(共28张PPT)
5.1 任意角和弧度制
课时2 弧度制
教学目标
1. 感悟引入弧度制的意义,理解弧度制的有关概念,会用弧度制表示任意角.
2. 了解弧度制与角度制之间的联系与区别,掌握弧度制与角度制互化的方法.
3. 掌握弧度制下弧长公式和扇形面积计算公式,学会计算弧长与扇形的面积.
学习目标
课程目标 学科核心素养
理解弧度制的有关概念及意义,会用弧度制表示任意角 借助圆心角与对应弧长的关系,理解弧度制的本质,培养数学抽象、直观想象等素养
了解弧度制与角度制之间的联系,掌握弧度制与角度制互化的方法 在理解和运用弧度制与角度制的换算公式的过程中,培养数学抽象、数学运算等素养
掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式,学会其应用 在弧长公式和扇形面积公式的应用过程中,培养直观想象、数学运算等素养
情境导学
如图,在美丽的蠡湖边上,竖立着一座雄伟的摩天轮.当摩天轮不断地旋转时,摩天轮上点P会周而复始运动,点P的位置与摩天轮的半径以及转过的角度有关.我们知道的角度的度量单位是什么,是多少进制的,表示长度的实数是多少进制的.角度与弧长都可以描述点P的位置,但他们的进制不一致,会造成研究的困难,你觉得可以怎样解决
初探新知
【问题1】角度制可以度量角，比如图1中角B，角B1，角B2都是45°，45°的角与所在三角形的大小无关，只与角的大小有关，所以角度制可以度量角．类似地，我们能在扇形中找出这样实数，只与角的大小有关，而与扇形的大小(指半径大小)无关吗？
【活动1】探究圆心角、所对弧长与半径之间的关系
【问题2】仿照相似三角形对应边成比例，我们看相似的扇形中类似的比值是否存在？你能由此得出一种度量角的大小的方法吗？
【问题3】一般地，用 来度量角α是否合理？
【问题4】1弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？除了角度制，数学上还常用弧度制表示角，请叙述一下弧度制的内容．
【活动2】通过比较数学运算结果、几何直观观察，理解
弧度制的定义
【问题5】由单位圆中任意角的正角、负角、零角，它们的弧度数会有怎样的划分？
【问题6】现在，度量角有两种单位制，你能说一说弧度制与角度制这两种单位制的联系与区别吗？
【活动3】从角度制与弧度制的定义探究二者之间的关系
【问题7】你能从圆周、半圆周的圆心角弧度制换算中归纳出任意角的弧度制换算吗？
【问题8】如何利用弧度制表示终边相同的角、终边落在坐标轴上的角的集合和终边落在各个象限的角的集合？
【问题9】我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，你能用弧度制来表示计算弧长和面积的公式吗？
典例精析
【例1】按照下列要求，把22°30′化成弧度：
(1) 精确值；
(2) 精确到0.001的近似值．
思路点拨：(1) 将角度制中的度、分、秒换算到度→将角度换算成弧度(含π).
(2) 在计算器中输入相应数据→得出近似的弧度值．
【解】 (1) 因为22°30′＝( °，所以22°30′＝× rad＝rad.
(2) 利用计算器有
因此，22°30′≈0.393 rad.
【方法规律】
角度制换算成弧度制的一般步骤：
① 弧度制中的单位统一到“度”，并用分数形式表示；
② 由等量关系1°＝rad，将分数形式的“度”转换到“rad”，完成“六十进制到十进制”的转换，所得结果是以π为主体的无理数．
也可以利用计算器进行角度制到弧度制的近似值换算．
【变式训练1】将下列角度化成弧度：
(1) －210°；(2) 1500°.
【解】
【例2】（教材改编题）
(1) 将6.28 rad换算成角度(用度数表示，精确到1)；
(2) 将下列弧度化为角度：
① ；② ；③ －；④ －.
思路点拨：(1) 利用计算器计算即可．(2) 利用互化公式将弧度数与角度数互化．
【解】 (1) 利用计算器有
359．817 495 3.
因此，6.28 rad≈360°.
(2) ① ＝×180°＝144°. ② ＝ ×180°＝330°.
③ －＝－×180°＝－315°. ④ －＝－×180°＝－50°.
