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专题提升Ⅸ 电磁感应中的能量和动量问题
目录
模块一 知己知彼 1
模块二 知识掌握 2
知识点一 电磁感应中的能量问题 2
知识点二 电磁感应中的动量问题 8
模块三 巩固提高 15
模块一 知己知彼
考点分布 命题趋势
1、理解电磁感应现象中的能量转化，会用动能定理、能量守恒定律分析有关问题. 2、会用动量定理、动量守恒定律分析电磁感应的有关问题． 3、通过能量和动量等知识在电磁感应现象中的应用的实例，感受物理中科学技术与社会的紧密联系，体会科学知识的应用价值 电磁感应定律的综合应用作为高考中的重难点内容,再现率高,平均难度大,常与力学问题动量与能量问题相结合,对综合分析能力要求较高.题型全,配值占比高.未来高考仍将对本讲内容保持这一态势,与新技术新情境相结合的风格继续维持
模块二 知识掌握
知识点一 电磁感应中的能量问题
【重难诠释】
1．电磁感应现象中的能量转化
安培力做功
2．焦耳热的计算
(1)电流恒定时，根据焦耳定律求解，即Q＝I2Rt.
(2)感应电流变化，可用以下方法分析：
①利用动能定理，求出克服安培力做的功W克安，即Q＝W克安．
②利用能量守恒定律，焦耳热等于其他形式能量的减少量．
（2023春 湟中区校级期末）如图所示，固定在水平面上的光滑金属导轨AB、CD，导轨一端连接电阻R，导轨宽为L，垂直于导轨平面向下存在磁感应强度为B的匀强磁场，将一质量为m、电阻为r的导体棒垂直导轨放置，用恒力F向右拉动导体棒，经过距离x导体棒恰好达到最大速度v，则在此过程中（ ）
A．外力F
B．从开始至速度最大所用的时间t
C．定值电阻产生的焦耳热QR
D．通过导体棒的电荷量q
【解答】解：A、导体棒速度最大时合力为零，根据平衡条件得
，故A错误；
B、取向右为正方向，由动量定理有
又安培力冲量大小为
解得：，故B错误；
C、由动能定理得
解得：
整个回路中产生的焦耳热Q＝WA
而电阻R上的焦耳热为
，故C错误；
D、通过导体棒的电荷量为
qt t，故D正确。
故选：D。
（2023 西城区校级三模）如图所示，间距为L的两倾斜且平行的金属导轨固定在绝缘的水平面上，金属导轨与水平面之间的夹角为θ，电阻不计，空间存在垂直于金属导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，导轨上端接有阻值为R的定值电阻。质量为m的导体棒ab从金属导轨上某处由静止释放，开始运动Δt时间后做匀速运动，速度大小为v，且此阶段通过定值电阻R的电量为q。已知导轨平面光滑，导体棒的电阻为r，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒ab先做匀加速运动，后做匀速运动
B．导体棒稳定的速度大小
C．导体棒从释放到其速度稳定的过程中，其机械能的减少量等于电阻R产生的焦耳热
D．导体棒从释放到其速度稳定的过程中，位移大小为
【解答】解：A、导体棒ab在加速阶段，根据牛顿第二定律可得：mgsinθ﹣BIL＝ma，其中：I，解得：a＝gsinθ；由于速度是增加的，所以加速度是减小的，导体棒不可能做匀加速运动，故A错误；
B、导体棒稳定时的加速度为零，则有：gsinθ0，解得：，故B错误；
C、根据能量守恒定律可知，导体棒从释放到其速度稳定的过程中，其机械能的减少量等于电阻R与导体棒产生的焦耳热之和，故C错误；
D、根据电荷量的计算公式可得：qt，解得：x，故D正确。
故选：D。
（2023春 兴庆区校级期末）如图所示，垂直于纸面的匀强磁场磁感应强度大小为B，纸面内有一由均匀金属丝制成的等腰直角三角形线框abc，直角边边长为L，bc边与磁场边界平行，线框总电阻为R。线框在向左的拉力作用下以速度v匀速进入磁场。下列分析正确的是（ ）
