(共26张PPT)
4.5 函数的应用（二）
课时13 用二分法求方程的近似解
教学目标
1. 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件,体会从具体到一般的认知过程,理解和掌握二分法的算法思想.
2. 掌握运用二分法求给定精确度的方程近似解的方法,了解逐步逼近的思想,训练理性思维能力,培养逻辑推理素养.
3. 学会运用二分法解决一些实际问题,培养数学应用意识,提高综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.
学习目标
课程目标 学科核心素养
理解二分法的概念及算法思想 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件,归纳二分法的算法思想,培养数学抽象素养
能运用二分法求给定精确度的方程的近似解 会用二分法求一个函数在给定区间内零点的近似值,从而求得方程的近似解,培养数学运算、逻辑推理素养
运用二分法解决一些实际问题 用二分法解决现实生活中的问题,增强知识的应用意识,培养数学建模素养
情境导学
已知某款汽车的价格在30万元～70万元之间，误差不超过1万元. 想要快速猜出该款车的具体价格，你会采取什么策略？
【活动1】探求函数f（x）＝lnx＋2x－3的零点
【问题1】函数f(x)=lnx+2x-3是否存在零点 若存在,你能判断出零点所在的大致区间吗
初探新知
【问题2】如何找到这个零点呢？
【问题3】如何有效缩小零点所在的区间？
【问题4】我们采用“取中点”的方法逐步缩小零点所在的区间，既然是求近似值，那么区间该缩小到什么程度呢？
【问题5】请同学们利用计算器，设计表格，找出函数f(x)＝lnx＋2x－3在区间（1.2）内的零点．(精确度为0.01)
【问题6】对于一般函数，如果存在零点，是不是也可以用这种方法去求出它所对应的方程的近似解呢？
【问题7】二分法的适用条件是什么？
【活动2】探究二分法的概念及用二分法求函数零点近似值的步骤
【问题8】用二分法求函数零点近似值的具体方法是什么？
【问题9】用二分法求函数零点的近似值的关键点有哪些？
【问题10】已知f(x)的零点在区间[a，b]内，区间(a，b)的中点为c.若f(c)＝0，说明什么？若f(c)≠0，下一步需要怎么做？
【问题11】如何判断是否达到精确度ε？
典例精析
【例1】[2021·河南省信阳市高一期末改编题]下列函数图象与x轴均有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
思路点拨：考查学生利用二分法求函数零点及识图能力．二分法判断连续函数f(x)在区间上有零点的条件是函数连续且f(m)f(n)<0，由此分析求解即可．
【解】利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)f(b)<0，不能用二分法求零点；ACD中零点两侧函数值异号，故均可采用二分法求零点．故选B.
【方法规律】
用二分法求函数的零点应满足：① 函数图象在零点附近连续不断；② 在该零点两侧函数值异号．只有同时满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
解：因为f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．故选C.
c
【变式训练1】下列函数不宜用二分法求零点的是 ( )
A. f(x)=x3-1
B. f(x)=lnx+3
C. f(x)=x2+2x+2
D. f(x)=-x2+4x-1
【例2】 [教材改编题]借助计算器，用二分法求方程2x3＋3x－3＝0在区间(0，1)的一个近似解(精确度为0.1).
思路点拨：二分法求方程解的近似值的步骤：依次求出区间端点和中点的值，利用二分法判断出方程的解分布的区间，根据精确度求出解的近似值．
【解】设函数f(x)＝2x3＋3x－3，则f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，故有：
零点所在区间 中点的值 中点函数近似值
(0，1) 0.5 －1.25
(0.5，1) 0.75 0.094
(0.5，0.75) 0.625 －0.637
(0.625，0.75) 0.687 5 －0.288
(0.687 5，0.75) 0.718 75 －0.101
在精确度为0.1时，因为|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1，所以区间(0.6875，0.75)内任意一点都可以作为所求零点的近似值．因此，方程2x3＋3x－3＝0在区间(0，1)的一个近似解可取为0.6875.
【方法规律】
用二分法求方程的近似解的步骤：
(1) 构造函数，根据图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z.
