题答案不唯一，如：已知AC或∠B等
5．解： 如图所示．
第5题答图
(1)作线段B′C′＝BC；
(2)分别以点B′，C′为圆心，BA，CA的长为半径画弧，两弧交于点A′；
(3)连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′就是所求作的三角形．
6．解： 如图所示，(1)作∠NCM＝90°；
第6题答图
(2)在射线CM上截取CA＝b;
(3)以A为圆心，a为半径画弧交CN于B；
(4)连接AB，则△ABC即为所求作的直角三角形．
7．解：①SSS
②小聪的作法正确．
理由：因为PM⊥OM，PN⊥ON，
所以∠OMP＝∠ONP＝90°，
在Rt△OMP和Rt△OMP和Rt△ONP中
因为OP＝OP，OM＝ON，
所以Rt△OMP≌△Rt△ONP.
所以∠MOP＝∠NOP.
所以OP平分∠AOB.
③如图所示．
第7题答图
步骤：①利用刻度尺在OA、OB上分别截取OG＝OH.
②连接GH，利用刻度尺作出GH的中点Q.
③作射线OQ，则OQ为∠AOB的平分线．
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第2章质量评估试卷
[时间：90分钟 分值：120分]
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．如图1，线段AD把△ABC分成面积相等的两部分，则线段AD是 ( )
图1
A．△ABC的角平分线 B．△ABC的中线
C．△ABC的高 D．以上都不对
2．在下列长度的四根木棒中，能与长为4 cm，9 cm的两根木棒钉成一个三角形的是 ( )
A．4 cm B． 5 cm C．9 cm D．13 cm
3．如图2，工人师傅做了一个长方形窗框ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D，E，F，G，H分别是四条边AD，DC，CB，AB上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在 ( )
图2
A．A，C两点之间 B．E，G两点之间
C．B，F两点之间 D．G，H两点之间
4．有下列说法：
①只有两个三角形才能完全重合；
②如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同；
③两个正方形一定是全等图形；
④面积相等的两个图形一定是全等图形．
其中正确的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图3，△ABC≌△DEF，点A与点D对应，点C与点F对应，则图中相等的线段有 ( )
图3
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
6．如图4，AB∥CD，BC∥AD，AB＝CD，BE＝DF，其中全等三角形的对数是
( )
图4
A．3 B．4 C．5 D．6
7．下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是 ( )
A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A＋∠B＝2∠C
C．∠A∶∠∶B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝∠B＝∠C
8．如图5，AB＝CD，AD＝BC，则下列结论不正确的是 ( )
图5
A．AB∥CD B．AD∥BC
C．∠A＝∠C D．BD平分∠ABC
二、填空题(每小题3分，共24分)
9．“同一平面内，若a⊥b， c⊥b，则a∥c”这个命题的条件是__________________________，结论是________，这个命题是________命题．
10．如图6所示，CD⊥AB，CE⊥BC，AF⊥BF，则△ABC的边BC上的高是线段________．
图6
11．如图7所示，点E，D分别在线段A ( http: / / www.21cnjy.com )B，AC上，BD，CE相交于点O，AD＝AE，要使△ABD≌△ACE，需还添加一个条件是____________(只写一个即可)．
图7
12．如图8所示，点O为AC的中点，也是BD的中点，那么AB与CD的关系是________________．
图8
13．如图9所示，在四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，若∠B＝70°，则∠D＝________．
图9
14．如图10所示，在△ABC中，CD＝DE，AC＝AE，∠DEB＝110°，则∠C＝________．
图10
图11
15．如图11所示，太阳 ( http: / / www.21cnjy.com )光线AC与A′C′是平行的，AB表示一棵塔松，A′B′表示一棵小杨树，同一时刻两棵树的影长相等，已知塔松高6米，则小杨树高________米．
16．在△ABC中，BC＝5 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是________cm.
图12
三、解答题(共72分)
17．(10分)如图13所示，请在图中作出△ABC的中线CD，角平分线BE，高AF.
图13
18．(12分)如图14所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝70°，∠DAE＝18°，求∠C的度数．
图14
19．(12分)如图15，已知AD∥BC，AD＝BC，AE＝CF，点E，F在直线AC上，试说明DE∥BF.