A．线框进入磁场过程中有顺时针方向的感应电流
B．线框完全进入磁场过程中产生的热量为
C．线框ab边中点进入磁场时拉力的功率大小为
D．线框进入磁场过程中通过线框某一横截面的电荷量为
【解答】解：A、磁场垂直于纸面向里，线框进入磁场过程穿过线框的磁通量增大，由楞次定律可知，感应电流沿逆时针方向，故A错误；
B、设线框的位移大小为x，线框切割磁感线的有效长度L＝x，线框切割磁感线产生的感应电动势E＝BLv＝Bxv，感应电流I，线框受到的安培力大小F＝ILB，F与x成二次函数关系，F﹣x图象如图所示
力F所做的功等于图线与x轴所围成的面积，所以力F所做的功小于，线框进入磁场过程中产生的热量小于 ，故B错误；
C、线框ab边中点进入磁场时线框切割磁感线的有效长度为，感应电动势E＝BvBLv，感应电流I，线框受到的安培力F安培＝IB，由平衡条件可知，拉力F＝F安培，拉力功率P＝Fv，故C正确；
D、线框进入磁场过程中通过线框某一横截面的电荷量qΔtΔt，故D错误。
故选：C。
（2023 乐清市校级模拟）如图甲所示，一质量为M、长为L的导体棒，通过两根长均为l、质量可不计的细导线系在同一水平面上的固定连接点上.在导体棒所在空间存在方向竖直向上、大小为B的匀强磁场。细导线通过开关S与电阻R和直流电源串接起来。不计空气阻力和其它电阻，导体棒运动时，细导线偏离竖直方向用图示的角度θ来表示。接通S，导体棒恰好在时处于静止状态；将导体棒从移到（δ为小量），静止后撤去外力，导体棒开始振动起来，则（ ）
A．电源电动势
B．振动周期
C．电阻消耗的焦耳热
D．角度θ随时间t变化的图线为图乙
【解答】解：A．导体棒恰好在时处于静止状态，对导体棒金属受力分析，得出对应的受力示意图：
可知
F安＝Mg
又
解得：，故A错误；
B．根据平行四边形定则，导体棒所受的安培力与重力的合力大小等于
根据单摆的周期公式可得：
故B错误；
C．根据能量守恒，电阻消耗的焦耳热为损失的重力势能和电能之和，则
E电，故C错误；
D．随着时间的推移，θ会越来越小，不可能突然增大，故D错误。
故选：B。
（2023 莱阳市校级模拟）如图所示，间距均为L＝1m的两段水平光滑导轨和足够长的倾斜导轨平行固定，两段水平导轨通过外层绝缘的导线交叉连接，倾斜导轨底端接有阻值为R＝1Ω的定值电阻，水平导轨处只存在竖直向上的匀强磁场，倾斜导轨处只存在垂直导轨所在平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小均为2T。倾斜导轨顶端与水平导轨最右端的高度差为h＝0.45m、水平间距为x＝1.2m。两质量均为m＝1kg、阻值均为1Ω的导体棒垂直静置在两段水平导轨上，某时刻给导体棒1一水平向左的初速度v0＝10m/s，一段时间后导体棒2刚好由倾斜导轨上端无碰撞地滑上倾斜导轨。已知导体棒2与倾斜导轨间的动摩擦因数为，在导轨上运动过程导体棒始终与导轨垂直且接触良好，忽略空气阻力，重力加速度g＝10m/s2。求：
（1）倾斜导轨与水平面间夹角α的正切值；
（2）导体棒2离开水平导轨前的瞬间，导体棒1的加速度大小；
（3）整个过程系统产生的电热和因摩擦产生的热量。
【解答】解：（1）导体棒2离开水平导轨后做平抛运动，设在空中运动的时间为t，竖直方向上有：
水平方向有：x＝vxt
竖直方向有：vy＝gt
速度的方向与水平方向的夹角：
（2）设导体棒2抛出时，导体棒1的速度大小为v2，导体棒2在水平导轨上运动过程中，1、2所受安培力始终相等。
设导体棒2在水平导轨上运动过程安培力的冲量为p1，对导体棒2由动量定理有：p1＝mv1