(2) 利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.
(3) 区间M内的任一实数均是所求方程的近似解.
【变式训练2】利用计算器,求方程2x=2-x的近似解.(精确到0.1)
解：方程2x=2-x的解就是函数y=2x和y=2-x的图象的公共点的横坐标,在同一直角坐标系中分别画出函数y=2x和y=2-x的图象(图略),知方程2x=2-x有唯一解x1,并且x1∈(0,1).设f(x)=2x+x-2,用计算器算得:f(0)·f(1)<0 x1∈(0,1),f(0.5)·f(1)<0 x1∈(0.5,1),f(0.5)·f(0.75)<0 x1∈(0.5,0.75),f(0.5)·f(0.625)<0 x1∈(0.5,0.625),f(0.5)·f(0.562 5)<0 x1∈(0.5,0.562 5),因为|0.562 5-0.5|=0.062 5<0.1,所以原方程的近似解可取为0.5.
【例3】 已知函数f(x)=-6x3-13x2-26x+a.
(1) 若函数f(x)在区间(-1,0)上有零点,求实数a的取值范围;
(2) 若a=-3,令g(x)=f(x)+14x,证明函数g(x)在区间(-1,0)内有零点,并求出这个零点的精确到0.1的一个近似值.
思路点拨：(1) 易知函数f(x)在区间(-1,0)上单调递减,所以函数f(x)在区间(-1,0)上有零点的充要条件是f(-1)·f(0)<0,由此建立a所满足的不等式(组),解之即得实数a的取值范围. (2) 由于函数g(x)的图象在区间(-1,0)上不间断,只要证明函数g(x)在区间(-1,0)上满足g(-1)·g(0)<0,即知函数g(x)在区间(-1,0)内有零点,而函数g(x)的零点就是方程g(x)=0的实数根,因此可用求方程近似解的二分法求出函数零点的近似值.
(1) 设x1,x2∈(-1,0),且x1
0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在区间(-1,0)上单调递减,则函数f(x)在区间(-1,0)上有零点的充要条件是f(-1)·f(0)<0,即[-6(-1)3-13(-1)2-26(-1)+a]·a<0,解得-190,g(0)=-3<0.所以函数g(x)在区间(-1,0)内有零点.设函数g(x)的零点为x0,则由g(-0.5)>0,g(0)<0 x0∈(-0.5,0),g(-0.5)>0,g(-0.25)<0 x0∈(-0.5,-0.25),g(-0.5)>0,g(-0.375)<0 x0∈(-0.5,-0.375),g(-0.437 5)>0,g(-0.375)<0 x0∈(-0.437 5,-0.375).因为|(-0.437 5)-(-0.375)|<0.1,所以-0.4为所求函数零点的近似值.
解：(1) 如图，设AB为待查电话线路，首先到中点C查，向A端测试时，假设发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次若发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD段中点E来查……依次类推．
(2) 每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，由10 000×x≤100，且x∈N*，解得n≥7，因此最少要查7次．
【解】
【方法规律】
(1) 已知函数零点情况求参数取值范围的方法主要是数形结合,步骤:① 判断函数的单调性;② 利用零点存在性定理,得到参数所满足的不等式(组);③ 解不等式(组),即得参数的取值范围.
(2) 函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,因此,要求出函数在区间(a,b)的近似值,通常可以运用二分法求方程的近似解的方法使问题获解.
【变式训练3】证明函数f(x)=2x+3x-6在区间[1,2]内有唯一零点,并求出这个零点.(精确到0.1)
解：由于f(1)=-1<0,f(2)=4>0,又函数f(x)在[1,2]内单调递增,所以函数f(x)在区间[1,2]内有唯一零点,不妨设为x0,则x0∈[1,2].下面用二分法求解:因为|1.187 5-1.25|=0.062 5<0.1,所以函数f(x)=2x+3x-6的精确到0.1的近似零点可取为1.2.