图15
20．(12分)如图16，在△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，线段AB、AC的垂直平分线分别交BC于P、Q两点，且BP＝PQ＝QC.试证明△APQ为等边三角形．
图16
21．(13分)如图17，点B，C在∠SAF的两边上．且AB＝AC.
(1)请按下列语句用尺规画出图形(不写作法，保留作图痕迹)．
①AN⊥BC，垂足为N；
②∠SBC的平分线交AN延长线于M；
③连接CM.
(2)该图中有________对全等三角形．
图17
22．(13分)如图18，在△ABC中，AC＝BC，AC⊥BC，AE⊥CD，垂足为点E，BF⊥CD，垂足为点F，图中BF与哪条线段相等？并说明理由．
图18
答案解析
1．B 【解析】 如图所示，过点A作AE⊥BC于E，则S△ABD＝BD·AE.S△ACD＝CD·AE.由题意知S△ABD＝S△ACD，所以BD·AE＝CD·AE，所以BD＝CD，即线段AD是△ABC的中线．
第1题答图
2．C 3.B 4.A
5．D 【解析】 图中相等的线段有：AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，AF＝DC，共4组．
6．A
7．C 【解析】 在△ABC中，有∠A＋∠B＝∠C＝180°，
当∠A＝∠B＝∠C时，∠A＝∠B＝∠C＝×180°＝60°，此时△ABC为等边三角形；
当∠A＋∠B＝2∠C时，∠C＝×180°＝60°，∠A＋∠B＝120°；此时△ABC不一定是直角三角形；
当∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3时，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，此时△ABC是直角三角形；
当∠A＝∠B＝∠C时，∠A＝36°，∠B＝∠C＝72°，此时△ABC为锐角三角形．
8．D 【解析】 由AB＝C ( http: / / www.21cnjy.com )D，AD＝CB，BD＝DB，可得△ABD≌△CDB，所以∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD.由∠ABD＝∠CDB可得AB∥CD.由∠ADB＝∠CBD可得AD∥BC.所以选项A，B，C都正确，不能推出∠ABD＝∠CBD，故选D.
9．同一平面内，若a⊥b，c⊥b a∥c 真
10．AF
11．AB＝AC等 【解 ( http: / / www.21cnjy.com )析】 本题是开放性题目．在△ABD和△ACE中，已知AD＝AE，∠A＝∠A，要使△ABD≌△ACE，若利用SAS可添加AB＝AC；若利用AAS可添加∠B＝∠C；若利用ASA可添加∠ADB＝∠AEC.
12．AB＝CD；AB∥ ( http: / / www.21cnjy.com )CD 【解析】 因为点O为AC，BD的中点，所以AO＝CO，BO＝DO.在△AOB和△COD中，AO＝CO，∠AOB＝∠COD，BO＝DO，所以△AOB≌△COD(SAS)，所以AB＝CD，∠A＝∠C，由∠A＝∠C可推出AB∥CD.
13．70° 【解析】 连接AC.由AB∥CD，可知∠BAC＝∠DCA，
在△ABC和△CDA中，AB＝CD，∠BAC ( http: / / www.21cnjy.com )＝∠DCA，AC＝CA，所以△ABC≌△CDA(SAS)，所以∠B＝∠D，由∠B＝∠70°可得∠D＝70°.
14．70° 【解析】 由∠AED＋∠ ( http: / / www.21cnjy.com )DEB＝180°，∠DEB＝110°，可得∠AED＝70°.在△ACD和△AED中，AC＝AE，CD＝ED，AD＝AD，所以△ACD≌△AED(SSS)，所以∠C＝∠AED＝70°.
15．6 【解析】 由AC∥A′C′，可知∠ACB＝∠A′C′B′.在△ABC和△A′B′C′中，∠ABC＝∠A′B′C′＝90°，BC＝B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，所以△ABC≌△A′B′C′(ASA)，所以AB＝A′B′＝6米．
16．5 【解析】 由已知可得PD＝BD，PE＝EC(等角对等边)，
而△PDE的周长为PD＋PE＋DE＝BD＋CE＋DE＝BC＝5 (cm)．
17．解： 如图所示．
第17题答图
18．解：因为AD是△ABC的高，
所以∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，∠B＝70°，
所以∠BAD＝90°－∠B＝90°－70°＝20°.
又∠DAE＝18°，
所以∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝20°＋18°＝38°，
因为AE是△ABC的角平分线，
所以∠BAC＝2∠BAE＝2×38°＝76°.