对导体棒1由动量定理有：﹣p1＝mv2﹣mv0
解得：v2＝6m/s
此时回路中的感应电动势为：E＝BL（v2﹣v1）
由欧姆定律得回路中的电流为：
安培力：F安＝BIL
由牛顿第二定律有：F安＝ma
联立解得：a＝4m/s2
（3）导体棒在水平导轨上运动时，产生的电热为：Q48J
由（1）中分析可知，导体棒2进入倾斜导轨前瞬间的速度为：vm/s＝5m/s
导体棒2沿倾斜导轨向下运动过程中，重力沿导轨向下的分力等于导体棒2与导轨间的滑动摩擦力，导体棒2所受的合力等于导体棒2所受安培力，最终导体棒2的速度减为零。
导体棒2在倾斜导轨上运动时，产生的电热为：
整个过程系统产生的电热为：Q＝Q1+Q2
联立代入数据得：Q＝36.5J
对导体棒2在倾斜导轨上运动的过程，由动量定理有：﹣BL Δt＝﹣mv
而电荷量：q
联立解得：q＝2.5C
由法拉第电磁感应定律得：
又：
联立解得：sm＝2.5m
导体棒2在倾斜导轨上运动时，因摩擦产生的热量为：Q3＝μmgscosα＝15J
答：（1）倾斜导轨与水平面间夹角α的正切值为；
（2）导体棒2离开水平导轨前的瞬间，导体棒1的加速度大小为4m/s2；
（3）整个过程系统产生的电热为36.5J，因摩擦产生的热量为15J。
知识点二 电磁感应中的动量问题
【重难诠释】
1.动量定理在电磁感应中的应用
导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，安培力的冲量为：I安＝BLt＝BLq，通过导体棒或金属框的电荷量为：q＝Δt＝Δt＝n·Δt＝n，磁通量变化量：ΔΦ＝BΔS＝BLx.如果安培力是导体棒或金属框受到的合外力，则I安＝mv2－mv1.当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时用动量定理求解更方便．
2.动量守恒定律在电磁感应中的应用
在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力为系统内力，如果两安培力等大反向，且它们受到的外力的合力为0，则满足动量守恒条件，运用动量守恒定律求解比较方便．这类问题可以从以下三个观点来分析：
(1)力学观点：通常情况下一个金属棒做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属棒做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属棒以共同的速度匀速运动．
(2)动量观点：如果光滑导轨间距恒定，则两个金属棒的安培力大小相等，通常情况下系统的动量守恒．
(3)能量观点：其中一个金属棒动能的减少量等于另一个金属棒动能的增加量与回路中产生的焦耳热之和．
（2023 天河区一模）如图，足够长的磁铁在空隙产生一个径向辐射状磁场，一个圆形细金属环与磁铁中心圆柱同轴，由静止开始下落，经过时间t，速度达最大值v，此过程中环面始终水平。已知金属环质量为m、半径为r、电阻为R，金属环下落过程中所经过位置的磁感应强度大小均为B，重力加速度大小为g，不计空气阻力，则（ ）
A．在俯视图中，环中感应电流沿逆时针方向
B．环中最大的感应电流大小为
C．环下落过程中所受重力的冲量等于其动量变化
D．t时间内通过金属环横截面的电荷量为
【解答】解：A、根据右手定则，在圆环上取一段分析可知环中感应电流沿顺时针方向，故A错误；
B、当重力等于安培力时，环下落的速度最大，此时感应电流最大，根据
mgv＝I2R，
解得：I，
故B正确；
C、环下落过程中受重力和安培力作用，根据动量定理可知，重力的冲量小于其动量变化，故C错误；
D、设t时间内通过金属环横截面的电荷量为q。环下落速度为v时的感应电流大小为