(a,b) f(a) f(b) f()
(1,2) 1.5 f(1)<0 f(2)>0 f(1.5)>0
(1,1.5) 1.25 f(1)<0 f(1.5)>0 f(1.25)>0
(1,1.25) 1.125 f(1)<0 f(1.25)>0 f(1.125)<0
(1.125,1.25) 1.1875 f(1.125)<0 f(1.25)>0 f(1.1875)<0
思路点拨 本题是二分法的实际应用. (1) 灵活运用二分法的思想,认清二分法的特点. (2) 要使得精确度为50~100 m,只需要最后求出的区间长度满足50~100 m的要求即可.
（备选例题）某段电话线路发生了故障,已知该电话线路长10 km,如何迅速查出故障所在 (每查一个点需要很长时间)
(1) 维修线路的工人师傅应怎样工作,才能每查一次就把待查的线路长度缩减一半
(2) 要把故障可能发生的范围缩小到50~100 m,最少要查多少次
【解】
(1) 如图,设AB为待查电话线路,首先到中点C查,向A端测试时,假设发现AC段正常,断定故障在BC段,再到BC段中点D查,这次若发现BD段正常,可见故障在CD段,再到CD段中点E来查……依次类推.
备选例题答图
(2) 每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,由10 000×（)x≤100,且x∈N*,解得n≥7,因此最少要查7次.
【方法规律】
(1) 二分法每经过一次运算可将原区间长度缩短为原来的一半;
(2) 随着运算次数的增多,二分法能够逐步逼近零点,直到满足精确度的要求.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了什么？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
D
1. 下列关于二分法的说法中正确的是 ( )
A. 用二分法求方程的近似解,一定可以得到y=f(x)在[a,b]内的所有零点
B. 用二分法求方程的近似解,有可能得不到y=f(x)在[a,b]内的零点
C. 二分法无规律可循,无法在计算机上完成
D. 用二分法求方程的近似解,可能得到f(x)=0在[a,b]内的精确解
A
ABC
2. [2021·黑龙江省哈尔滨市高一期末改编题]已知函数f(x)是R上的单调函数,且f(x)的零点同时在区间(0,4),(0,2),(1,2),(1,)内,则与f(0)符号相同的是 ( )
A. f(1) B. f(2) C. f() D. f(4)
3. (多选)[2021·广东省广州市高一月考改编题]下列函数图象中,能用二分法求函数零点的有 ( )
.
A. B. C. D
1.5，1.75，1.875，1.812 5
(1，2)
4. [2021·河北省沧州市高一期末改编题]用二分法求方程2x+3x-7=0在区间[1,3]内的根,取区间的中点x0=2,那么下一个有根的区间是 .
5. 某同学在借助计算器求“方程lgx=2-x的近似解(精确度为0.1)”时,设f(x)=lgx+x-2,算得f(1)<0,f(2)>0.在后面的过程中,他又用“二分法”取了4个x的值,计算了其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是 .
同学们再见！
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4.5 函数的应用（二）
课时12 函数的零点与方程的解
教学目标
1. 借助二次函数图象,由特殊到一般,了解方程的实数解、函数的零点、图象与x轴公共点的横坐标之间的关系,了解函数零点的定义.
2. 理解和掌握函数零点存在定理,学会用数形结合思想研究某区间上图象连续的函数存在零点和零点个数的判定方法.
3. 在函数与方程的联系中,体会转化与化归、函数与方程、数形结合等思想,训练理性思维,提高分析问题、解决问题的能力.
学习目标
课程目标 学科核心素养
了解函数零点的定义 体会方程的实数解、函数的零点、图象与x轴公共点的横坐标之间的联系，发展数学抽象、数学运算素养
理解和掌握函数零点存在定理 能从“数”和“形”两方面判断函数零点的个数及其所在区间,培养逻辑推理、直观想象素养
能运用函数零点存在定理解决相关问题 能根据函数零点的情况求参数的取值范围，发展数学运算、直观想象素养
情境导学
我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解问题．如约公元1世纪年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程根的具体方法，这比西方要早300多年. 11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法.13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法．你能求出x3＋x2＋5x－6＝0的根吗？
【活动1】探究方程的实数解、函数图象与x轴公共点横坐标的关系
【问题1】求下列一元二次方程的实数解，写出相应的二次函数，并画出二次函数简图．
(1) x2－2x－3＝0；(2)x2－2x＋1＝0；(3)x2－2x＋3＝0.