在△ABC中，∠C＝180°－∠B－∠BAC＝180°－70°－76°＝34°.
19．解：因为AD∥BC，
所以∠1＝∠2.
又因为∠1＋∠DAE＝180°，∠2＋∠BCF＝180°，
所以∠DAE＝∠BCF.
在△ADE和△CBF中，
AE＝CF，∠DAE＝∠BCF，AD＝CB，
所以△ADE≌△CBF(SAS)，
所以∠E＝∠F，
所以DE∥BF.
20．【解析】 由线段的垂直平分线可知BP＝AP，AQ＝QC，又BP＝PQ＝QC可得AP＝AQ＝PQ.
证明：因为PM垂直平分线段AB，
所以AP＝BP.
因为QN垂直平分线段AC，
所以QA＝QC.
因为BP＝PQ＝QC，
所以AP＝AQ＝PQ.
所以△APQ为等边三角形．
21．解： (1)如图所示．
(2)根据对称性，△ABN≌△ACN，△ABM≌△ACM，△BMN≌△CMN，共3对．
第21题答图
22．解：CE＝BF.理由如下：因为AE⊥CD，BF⊥CD，
所以∠AEC＝∠BFC＝90°.
又因为AC⊥BC，
所以∠ACB＝90°，
即∠ACE＋∠BCF＝90°.
在Rt△BCF中，∠CBF＋∠BCF＝90°，
所以∠ACE＝∠CBF.
在△CAE和△BCF中，
∠AEC＝∠BFC，∠ACE＝∠CBF.AC＝BC，
所以△CAE≌△BCF(AAS)，
所以CE＝BF.
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第2课时 全等三角形判定方法1(SAS)
1．如图2－5－22，使△ABD≌△ABC成立的条件是 ( )
图2－5－22
A．∠1＝∠2，BD＝BC
B．∠3＝∠4，BD＝BC
C．AD＝AC，∠D＝∠C
D．∠D＝∠C，BD＝BC
2．如图2－5－23，AB∥DC，且AB＝CD，则下列结论中不一定正确的是( )
图2－5－23
A．△ABD≌△CDB B．AD＝BC
C．AD∥BC D．∠1＝∠2
3．两个三角形有两边和一角对应相等，则这两个三角形 ( )
A．一定全等
B．一定不全等
C．可能全等，也可能不全等
D．以上都不是
4．如图2－5－24，已知△ABC的六个元素，则图2－5－25中的甲、乙、丙三个三角形和△ABC全等的是 ( )
图2－5－24
图2－5－25
A．甲和乙 B．乙和丙
C．只有乙 D．只有丙
5．在△ABC与△DEF中，已知AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，根据“SAS”定理，还要添加条件______________________________．
6．如图2－5－26，D，E是△ABC中BC边上的两点，且AD＝AE，∠1＝∠2，则补充条件________，就可得△ABD≌△ACE(________)，可得AB＝________(______________________)和∠BAD＝________(全等三角形对应角相等)．
图2－5－26
7．在△ABC中，∠A＝50°，AB＝3 cm，∠B＝60°，BC＝5 cm，△DEF中，DE＝3 cm，那么要使△DEF≌△ABC，就要________＝5 cm，∠E＝________ .
8．已知，如图2－5－27，点C是线段AB的中点，CE＝CD，∠ACD＝∠BCE，求证：AE＝BD.
图2－5－27
INCLUDEPICTURE "../../../B组.EPS" \* MERGEFORMAT
9．[2011·武汉]如 ( http: / / www.21cnjy.com )图2－5－28，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC.求证：BC∥EF.
图2－5－28
INCLUDEPICTURE "../../../C组.EPS" \* MERGEFORMAT
10．[2011·三明]如图2－5－29，AC＝AD，∠BAC＝∠BAD，点E在AB上．
(1)你能找出________对全等的三角形．
(2)请写出一对全等的三角形，并证明．
图2－5－29
答案解析
1．B 【解析】 B中由∠3＝∠4得∠DBA＝∠CBA.由SAS知B正确．
2．D 【解析】 易知△ABD≌△CDB，得AD＝BC，∠3＝∠2，从而AD∥BC，选项D不一定正确．
3．C
4．B
5．∠B＝∠E 【解析】 因为已知AB＝DE，BC＝EF，有两条边对应相等，只需它们的夹角对应相等，所以还要添条件∠B＝∠E.