I，
由于环中感应电流不断增大，则
q＜It，
故D错误。
故选：B。
（2022春 定远县校级期中）涡流制动是磁悬浮列车在高速运行时进行制动的一种方式。某研究所制成如图所示的车和轨道模型来定量模拟磁悬浮列车的涡流制动过程。车厢下端安装有电磁铁系统，能在长L1＝0.6m、宽L2＝0.2m的矩形区域内产生竖直方向的匀强磁场，磁感应强度可随车速的减小而自动增大（由车内速度传感器控制），但最大不超过B1＝2T。长大于L1、宽也为L2的单匝矩形线圈，间隔铺设在轨道正中央，其间隔也为L2，每个线圈的电阻为R＝0.1Ω，导线粗细忽略不计。在某次实验中，模型车速度为v＝20m/s时，启动电磁铁系统开始制动，车立即以加速度a＝2m/s2做匀减速直线运动，当磁感应强度增加到B1时就保持不变，直到模型车停止运动。已知模型车的总质量为m＝36kg，空气阻力不计。不考虑磁感应强度的变化引起的电磁感应现象以及线圈激发的磁场对电磁铁产生磁场的影响。则模型车的制动距离为（ ）
A．200m B．50m C．106.25m D．137.75m
【解答】解：设电磁铁的磁感应强度达到最大时，模型车的速度为v1，则E1＝B1L1v1
根据闭合电路欧姆定律有：
根据牛顿第二定律有：F1＝I1L1B1＝ma
匀变速运动过程的位移为
联立解得x1＝93.75m
对磁感应强度达到最大以后的减速过程，规定安培力的反方向为正方向，由动量定理可得
又
得此过程的位移
解得：x2＝12.5m
则模型车的制动距离x＝x1+x2＝83.75m+12.5m＝106.25m
故C正确，ABD错误；
故选：C。
某同学设计的“电磁弹射”装置如图所示，足够长的光滑金属导轨（电阻不计）水平固定放置，间距为l，磁感应强度大小为B的磁场垂直于轨道平面向下．在导轨左端跨接电容为C的电容器，另一质量为m、电阻为R的导体棒垂直于导轨摆放．先断开电键S，对电容器充电，使其带电量为Q，再闭合电键S，关于该装置及导体棒的运动情况下列说法正确的是（ ）
A．要使导体棒向右运动，电容器的b极板应带正电
B．导体棒运动的最大速度为
C．导体棒运动过程中，流过导体棒横截面的电量为Q
D．导体棒运动过程中感应电动势的最大值为
【解答】解：A、导体棒向右运动，安培力向右，由左手定则可知电流方向向下，则a带正电，故A错误。
B、当导体棒两端的电压与电容两端的电压相等时，导体棒做匀速运动，此时有BLv，
根据动量定理得：Bmv＝Bq′L，其中：q′＝Q﹣q，联立三式解得：，故B正确。
C、导体棒运动过程中，极板电荷不会全部放完，故流过导体棒横截面的电量小于Q，故C错误。
D、导体棒运动的最大速度为，故导体棒运动过程中感应电动势的最大值为：E，故D错误。
故选：B。
（2023春 黄埔区校级期中）如图甲所示，某同学设计了一个舰载机电磁阻拦系统模型。当飞机以速度v1＝40m/s着舰时，其前轮立刻勾住阻拦系统的动子，一起以v0运动，阻拦系统工作原理如图乙所示，用于阻拦飞机的动子（图中未画出）与线圈绝缘并固定，线圈带动动子，可以在水平导轨上无摩擦滑动。线圈位于导轨间的辐向磁场中，其所在处的磁感应强度大小均为B＝0.1T。当飞机勾住动子时，开关接通定值电阻R0＝4.5Ω．同时对动子施加一个与运动方向相反的阻力f，使飞机与动子做匀减速直线运动，在t＝4s时撤去阻力f，一段时间后，飞机与动子速度减为零，已知飞机与动子在此过程的v﹣t图像如图丙所示，飞机的质量M＝45kg，线圈匝数n＝50匝，每匝周长l＝lm，动子和线圈的总质量m＝5kg，线圈的电阻R＝0.5Ω，不计空气阻力，求：
（1）v0的大小；
（2）通过电阻R0的电流与飞机和动子速度v大小的关系式；
（3）阻力f与飞机和动子速度v大小的关系式；