思考这些方程的实数解与相应二次函数的图象有什么关系．
初探新知
【问题2】一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数解与二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的图象有什么关系？
【问题3】一般地，对于方程f(x)＝0与函数y＝f(x)是否也有类似的结论呢？
【问题4】对于一般函数y＝f（x），我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，那么方程的实数解、函数的零点、图象与x轴的公共点的横坐标之间有什么关系？
【活动2】引入函数零点的概念
【问题5】在这个概念中，零点是点吗？
【活动3】探索函数零点的存在性
【问题6】用连续不断的曲线连接图中的A，B两点，那么所画曲线与直线l一定相交吗？如果相交，交点在哪里？
【问题8】你能根据函数零点的意义,结合函数图象,归纳得出函数零点存在的条件,并总结概括形成结论吗？
【问题9】若某函数不满足函数零点存在定理的条件，那么该函数y＝f(x)在区间(a,b)内一定不存在零点吗？
【活动4】深化理解函数零点存在定理
【问题10】函数零点存在定理能判定零点的存在性，能判定零点有多少个吗？
典例精析
思路点拨：判断零点个数，方法很灵活，解题时可以从代数、图象(数形结合)等角度去思考，也可以考虑利用函数零点存在定理．
【例1】(1) [2021·江苏省南通市高考四模改编题]函数f(x)=的零点个数为 ( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
(2) [教材改编题]函数f(x)=lnx+x2-3的零点的个数是 .
【解】 (1) 当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0得x1＝－3，x2＝1(舍去)；当x＞0时，由f(x)＝－2＋lnx＝0得x＝e2.所以函数的零点个数为2.故选B. (2) 方法1：函数对应的方程为lnx＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2的图象公共点的个数．在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图象(如图).
由图象知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有1个公共点．从而ln x＋x2－3＝0有1个实数解，即函数f(x)＝lnx＋x2－3有1个零点．方法2：因为f(1)＝－2，f(2)＝ln2＋1＞0，所以f(1)f(2)＜0，又f(x)＝lnx＋x2－3的图象在(1，2)上是不间断的，所以f(x)在(1，2)上必有零点．又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以零点只有1个．
【方法规律】
判断零点个数的三个方法：
(1) 解方程法：直接求方程f(x)＝0的实数解．
(2) 函数零点存在定理法：利用函数零点存在定理找到零点区间，再结合函数单调性判断零点个数．
(3) 数形结合法：转化为两个函数图象的交点，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．
【变式训练1】已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )
A.{1，3} B.{－3，－1，1，3}
C.{2－，1，3} D.{－2－，1，3}
D
解:方法1：令x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x2＋3x.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以当x＜0时，f(x)＝－x2－3x.当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3，令g(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.当x＜0时，g(x)＝－x2－4x＋3，令g(x)＝0，即x2＋4x－3＝0，解得x＝－2＋＞0(舍去)或x＝－2－ .所以函数g(x)有3个零点，其集合为{－2－ ，1，3}．
方法2：令g(x)＝0，即f(x)－x＋3＝0，所以f(x)＝x－3，作y＝f(x)与y＝x－3的图象，有3个交点．y轴右侧有2个交点，其零点为1或3；y轴左侧零点x＜－3.故D项符合题意.故选D.
【例2】 [2022·四川省资阳市高一期末改编题]设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )
A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (3，4)
(2) 根据表格中的数据,可以判定方程ex-2x-5=0的一个根所在的区间是 ( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
思路点拨：判断函数的零点所在的大致区间，方法有很多，主要考虑解方程法、函数零点存在定理法、数形结合法．
x 0 1 2 3 4
ex 1 2.72 7.39 20.09 54.60
2x+5 5 7 9 11 13
【解】
(1)方法1：因为f(1)＝ln1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln2＞0，所以f(1)·f(2)＜0.因为函数f(x)＝lnx＋x－2的图象在[1，2]上是连续的，且为增函数，所以f(x)的零点所在的区间是(1，2).故选B.