【方法规律】
将弧度制表示的角转化为角度制时,一种方法抓住互化公式:1°=rad,1 rad=()°进行,另一种方法就是借助计算器进行互化．
【变式训练2】将下列弧度化为角度，角度化为弧度：
(1) ＝______ ；(2) ＝______；
(3) －＝______；(4) 36°＝______；
(5) －105°＝______．
15°
390°
－75°
【解】
因为π＝180°
（1）所以=
【例3】 [2022·江西省赣州市赣县第三中学高一月考]已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l.
(1) 若α=30°,R=10 cm,求扇形的弧长l;
(2) 若扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大
思路点拨 (1) 利用弧长公式和面积公式计算即可.
(2) 根据扇形的面积公式,结合一元二次函数的性质即可得到结论.
【解】(1) 由公式|α|＝，且α＝30°＝，则l＝10×＝ (cm).
(2)由已知得l＋2R＝20，则l＝20－2R，所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10cm，α＝2rad.
【变式训练3】[2021·华中师范大学第一附属中学高一期末改编题]《九章算术》是我国古代的一部数学名著,其中有这样一个问题:今有宛田,下周三十步,径十六步,问为田几何 意思是说:现有扇形田,弧长三十步,直径十六步,问面积多少 书中给出计算方法:以径乘周,四而一,即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4.在此问题中,扇形的圆心角的弧度数是多少
【解】
思路点拨 先根据题设条件求出圆弧所对圆心角的大小,再由弧长公式求得结果.
（备选例题）[2021·江苏省南通市高三模拟]如图,《掷铁饼者》取材于古希腊的体育竞技活动,刻画的是一名强健的男子在掷铁饼的过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”,掷铁饼者的手臂长约为 m,掷铁饼者双手之间的距离约为 m,“弓”所在圆的半径约为1.25 m,则掷铁饼者的肩宽约为 m.(精确到0.01 m)
【解】
如图,AB=,OA=OB=1.25,△AOB中,过O作OM⊥AB于M,则M是弦AB中点,AM=,sin∠AOM===∠AOM=,则∠AOB=2∠AOM=,“弓”所在的弧长l=·=,所以其肩宽为-×2=≈0.39.故填0.39.
【方法规律】
本题是一道以几何图形为背景的综合性问题,主要涉及角度与弧长的计算,通过阅读理解弄清题意,借助圆周上运动的点的变化特点构造几何图形,结合弧度制下,圆心角、弧长、面积的相关公式进行计算,使问题获得解决.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1. 在半径不相等的圆中，1 rad的圆心角所对的( )
A. 弦长相等 B. 弦长都等于所在圆的半径
C. 弧长相等 D. 弧长都等于所在圆的半径
2. 下列各角中，是第二象限角的为( )
A. － B. － C. D.
3. (多选)下列转化结果中正确的是( )
A. 67°30′化成弧度是 B. －化成角度是－600°
C. －150°化成弧度是－ D. 化成角度是15°
D
B
ABD
4. 终边在直线y=x上,且在[-2π,2π)内的角α的集合为
5. [2021·天津市河东区高一期末改编题]已知圆上一段弧的弧长等于该圆内接正三角形的边长,则这段弧所对圆周角的弧度数为 .
同学们再见！
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第五章
三角函数
知识要点及教学要求
1. 帮助学生了解任意角的概念和弧度制,使其能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性.
2. 借助单位圆帮助学生理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,掌握三角函数在各个象限内的符号规律.
3. 借助单位圆的对称性,引导学生利用定义推导出诱导公式,会应用诱导公式解决相关问题.
4. 利用任意角的三角函数定义推导出同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tanx.掌握其应用.
5. 能画出正弦函数、余弦函数、正切函数的图象,借助正弦函数、余弦函数、正切函数的图象,理解周期函数、函数的周期以及最小正周期的概念.
6. 结合正弦函数、余弦函数、正切函数的图象理解的正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值等性质,学会其应用.
7. 让学生经历推导两角差的余弦公式的过程,理解两角差的余弦公式的意义,并能运用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系.
8. 使学生能运用两角和与差的三角函数公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆),解决三角函数式的化简、求值和证明等问题.
9. 结合具体实例,引导学生了解函数y=Asin(ωx+φ)的实际意义,并能借助其图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响,掌握其周期性、奇偶性、单调性、对称性和最大(小)值的研究方法.
10. 让学生体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型,并学会运用和构建三角函数模型解决简单的实际问题.
