2.4解直角三角形　解答题专题提升训练　　2023-2024学年鲁教版（五四制）九年级数学上册（含答案）

2023-2024学年鲁教版九年级数学上册《2.4解直角三角形》解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，点P是∠α的边OA上的一点，已知点P的横坐标为6，若tanα＝
（1）求点P的纵坐标；
（2）求∠α其它的三角函数值．
2．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且sinα＝，AB＝4，求AD的长．
3．如图，在△ABC中，∠A＝105°，∠C＝30°，AB＝4，求BC的长．
4．已知．在△ABC中，BC＝AC，∠BCA＝135°，求tanA的值．
5．如图，在平面直角坐标系内，点O为原点，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且AO＝BO＝10，tan∠BOA＝．
（1）求点B坐标；
（2）求cos∠BAO的值．
6．如图，在△ABC中，∠B＝30°，tanC＝，AD⊥BC于点D．若AB＝8，求BC的长．
7．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝3，AC＝5，求边BC的长．
8．如图，在△ABC中，∠A＝135°，AB＝20，AC＝30，求△ABC的面积．
9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝，AD＝4．
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
10．如图，在四边形ABCD中，∠C＝60°，∠B＝∠D＝90°，AD＝2AB，CD＝3，求BC的长．
11．已知：如图，△ABC中，∠B＝90°，，BD＝，∠BDC＝45°，求AC．
12．如图，AD是△ABC中BC边上的高，且∠B＝30°，∠C＝45°，CD＝2．求BC的长．
13．在△ABC中，已知AB＝1，AC＝，∠BAC＝45°，求△ACB的面积．
14．如图，AD是△ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝．求：
（1）BC的长；
（2）∠ADC的正弦值．
15．如图，在△ABC中，sinB＝，cosC＝，AB＝5，求△ABC的面积．
16．如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB＝3，AC＝5，sinC＝，求BC的长．
17．如图，在△ABC中，∠A＝30°，cosB＝，AC＝6．求AB的长．
18．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，sinB＝，延长边BA至点D，使AD＝AC，联结CD．
（1）求∠D的正切值；
（2）取边AC的中点E，联结BE并延长交边CD于点F，求的值．
19．如图，在△ABC中，已知：∠A＝30°，∠C＝105°，AC＝4，求AB和BC的长．
20．如图，在△ABC中，sinB＝，点F在BC上，AB＝AF＝5，过点F作EF⊥CB交AC于点E，且AE：EC＝3：5，求BF的长与sinC的值．
21．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝，cot∠ABC＝，点D是AC的中点．
（1）求线段BD的长；
（2）点E在边AB上，且CE＝CB，求△ACE的面积．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，AE⊥BC，垂足为点E，交BD于F，cos∠ABC＝，AB＝13．
（1）求AE的长；
（2）求tan∠DBC的值．
23．如图，已知在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，AB于点E，若BC＝8，△BCE的周长为21，cos∠B＝．
求：（1）AB的长；
（2）AC的长．
参考答案
1．解：（1）如图，过P作PM⊥x轴于M，则∠PMO＝90°，
∵点P的横坐标为6，
∴OM＝6，
∵tanα＝＝＝，
∴PM＝8，
∴点P的纵坐标是8；
（2）∵在Rt△OMP中，∠PMO＝90°，PM＝8，OM＝6，
∴OP＝＝＝10，
∴sinα＝＝＝，
cosα＝＝＝．
2．解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，∠BAD＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠DAE＝90°，
而∠BAC+∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠ADE＝α，
在Rt△ABC中，∵sin∠BAC＝，
∴＝，
设BC＝4x，则AC＝5x，
∴AB＝3x，
∴3x＝4，解得x＝，
∴BC＝
∴AD＝．
3．解：过A作AD⊥BC于D．
在Rt△ACD中，∠C＝30°，
所以∠DAC＝60°，CD＝AD，
所以∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝45°，
即△ABD是等腰直角三角形，BD＝AD＝AB＝
所以CD＝
所以BC＝BD+DC＝+
4．解：过B点作BD⊥AC交AC的延长线于D点，
则∠BCD＝45，
∴BD＝CD＝BC，
设AC＝k，则BD＝CD＝k，AD＝2k，
tanA＝＝．
5．解：（1）作BC⊥OA于C，如图，
在Rt△BOC中，tan∠BOC＝＝，
设BC＝3t，OC＝4t，
∴OB＝＝5t，
∴5t＝10，解得t＝2，
∴BC＝6，OC＝8，
∴B点坐标为（8，6）；
（2）∵OA＝10，OC＝8，
∴AC＝2，
在Rt△ACB中，∵BC＝6，AC＝2，
∴AB＝＝2，
∴cos∠BAC＝＝＝，
即cos∠BAO＝．
6．解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵在Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝8，
∴AD＝4，BD＝，
∵在Rt△ADC中，tanC＝，AD＝4，
∴，
∴CD＝3．
∴BC＝BD+CD＝．
7．解：过点A作AH⊥BC，垂足为H．
在Rt△ABH中，∠B＝45°，AB＝，