方法2：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝lnx与h(x)＝－x＋2的图象公共点的横坐标所在的区间，作图如下：
可知f(x)的零点所在的区间为(1，2).故选B.
(2)设f(x)=ex-2x-5,此函数的图象是连续不断的,由表可知f(0)=1-5=-4<0,f(1)=2.72-7=-4.28<0,f(2)=7.39-9=-1.61<0,f(3)=20.09-11=9.09>0,f(4)=54.60-13=41.60>0,所以f(2)·f(3)<0,所以函数f(x)的一个零点(即方程ex-2x-5=0的一个根)所在的区间为(2,3).故选C.
【方法规律】
判断函数零点所在大致区间的方法：
1. 解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后看求得的根是否落在给定区间上．
2. 函数零点存在定理法：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
3. 数形结合法：把方程转化为两个函数，看它们公共点的横坐标所在区间.
【变式训练2】[2021·四川省攀枝花市高一期末改编题]已知函数f(x)＝lgx＋x－10的零点在区间(k，k＋1)上，k∈Z，则k＝________.
9
【解】函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，且f(9)＝lg9＋9－10＝lg 9－1<0，f(10)＝lg10＋10－10＝1>0，即f(9)·f(10)<0，所以函数f(x)在(9，10)内存在唯一的零点．又函数f(x)＝lgx＋x－10的零点在区间(k，k＋1)上，k∈Z，所以k＝9.
思路点拨： 可直接利用函数零点存在定理解题．
【例3】(1)[2021·海南省海口市第一中学高一期中改编题] 函数 f(x)=2x- -a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A.(1，3) B.(1，2) C.(0，3) D.(0，2)
(2) 若函数f(x)＝ax＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是( )
A.a>1 B.a<1 C.a<－1或a>1 D.－1【解】
【方法规律】
根据函数的零点情况求参数的取值范围的方法：
1. 直接法：直接根据题设条件构建含有参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围．
2. 分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域的问题加以解决．
3. 数形结合法：转化成两函数的公共点，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
【变式训练3】已知a是实数，函数f(x)＝2|x－1|＋x－a.若函数y＝f(x)有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是________.
(1，＋∞)
【解】函数f(x)=2|x-1|+x-a有且仅有两个零点,即函数y=2|x-1|+x与y=a有且仅有两个公共点.分别作出函数y=2|x-1|+x与y=a的图象,如图.
由图易知,当a>1时,两函数的图象有两个不同的交点,故实数a的取值范围是(1,+∞).
思路点拨 利用函数零点存在定理结合函数的基本性质解题.
（备选例题）已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-4)=f(x),且在区间[0,2]上f(x)=x,若关于x的方程f(x)=logax有三个不同的实根,则a的取值范围为
【解】
由f(x-4)=f(x)知,函数的周期为4,又函数为偶函数,所以f(x-4)=f(x)=f(4-x),所以函数图象关于x=2对称,且f(2)=f(6)=f(10)=2,要使方程f(x)=logax有三个不同的根,则满足,如图,解得【方法规律】
根据函数的零点情况求参数的取值范围,还会涉及和函数基本性质有关的问题,要能够充分运用函数图象辅助解决.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了什么？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
D
B
1. 已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为 ( )
A. ,0 B. -2,0 C. D. 0
ACD
(3，5)
4. [教材改编题]已知函数y=f(x)的定义域为R,图象连续不断,若计算得f(1)<0,f(3)<0,f(5)>0,则可以确定零点所在的区间为 .
5. 若函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,则实数a的取值范围是 .
［-,2］
同学们再见！
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4.5 函数的应用（二）
课时14 函数模型的应用
教学目标
1. 认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,感悟函数模型的应用价值.
2. 通过具体实例经历建立函数模型的过程,掌握建立函数模型的基本方法及其步骤.
3. 能恰当地选择几种常见函数的模型解决实际问题,学会几种常见函数模型的应用.