（4）飞机和动子停止时距离着舰点的距离。
【解答】解：（1）飞机与动子相当于发生完全非弹性碰撞，选择向右的方向为正方向，根据动量守恒定律可得：
Mv1＝（M+m）v0
解得：v0＝36m/s
（2）根据法拉第电磁感应定律可得：
ε＝nBlv
根据欧姆定律可得；
两式联立I＝v
（3）动子和线圈在t时间做匀减速直线运动，由图丙，设末速度v2＝4m/s，加速度大小为
根据牛顿第二定律有
F+F安＝（M+m）a
其中F安＝nBIl
又（2）问中求得I＝v
三式联立f＝400﹣5v
（4）在匀减速阶段位移
撤去阻力后，选择水平向右的方向为正方向，根据动量定理有
﹣F安Δt＝0﹣（M+m）v2
故有
nBIlΔt＝（M+m）v2
又（2）问中求得I＝v
则nBlx2＝（M+m）v2
所以x2＝40m
由此可以求出总位移为：S＝x1+x2＝80m+40m＝120m
答：（1）v0的大小为36m/s；
（2）通过电阻R0的电流与飞机和动子速度v大小的关系式为I＝v；
（3）阻力f与飞机和动子速度v大小的关系式为f＝400﹣5v；
（4）飞机和动子停止时距离着舰点的距离为120m。
（2023 衡水二模）如图所示，光滑平行轨道abcc'd的水平部分（虚线右侧）存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场，bc段轨道宽度为2L，c'd段轨道宽度为L，质量为m、长度为2L的均质金属棒Q静止在c'd段，将另一完全相同的金属棒P从ab段距水平轨道高h处无初速释放，由于回路中除两金属棒外的电阻极小，bc段和c'd段轨道均足够长，一段时间后两金属棒均匀速运动，重力加速度大小为g，求：
（1）金属棒P在磁场中运动的最小速度vP；
（2）两金属棒距离最近时金属棒Q两端的电压U。
【解答】解：（1）金属棒P下滑刚进入磁场时，速度最大，设最大速度为vm，之后金属棒P进入磁场后，产生感应电流，金属棒P在安培力作用下向右做减速运动，金属棒Q在安培力作用下向右做加速运动，直到两金属棒产生的电动势等大、反向，回路的电流为零。
设金属棒Q匀速运动时的速度大小为vQ，整个过程中通过回路中某截面的电荷量为q，时间为Δt，平均电流为I1。
金属棒P下滑过程，由机械能守恒有
稳定时，有B 2L vP＝BLvQ
通过金属棒P的电荷量q＝I1Δt
金属棒P，取向右为正方向，由动量定理有
﹣BI1 2LΔt＝﹣B 2Lq＝mvP﹣mvm
金属棒Q，取向右为正方向，由动量定理
有 BI1LΔt＝BLq＝mvQ﹣0
解得：
（2）两金属棒在水平轨道做变速运动时，金属棒P的加速度大小始终等于金属棒Q的加速度大小的两倍。运动过程中的v﹣t图像如图所示
显然图像的交点的纵坐标为，而两金属棒速度大小相等时距离最近，设此时金属棒P产生的电动势为E，金属棒Q在电路中产生的反电动势为E'，回路中的感应电流为I，设金属棒Q接入电路的电阻为R，则金属棒P接入电路的电阻为2R，则有
E＝B 2L
E′＝BL
由欧姆定律有
金属棒Q两端的电压U＝E+IR
解得：
答：（1）金属棒P在磁场中运动的最小速度vP为
（2）两金属棒距离最近时金属棒Q两端的电压U为。
模块三 巩固提高
（2023 仓山区校级模拟）如图所示，足够长的平行金属导轨竖直放置在垂直于导轨平面向里的匀强磁场中，两根质量相同的导体棒a和b垂直于导轨放置，导体棒与导轨紧密接触且可自由滑动。先固定a，释放b，当b的速度达到v时，再释放a，经过时间t后，a的速度也达到v，重力加速度为g，不计一切摩擦。以下说法中正确的是（ ）
A．释放a之前，b运动的时间等于t
B．释放a之前，b下落的高度小于
C．释放a之后的时间t内，a下落的加速度小于g
D．a和b的加速度最终都等于g