高考导向
高考对本单元的考查一般有两个方向:一是考查学生对三角函数的定义、图象、性质以及三角恒等变形等基础知识和基本方法的掌握情况;二是在三角函数、平面向量、解三角形以及实际应用的交汇处命题,考查学生综合运用三角函数的有关知识分析问题和解决问题的能力.其中,三角函数的图象和性质的研究、函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)模型的应用和三角函数式的恒等变形是考查的重点.具体如下:
1. 在考查内容上,以考查三角函数的图象和性质、函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)模型和三角函数式的恒等变形为主,突出对三角函数这一基本初等函数的基础知识、研究三角函数的图象和性质的一般方法和三角函数式的恒等变形的规律与技巧的考查.其中,三角函数式的恒等变形是每年高考必考的内容,常常是寓三角函数的图象和性质、三角函数的恒等变形、平面向量和解三角形于一体,进行综合考查,体现数学知识之间的有机联系和三角函数的广泛应用性,充分发挥出三角函数的工具作用.
2. 在能力要求上,突出对三角恒等变形的能力和三角函数模型的应用的考查,通过运用两角和与差的三角函数公式对给出的三角函数式进行恒等变形,实现三角函数式的化简、求值,研究三角函数的周期性、奇偶性、单调性和最大(小)值,或者以平面向量、解三角形和实际应用的背景呈现,从中建立起三角函数模型,再运用三角函数的知识来求解,考查学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力,对数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想方法的运用水平,以及数学运算、逻辑推理和数学建模等素养.
3. 在呈现方式上,可以是直接考查三角函数式的化简和求值,也可以是通过对三角函数进行恒等变形后再研究三角函数的图象和性质,或者是与平面向量、解三角形、实际问题等进行交汇考查.从题型上来讲,既有可能是选择题,又有可能是填空题,也有可能是解答题,一般地,必有一道是解答题,不排除三种题型都会出现的情况.
学法指导
用数学的眼光从客观世界的周期性变化现象中抽象出圆周运动;利用单位圆直观理解任意角及弧度制的概念,并通过类比数的加减运算定义弧度制中角的运算;借助直角坐标系中单位圆上动点的坐标变化定义任意角的三角函数,理解诱导公式是单位圆特殊对称性的代数表示,进而形成利用数形结合思想探索三角函数相关性质的能力,把握研究数学对象的基本方法,提升数学抽象与逻辑推理能力.
通过运用三角函数模型描述周期现象,提高分析问题和解决问题的能力,在分析问题和解决问题的过程中体会类比、分类讨论、化归与转化思想和三角函数模型的应用,学会知识和方法的迁移,发展数学运算、数学建模素养.
5.1 任意角和弧度制
课时1 任意角
教学目标
1. 通过日常生活中的实例,引出定义任意角概念的必要性:需要推广角的范围用以描述客观世界.
2. 运用运动的观点理解任意角的概念,利用单位圆和直角坐标系建立象限角以及终边相同的角的概念.
3. 类比实数运算定义角的加减运算,并能用坐标系讨论象限角和对角的终边位置进行定性的讨论和表达.
学习目标
课程目标 学科核心素养
理解任意角的概念,会用量化的方法刻画任意角(包括正、负、零角),并掌握角的加减运算 通过对任意角的概念的建构与理解,培养数学抽象及逻辑推理等素养
理解象限角的概念和意义,掌握象限角和终边在坐标轴上的角的表示方法 通过对象限角的定义的理解以及象限角的表示方法的学习,培养数学抽象及数学运算等素养
理解终边相同的角的概念,能正确地表示出终边相同的角的集合 通过概括终边相同的角的代数表示和图形特征,培养直观想象、数学抽象等素养
情境导学
跳水运动、车轮的转运应该是大家十分熟悉的现象,请观察下面的图片:
图1 图2
图1,高台跳水中,“反身翻腾两周半”“向前飞身翻腾一周半”这些语句描述的都是超出0°~360°范围的角,而且它们的旋转方向也不相同.
图2,在机械表芯中我们可以看到大小两个齿轮的联动,由示意图2可知被动轮随主动轮旋转,OA绕点O旋转所成角与O'B绕点O'旋转所成角的大小不同且方向也不同.