学习目标
课程目标 学科核心素养
感悟函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,体会函数模型的应用价值 通过回顾常见的函数模型,体会函数模型的应用价值,培养数学抽象素养
经历建立函数模型的过程,掌握建立函数模型的方法和步骤 通过具体实例建立函数的模型,培养阅读理解和语言转化能力,培养数学建模素养
能恰当地选择常见函数的模型解决实际问题 能建立恰当的函数模型解决实际问题,培养数学运算、数学建模等素养
情境导学
某品牌桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为1000元，每桶水的进价是13元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：
销售单价/元 14 15 16 17 18 19 20
日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
请根据以上数据分析，怎样定价才能获得最大利润？
【活动1】常见的函数模型总结
【问题1】我们学过的函数模型有哪些？
初探新知
【问题2】这些函数模型对应的函数解析式及限制条件分别是什么？
【问题3】你知道求解函数应用题的步骤吗？
【活动2】掌握求解函数应用题的步骤(四步八字)
典例精析
【例1】 （1） [教材改编题]汽车的燃油效率是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程数，图①描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )
A. 消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 km
B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C. 甲车以80 km/h的速度行驶1 h，消耗10 L汽油
D. 某城市机动车最高限速80 km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
典例精析
【例1】 (2) [2022·山东省滨州市十二校联考高二期中改编题]某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)的影响.根据近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)的数据得到如图②的散点图.则最适合作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型是 ( )
A. y=ax+b B. y=a+b
C. y=a·bx D. y=ax2+bx+c
思路点拨：(1) 根据题中所给的汽车“燃油效率”随着速度的变化图提取信息,准确理解题意,读懂图象的变化趋势. (2) 根据散点图,对照选项中给出的函数模型,分析其图象的变化规律,可排除ACD,得出正确答案B.
【解】(1) 对于选项A,由题图①可知,当乙车速度大于40 km/h时,乙车每消耗1 L汽油,行驶里程都超过5 km,则A错;对于选项B,由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则B错;对于选项C,甲车以80 km/h的速度行驶时,燃油效率为10 km/L,则甲行驶 1 h,消耗汽油80×1÷10=8(L),则C错;对于选项D,速度在80 km/h以下时,丙车比乙车燃油效率更高,所以更省油,故D对.故选D. (2) 根据散点图可知,A中的函数模型是一次函数,其图象是一条直线,显然不满足;C中的函数模型是指数型,其图象也与散点图不符;D中的函数模型是二次函数,其图象与散点图也不合;选择y=a+b最适合.故选B.
【方法规律】判断函数图象与实际问题中变量变化过程相吻合的两种方法:
(1) 构建函数模型法:当易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.
(2) 验证法:当不易建立函数模型时,则根据实际问题中变量的变化特点,结合图象的变化趋势,验证图象是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.
【变式训练1】高为H、满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示，若鱼缸水深为h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的大致图象是( )
B
解：由题意知，水深h越大，水的体积V就越大，故函数V＝f(h)是个增函数．当h∈[0，H]时，每当h增加一个单位增量Δh时，我们可根据鱼缸形状判断函数V的变化：开始其增量越来越大，但经过H处后增量越来越小，故V随h的变化是先快后慢，故选B.
【例2】某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)之间的函数关系为P＝P0·e－kt(k为常数，P0为原污染物总量).若前4 h，废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要使废气能够按规定排放，还需要过滤n h，则正整数n的最小值为(参考数据：log52≈0.43)( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 14
思路点拨：本题已经给出了函数模型，解题时可先利用函数解析式，结合前4 h消除了80%的污染物，求出常数k的值，然后利用对数的运算，求出结论．
【方法规律】
已知函数模型，求解实际问题的一般步骤：
(1) 认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；
(2) 根据已知条件利用待定系数法，确定模型中的待定系数；
(3) 利用该模型求解实际问题.