6．BD＝CE SAS AC 全等三角形对应边相等 ∠CAE
7．EF 60° 【解析】 要△DEF≌△ABC，就要EF＝BC＝5 cm，∠E＝∠B＝60°.
8．证明：因为点C是线段AB的中点，
所以AC＝BC.
在△ACE和△BCD中，
所以△ACE≌△BCD(SAS)，
所以AE＝BD.
9．证明：因为AF＝DC，
所以AC＝DF，
又∠A＝∠D，AB＝DE，
所以△ABC≌△DEF，
所以∠ACB＝∠DFE，
所以BC∥EF.
10．解：(1)3
(2)△ABC≌△ABD.
证明：在△ABC和△ABD中，
所以△ABC≌△ABD(SAS)；
或△AEC≌△AED.
证明：在△AEC和△AED中，
所以△AEC≌△AED(SAS)；
或△BCE≌△BDE.
证明：因为△ABC≌△ABD，
所以BC＝BD，∠ABC＝∠ABD.
在△BCE和△BDE中，
所以△BCE≌△BDE(SAS)．
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2.3__等腰三角形__
第1课时 等腰三角形的性质
1．给出下列关于等腰三角形性质的叙述：①等腰 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形两底角相等；②等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合；③等腰三角形是轴对称图形．其中正确的有 ( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
2．已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数是 ( )
A．55°，55° B．70°，40°
C．55°，55°或70°，40° D．以上都不对
3．夷陵长江大桥为三塔斜拉桥．如图2－3－5，中塔左右两边所挂的最长钢索AB＝AC，塔柱底端D与点B间的距离是228米，则BC的长是________米．
图2－3－5
4．[2012·淮安]如图2－3－6，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，若∠BAC＝70°，则∠BAD＝________．
图2－3－6
5．做如下操作：在等腰三角形ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D.将△ABD作关于直线AD的轴对称变换，所得的像与△ACD重合．
对于下列结论：
①在同一个三角形中，等角对等边；
②在同一个三角形中，等边对等角；
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合．
其中由上述操作可得出的是________(将正确结论的序号都填上)．
6．如图2－3－7，已知AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.
图2－3－7
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7．如图2－3－8，已知等边三角形EAD和正方形ABCD，试求∠BEC的度数．
图2－3－8
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8．[2012·牡丹江] ( http: / / www.21cnjy.com )如图2－3－9①，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H.易证PE＋PF＝CH.
证明过程如下：
如图①，连接AP.
因为PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
所以S△ABP＝AB·PE，S△ACP＝AC·PF， S△ABC＝AB·CH.
又因为S△ABP＋S△ACP＝S△ABC，
所以AB·PE＋AC·PF＝AB·CH.
因为AB＝AC，
所以PE＋PF＝CH.
如图2－3－9②，P为BC延长线上的点时，其他条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
图2－3－9
答案解析
1．D 2.C
3． 456 【解析】 因为AB＝AC，BD＝228米，AD⊥BC，所以BD＝CD，
所以BC＝2BD＝456米．故填456.
4．35° 【解析】 因为△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，所以AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD＝∠BAC＝×70°＝35°.
5．②③
6．证明：作AF⊥BC于F.
因为AB＝AC(已知)，
所以BF＝CF，
又因为AD＝AE(已知)，
所以DF＝EF，
所以BF－DF＝CF－EF，即BD＝CE(等式的性质)．
第6题答图
7．【解析】 要求∠BEC，先求出∠AEB与∠CED，由题意可知△ABE与△DCE为等腰三角形，且顶角为60°＋90°＝150°，于是可得∠AEB与∠CED的度数．
解：因为已知等边△EAD与正方形ABCD，
所以AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，
所以∠AEB＝∠ABE＝(180°－150°)＝15°.
同理∠CED＝15°，
所以∠BEC＝∠AED－∠AEB－∠CED＝60°－15°－15°＝30°.
8．解：PE＝PF＋CH.证明如下：
连接AP.
因为PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
所以S△ABP＝AB·PE，S△ACP＝AC·PF，S△ABC＝AB·CH.
因为S△ABP＝S△ACP＋S△ABC，
所以AB·PE＝AC·PF＋AB·CH，
又因为AB＝AC，
所以PE＝PF＋CH.
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