【解答】解：AC、释放a之前，b受向下的重力和向上的安培力，且随速度的增加，所受的安培力变大，则b做加速度减小的变加速运动，即b的平均加速度小于g；释放a之后的t时间内，b的速度大于a，回路中的电流方向为逆时针，根据左手定则可知a受到的安培力方向向下，所以a受向下的重力和向下的安培力，速度从0增加到v的过程中a的平均加速度大于g，则释放a之前，b运动的时间大于t，故AC错误；
B、由于释放a之前，b的平均加速度小于g，则b下落的高度h，故B错误；
D、a和b达到共速后，由于二者切割磁感应线的速度相同，回路中不产生感应电流，a和b都只受重力，加速度大小均为g，故D正确。
故选：D。
（2023 涟源市二模）如图所示，水平间距为L，半径为r的二分之一光滑圆弧导轨，bb'为导轨最低位置，aa'与cc'为最高位置且等高，右侧连接阻值为R的电阻，圆弧导轨所在区域有磁感应强度为B、方向竖直向上的匀强磁场。现有一根金属棒在外力的作用下以速度v0从aa'沿导轨做匀速圆周运动至cc'处，金属棒与导轨始终接触良好，金属棒与导轨的电阻均不计，则该过程中（ ）
A．经过最低位置bb'处时，通过电阻R的电流最小
B．经过最低位置bb'处时，通过金属棒的电流方向为b'→b
C．通过电阻R的电荷量为
D．电阻R上产生的热量为
【解答】解：A、金属棒从位置aa′运动到轨道最低bb′处的过程中，水平分速度即有效切割速度逐渐增大，由E＝BLv可知金属棒产生的感应电动势增大，则通过R的电流大小逐渐增大；金属棒从轨道最低位置bb′运动到cc′处的过程中，水平分速度即有效切割速度逐渐减小，由E＝BLv可知金属棒产生的感应电动势减小，则通过R的电流大小逐渐减小，故经过最低位置bb′处时，通过电阻R的电流最大，故A错误；
B\由右手定则可知，经过最低位置bb′处时，通过金属棒的电流方向为b→b′，故B错误；
C．通过电阻R的电荷量为：qΔt，故C正确；
D．金属棒做匀速圆周运动，切割磁感线的有效速度为：v＝v0cosθ＝v0cosωt
θ是金属棒的速度与水平方向的夹角，则金属棒产生的感应电动势为：E＝BLv0cosωt
则回路中产生正弦式交变电流，可得感应电动势的最大值为：Em＝BLv0
有效值为：E
由焦耳定律可知，R上产生的热量：Q，故D错误。
故选：C。
（2022秋 清远期末）“福建舰”是我国完全自主设计并建造的首艘航空母舰，采用平直通长飞行甲板，配置电磁弹射和阻拦装置，电磁阻拦技术的原理示意图如图所示。在磁感应强度方向垂直纸面向里的匀强磁场中，两根平行金属轨道MN、PQ固定在水平面内，MP间接有阻值为R的电阻。一个长度与平行金属导轨间距相等的金属导体棒ab垂直搁置在两导轨之间，与轨道接触良好。舰载机着舰时关闭动力系统，通过绝缘阻拦索钩住轨道上的一根金属棒ab，导体棒ab被钩住之后立即获得了和舰载机相同的速度，接着舰载机和金属棒一起减速滑行了一段距离后停下。已知除安培力外，舰载机和金属棒一起做减速运动时的阻力为f，不考虑阻拦索的长度变化。下列说法正确的是（ ）
A．舰载机勾住绝缘阻拦索钩之后，金属棒ab中感应电流的方向为由a到b
B．舰载机勾住绝缘阻拦索钩之后，金属棒两端的电压逐渐增加
C．若仅增加匀强磁场的磁感应强度，其他条件不变，则舰载机和金属棒滑行距离变短
D．从舰载机勾住绝缘阻拦索钩到两者静止的过程中，回路中产生的焦耳热等于舰载机着舰时的动能
【解答】解：A．舰载机勾住绝缘阻拦索钩之后，导体棒ab获得了和舰载机相同的速度，根据右手定则，金属棒ab中感应电流的方向为由b到a，故A错误；
B．由公式E＝BLv可知金属棒切割产生的感应电动势与速度成正比，结合闭合电路欧姆定律可知，舰载机和金属棒一起减速滑行的过程中金属棒两端的电压逐渐减小，故B错误；