【变式训练2】 [2022·山东省临沂市高一期末]据统计,第y年到滨河湿地公园越冬的白鹤数量x(单位:只)近似满足y=3ax-2.观测发现第1年有越冬白鹤300只,估计第7年有越冬白鹤 ( )
A. 700只 B. 600只
C. 500只 D. 400只
解：由题意知,当y=1时,x=300,即1=3300a-2,即a=,则y=3x-2.当y=7时,7=3x-2,解得x=600.故选B.
B
思路点拨：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据数值回答其实际意义. (1) 根据对数函数定义来建立方程. (2) 利用对数函数的性质求解.
【例3】[2021·江苏省无锡市高一期末]大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=log3(单位:m/s),其中θ表示鲑鱼的耗氧量的单位数.
(1) 当一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时,它的游速是多少
(2) 计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数.
【解】(1) 将θ=8 100代入函数解析式,得v=log381=×4=2(m/s),所以当一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时,它的游速是2 m/s. (2) 令v=0,得log3=0,即=1,则θ=100,所以一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位.
【方法规律】
建立数学模型解决实际应用问题,除去常见的一次函数、二次函数,指数函数和对数函数也是非常常见的模型.有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式,然后根据实际问题求解,解题过程中注意合理地使用对数式的运算性质进行运算.
【变式训练3】在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(单位:m/s)、燃料的质量M(单位:kg)和火箭(除燃料外)的质量m(单位:kg)满足关系式:v=2 000·ln（1+） .当燃料质量是火箭质量的 倍时,火箭的最大速度可达12 km/s.
解:当v=12 000 m/s时,2 000·ln（1+）=12 000,所以ln（1+）=6,所以=e6-1.
e6-1
思路点拨 (1) 根据题意对x分类讨论,可得分段函数解析式. (2) 利用二次函数的性质和基本不等式求出各区间上函数的最值,然后比较,即可得最大利润.
（备选例题）小王同学大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元,每生产x万件,需另投入流动成本为C(x)万元.在年产量不足8万件时,C(x)=x2+2x(万元);在年产量不小于8万件时,C(x)=7x+-37(万元).已知每件产品售价为6元.假设小王生产的商品当年全部售完.
(1) 写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
(2) 年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大 最大利润是多少
【解】
(1) 因为每件产品的售价为6元,则x万件产品的销售收入为6x万元.依题意,当0【方法规律】
建立数学模型解决实际应用问题,要根据题目具体要求进行抽象和概括,灵活地选取和建立数学模型.一般来说:如果实际问题的增长特点为直线上升,则选择一次函数模型;若增长的特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(指数爆炸),则选择指数型函数模型;若增长的特点是随着自变量的增大,函数值的增大速度越来越慢,则选择对数型函数模型;如果实际问题中变量间的关系,不能用同一个关系式表示,则选择分段函数模型等.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了什么？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
B
C
1. 某车间分批生产某种产品,每批产品的生产准备费用为800元,若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品 ( )
A. 60件 B. 80件 C. 100件 D. 120件
2. [2020·江苏省苏州市陆慕高级中学高三期末]衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小,刚放进的新樟脑丸的体积为a,经过t天后樟脑丸体积V与天数t的关系式为V=a·e-kt.已知新樟脑丸经过50天后,体积变为a.若使一个新樟脑丸体积变为a,则需经过的天数为 ( )
A. 125 B. 100 C. 75 D. 50
AC
4.24
3. (多选)[2022·云南省曲靖市第二中学高考一模改编题]已知某食品的保鲜时间y(单位:h)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是120 h,在20 ℃的保鲜时间是30 h,则关于该食品保鲜的描述中正确的结论是 ( )
A. k<0
B. 储存温度越高,保鲜时间越长
C. 在10 ℃的保鲜时间是60 h
D. 在30 ℃的保鲜时间是20 h
4. 拟定甲、乙两地通话m min的电话费(单位:元)由f(m)=1.06(0.5[m]+1)给出,其中m>0,[m]是不超过m的最大整数(如[3]=3,[3.7]=3,[3.1]=3),则甲、乙两地通话6.5 min的电话费为 元.
1 024
5. [2020·福建省莆田市第一中学高一期末]某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励1万元;销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alog4x+b,某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为 万元.
同学们再见！
Goodbye Students！