∴AH＝AB×sinB
＝．
∴BH＝AH＝3．
∵AC＝5，
∴在Rt△ACH中，
CH＝．
∴BC＝BH+AH
＝3+4
＝7．
8．解：过点B作BE⊥AC，
∵∠A＝135°，
∴∠BAE＝180°﹣∠A＝180°﹣135°＝45°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣45°＝45°，
在Rt△BAE中，BE2+AE2＝AB2，
∵AB＝20，
∴BE＝＝10，
∵AC＝30，
∴S△ABC＝AC BE＝×30×10＝150．
9．解：（1）∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，sinB＝＝，
而AD＝4，
∴AB＝6，
∴BD＝＝2，
在Rt△ADC中，∠C＝45°，
∴CD＝AD＝4，
∴BC＝BD+CD＝2+4；
（2）∵AE是BC边上的中线，
∴CE＝BC＝+2，
∴ED＝CE﹣CD＝﹣2，
在Rt△AED中，tan∠DAE＝＝．
解：延长DA、CB交于点E，
∵在Rt△CDE中，tanC＝＝，
cosC＝＝，
∴DE＝3，EC＝6，
∵AD＝2AB
设AB＝k，则AD＝2k，
∵∠C＝60°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠E＝30°，
∵在Rt△ABE中，sinE＝＝tanE＝＝，
∴AE＝2AB＝2k，EB＝AB＝k，
∴DE＝4k＝3，
解得：k＝，
∴EB＝，
∴BC＝6﹣＝．
11．解：在△ABC中，∠B＝90°，cosA＝，AB＝5x，AC＝7x
由勾股定理得：
∵∠BDC＝45°
∴BC＝BD tan45°＝BD
∵
∴
∴AC＝7x＝14．
12．解：∵AD是△ABC中BC边上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90．
在Rt△ACD中，
∵tanC＝＝＝tan45°＝1，
∴AD＝2．
在Rt△ABD中，
∵tanB＝＝＝tan30°＝，
∴BD＝．
∴BC＝BD+CD＝+2，
即BC的长为+2．
13．解：作CD⊥AB于点D．
在直角△ACD中，∠BAC＝45°，AC＝．
∴CD＝AC sin∠BAC＝×＝．
∴△ACB的面积＝AB CD＝××1＝．
14．解：（1）如图，作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵cosC＝＝，AC＝，
∴CH＝1，AH＝＝1，
在Rt△ABH中，∵tanB＝＝，
∴BH＝5，
∴BC＝BH+CH＝6．
（2）∵BD＝CD，
∴CD＝3，DH＝2，AD＝＝
在Rt△ADH中，sin∠ADH＝＝．
∴∠ADC的正弦值为．
解：过A作AD⊥BC，
∵在△ABC中，sinB＝，cosC＝，AB＝5，
∴AD＝3，BD＝4，CD＝3，
∴△ABC的面积＝．
16．解：作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵AC＝5，，
∴AD＝AC sinC＝3．
∴在Rt△ACD中，．
∵AB＝，
∴在Rt△ABD中，．
∴BC＝BD+CD＝7．
17．解：过点C作CD⊥AB于点D．
∵∠A＝30°，
∴CD＝AC＝3，AD＝AC cosA＝9，
∵cosB＝，
∴设BD＝4x，则BC＝5x，
由勾股定理得，CD＝3x，
由题意的，3x＝3，
解得，x＝，
∴BD＝4，
∴AB＝AD+BD＝9+4．
18．解：（1）过点C作CG⊥AB，垂足为G，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACG＝∠B，
在△ABC中，sinB＝，设AC＝3x，则AB＝5x，BC＝4x，
∴sin∠ACG＝＝＝sinB，
∴AG＝x，CG＝x，
∴DG＝DA+AG＝3x+x＝x，
在Rt△DCG中，tan∠D＝＝；
（2）过点C作CH∥DB，交BF的延长线于点H，则有△CHF∽△DBF，
又有E是AC的中点，可证△CHE≌△ABE，
∴HC＝AB＝5x，
由△CHF∽△DBF得：＝＝＝．
19．解：过C作CD⊥AB于D，则∠CDA＝∠CDB＝90°，
在Rt△ACD中，
∵∠A＝30°，AC＝4，
∴CD＝AC sinA＝2，AD＝AC cosA＝2，
∵∠A＝30°，∠ACB＝105°，
∴∠B＝45°，
在Rt△BCD中，BD＝CD＝2，BC＝2，
∴AB＝2+2．
解：过点A作AD⊥CB，垂足为点D，
∵，
∴，
在Rt△ABD中，，
∵AB＝AF AD⊥CB，
∴BF＝2BD＝6，
∵EF⊥CB AD⊥CB，
∴EF∥AD，
∴，
∵AE：EC＝3：5，DF＝BD＝3，
∴CF＝5，
∴CD＝8，
在Rt△ABD中，，
在Rt△ACD中，，
∴．
21．解：（1）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝，cot∠ABC＝，
∴AC＝，
∵点D是AC的中点，
∴CD＝AC＝，
∴Rt△BCD中，BD＝＝；
（2）如图，过C作CH⊥AB于H，
∵BC＝，cot∠ABC＝，
∴CH＝，BH＝1，
∵CE＝CB，
∴EH＝BH＝1，
∵∠ACB＝90°，BC＝，AC＝，
∴AB＝3，
∴AE＝3﹣2＝1，
∴△ACE的面积＝×AE×CH＝×1×＝．
22．解：（1）∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°．
∵，AB＝13，
∴BE＝5．
∵在Rt△BEA中，BE2+AE2＝AB2，
∴．
（2）∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴AE是BC边上的中线．
又∵BD是AC边上的中线，
∴F是△ABC的重心．
∵AE＝12，
∴．
∵Rt△BEF中，BE＝5，EF＝4，
∴tan∠DBC＝．
23．解：（1）∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∵△BEC周长为BE+BC+EC＝BE+AE+BC＝AB+BC＝21，BC＝8，
∴AB＝21﹣8＝13；
（2）过A作AF⊥BC，
在Rt△ABF中，AB＝13，cosB＝，
∴BF＝ABcosB＝5，FC＝BC﹣BF＝8﹣5＝3，
∴根据勾股定理得：AF＝＝12，
在Rt△AFC中，AF＝12，FC＝3，
根据勾股定理得：AC＝＝＝3．