我们知道,在实数集中有正数、负数和零,联系0°~360°范围的角和现实中的这些角,你能给出一种方法适当扩充角的范围使这些角都能被描述吗
初探新知
【问题1】如何用旋转的观点描述角的形成？需要给出哪些量？
【活动1】观察任意角的表述特征
【问题2】现实生活中是否所有的角都能在0°～360°范围内表示呢？
【问题3】类比实数的正、负表示，如何用符号表示任意角？并参考实数的分类体系对角进行分类．
【活动2】用数学符号表示任意角，并对任意角进行分类
【问题4】请你用自然语言描述图3中的角？
【问题5】类比实数的运算，如何定义角的加减运算使其与数的加减运算相统一？
【活动3】利用任意角的旋转理解角的加减运算，借助直角坐标系定义象限角
【问题6】实数可以借助数轴上对应点所在的正负半轴、原点等位置进行分类，那么，能否借助直角坐标系来讨论角？请举例说明．
【问题7】如图3，以射线OB1，OB2为终边的角是否唯一？如果不唯一，有多少个？从图中看，这些角的旋转方向是否一致？它们的共同特征是什么？
【活动4】对终边相同的角进行定性分析
【问题8】如图5，以射线OB为终边的角唯一吗？不唯一的话又有哪些？这些角从几何上看是经过怎样的变化得到的？从代数上看又有怎样的数量关系？
【活动5】对终边相同的角进行定量表示
【问题9】你能否用适当的集合语言描述图5中的角？该集合的表达是否唯一？
典例精析
【例1】[教材改编题](1) 如图,写出终边在x轴上的角的集合;
(2)若角α=30°,请写出:
① 角α按逆时针旋转45°后所在终边上所有角的集合;
② 角α旋转75°后所在终边上所有角的集合;
③ 角α关于y=x对称后所在终边上所有角的集合
例1
思路点拨：观察→以形分类→以数表达→数形对照.
【解】(1) 在0°~360°范围内,终边在x轴上的角有两个,即0°,180°角.所有与0°角终边相同的角构成集合S1={β|β=0°+k·360°,k∈Z},而所有与180°角终边相同的角构成集合S2={β|β=180°+k·360°,k∈Z}.于是,终边在x 轴上的角的集合S=S1∪S2={β|β=0°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=180°+k·360°,k∈Z}={β|β=0°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=n·180°,n∈Z}.
(2) ① 在0°~360°范围内,角α=30°时,角α按逆时针旋转45°后,所得角为75°.所有与75°角终边相同的角构成集合S1={β|β=75°+k·360°,k∈Z},因此,角α按逆时针旋转45°后所在终边上所有角的集合S={β|β=75°+k·360°,k∈Z}.② 角α=30°时,角α旋转75°后有两种情况:按逆时针旋转75°得到105°角,按顺时针旋转75°得到-45°角.在0°~360°范围内,角α旋转75°后所在终边上的角有两个角105°和315°(即360°-45°). 所有与105°角终边相同的角构成集合S1={β|β=105°+k·360°,k∈Z},所有与315°角终边相同的角构成集合S2={β|β=315°+k·360°,k∈Z}.因此,角α旋转75°后所在终边上所有角的集合S={β|β=105°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}.③ 在0°~360°范围内,角α=30°时,角α关于y=x对称后所在终边上的角为45°+(45°-30°)=60°,所有与60°角终边相同的角构成集合S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}.
【方法规律】
1. 轴线角的集合表示:
2. 求某角旋转一定角度后的角时,应时刻抓住“旋转”二字,明确旋转方向和旋转角的大小,弄清角的始边.
角α终边的位置 角α的集合表示
在x轴的非负半轴上 {α|α=k·360°,k∈Z}
在x轴的非正半轴上 {α|α=k·360°+180°,k∈Z}
在y轴的非负半轴上 {α|α=k·360°+90°,k∈Z}
在y轴的非正半轴上 {α|α=k·360°+270°,k∈Z}
【变式训练1】 (1) 若角α=30°,请写出角α按逆时针旋转1个30°后所在终边上所有角的集合、按逆时针旋转2个30°后所在终边上所有角的集合、按逆时针旋转m个30°后所在终边上所有角的集合.m为多少时,角α按逆时针旋转m个30°后所在终边上的所有角与角α终边重合
(2) 类比(1),若角α=45°,请写出角α按逆时针旋转m个45°后所在终边上所有角的集合,m为多少时与角α终边重合
【解】(1) 若角α=30°,角α按逆时针旋转1个30°后所在终边上所有角的集合S={β|β=60°+k·360°,k∈Z},按逆时针旋转2个30°后所在终边上所有角的集合S={β|β=90°+k·360°,k∈Z},按逆时针旋转m个30°后所在终边上所有角的集合S={β|β=(m+1)·30°+k·360°,m∈N,k∈Z}.当m=12n,n∈N时,角α按逆时针旋转m个30°后所在终边上的所有角与角α=30°终边重合.
(2) 由(1)知,若角α=45°,按逆时针旋转m个45°后所在终边上所有角的集合S={β|β=(m+1)·45°+k·360°,m∈N,k∈Z},当m=8n,n∈N时,与角α=45°终边重合.
【例2】[2021·黑龙江省哈尔滨市第一六二中学高一期末]已知角α是第三象限角,试判断:
(1) 180°-α是第几象限角
(2) 是第几象限角
(3) 2α是第几象限角
思路点拨：根据α在各个象限内的表示方法表示出α,进而得出180°-α,,2α的表示结果,再根据这个表示结果作出判断.
【解】 (1) 因为α是第三象限角,所以k·360°+180°<α(2) 因为k·180°+90°<(3) 因为2k·360°+360°<2α<2k·360°+540°,k∈Z,所以2α是第一或第二象限角或y轴非负半轴上的角.
【方法规律】
要判断一个角是第几象限角,只需在0°到360°或-180°到180°的范围内找出与其终边相同的角便可.一般地,当α是第一、二象限角时,是第一、三象限角;当α是第三、四象限角时,是第二、四象限角.
【变式训练2】(多选)已知角2α的终边在x轴的上方,那么角α可能是 ( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
【解】因为角2α的终边在x轴的上方,所以k·360°<2α【例3】[教材改编题]在0°~360°范围内,找出与-1 190°30'角终边相同的角,并判定它是第几象限角.
思路点拨 观察→归纳任意角与0°~360°范围内角的位置关系→代数运算→得出答案.
【解】-1 190°30'=249°30'-4×360°,所以在0°~360°范围内,与-1 190°30'角终边相同的角是249°30'角,它是第三象限角.
【方法规律】
角的概念推广以后,研究角不仅要考虑其大小,而且要注意其方向(正、负),所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可表示为集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.判断这些角在第几象限时,只需判断角α所在的象限即可.
【变式训练3】若角α的终边与30°角的终边相同,求出所有在-360°~360°内与角终边相同的角,并说出它们所在的象限.
【解】由角α的终边与30°角的终边相同,可得α=k·360°+30°(k∈Z),故=k·120°+10°(k∈Z).由-360°≤k·120°+10°<360°(k∈Z),可得正整数k的取值为0,1,2,-1,-2,-3.所求的角有6个,它们分别是10°,130°,250°,-110°,-230°,-350°,其中10°和-350°是第一象限的角;130°和-230°是第二象限的角;250°和-110°是第三象限的角.
思路点拨 结合象限角和任意角的概念逐个判断即可.
（备选例题）[2021·江苏省高一期中改编题]下列命题中正确的是 ( )
A. 锐角是第一象限的角
B. 大于90°的角是钝角
C. 第一象限的角一定不是负角
D. 第二象限的角一定大于第一象限的角
【解】
对于A,锐角是大于0°小于90°的角,显然锐角是第一象限角.故A正确;对于B,钝角是大于90°小于180°的角,而大于90°的角也可能是大于180°的角.故B错误;对于C,-359°显然是第一象限角.故C错误;对于D,135°是第二象限角,361°是第一象限角,但是135°<361°.故D错误.故选A.
【方法规律】
正确理解锐角、钝角、任意角和象限角等概念是实现解题的基础和关键,对四个选项运用上述概念逐一进行判断,正确的必须给出充足的理由,错误的可列举反例加以说明,从而选出正确的答案.
课堂反思
通过本节课的学习，你学到了什么？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1. 把－1485°化成k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是( )
A. 315°－5×360°
B. 45°－4×360°
C. －315°－4×360°
D. －45°－10×180°
A
2. [2021·江苏省苏州市昆山中学高三调研卷改编题]角α与角β的终边关于y轴对称,则α与β的关系为 ( )
A. α+β=k·360°,k∈Z
B. α+β=k·360°+180°,k∈Z
C. α-β=k·360°+180°,k∈Z
D. α-β=k·360°,k∈Z
3. (多选)已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则A，B，C的关系不正确的是( )
A. B＝A∩C B. B∪C＝C
C. A C D. A＝B＝C
4. [教材改编题]时间经过4h，时针、分针各转_________ _ __；当时针走了2h 40min，分针转过的角度是__________．
5.若α是第一象限角，则 是第________象限角．
同学们再见！
Goodbye Students！