C．由公式E＝BLv可知金属棒切割产生的感应电动势与匀强磁场的磁感应强度成正比，其他条件不变的情况下，若仅增加匀强磁场的磁感应强度，则金属棒切割产生的感应电动势变大，又由公式可知通过金属棒的感应电流变大，则通电导体在磁场中受到的安培力（阻力）也变大，则滑行距离变短，故C正确；
D．根据能量守恒定律可知，舰载机与飞行甲板、绝缘阻拦索之间都有摩擦力，在相互作用过程中会有内能产出，故回路中产生的焦耳热小于舰载机着舰时的动能，故D错误。
故选：C。
（2023春 青羊区校级月考）如图所示，足够长的光滑导轨OM、ON固定在竖直平面内，电阻不计，两导轨与竖直方向夹角均为30°。空间存在垂直导轨平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、长为L的导体棒在竖直向上的拉力F作用下，从O点开始沿y轴向下以大小为v的速度做匀速直线运动，且棒始终与y轴垂直对称，与导轨接触良好。导体棒单位长度电阻值为r，重力加速度为g。则在导体棒从开始运动到离开导轨的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒中的感应电流逐渐增大
B．导体棒沿导轨下落过程中减小的机械能等于导体棒产生的焦耳热
C．通过回路中某横截面上的电荷量为
D．导体棒在导轨上运动时拉力F与y的关系为
【解答】解：A、设导体棒在两导轨间的长度为l，则导体棒切割磁感线在电路中产生电流的感应电动势：E＝Blv
根据闭合电路欧姆定律可知：，因为v、r、B恒定，则I恒定，导体棒中的感应电流大小保持恒定不变，故A错误；
C、由于电流恒定：，所以电荷量：q＝It，故C正确；
B、导体棒运动过程重力做正功WG，克服拉力F做功WF，安培力做负功，克服安培力做功转化为焦耳热Q，由动能定理得：WG﹣WF﹣Q＝0。则机械能的减少量：ΔE＝WG＝Q+WF＞Q，即导体棒沿导轨下落过程中减小的机械能大于金属棒产生的焦耳热，故B错误；
D、导体棒受到重力、拉力F和安培力作用，根据共点力平衡知识可知：F+BIl＝mg
解得拉力：F＝mg﹣BIl （其中：l＝2ytan30°）
解得：，故D错误。
故选：C。
（2023 浙江）如图所示，质量为M、电阻为R、长为L的导体棒，通过两根长均为l、质量不计的导电细杆连在等高的两固定点上，固定点间距也为L。细杆通过开关S可与直流电源E0或理想二极管串接。在导体棒所在空间存在磁感应强度方向竖直向上、大小为B的匀强磁场，不计空气阻力和其它电阻。开关S接1，当导体棒静止时，细杆与竖直方向的夹角；然后开关S接2，棒从右侧开始运动完成一次振动的过程中（ ）
A．电源电动势E0
B．棒消耗的焦耳热Mgl
C．从左向右运动时，最大摆角小于
D．棒两次过最低点时感应电动势大小相等
【解答】解：A、以棒为研究对象，画出前视的受力图，如图所示：
根据平衡条件可得：F安＝Mgtanθ，其中：F安＝BIL
解得：I
电源电动势E0＝IR，故A错误；
B、假设棒从右侧开始运动完成一次振动的过程中，达到最低点时速度为零，则棒的重力势能减少：ΔEp＝Mgl（1﹣cosθ），解得：ΔEpMgl，根据能量守恒定律可知棒消耗的焦耳热Mgl；由于棒达到最低点时的速度不为零，则完成一次振动过程中，棒消耗的焦耳热小于Mgl，故B错误；
C、棒从右侧开始运动达到最左侧过程中，回路中有感应电流，导体棒上会产生焦耳热，所以达到左侧最高点时，棒的最大摆角小于；从左向右运动时，根据右手定则可知，电流反向通过二极管，由于二极管具有单向导电性，所以回路中没有电流，则棒从左向右运动时，最大摆角小于，故C正确；
D、棒第一次经过最低点向左摆动过程中，回路中有感应电流，棒的机械能有损失，所以第二次经过最低点时的速度小于第二次经过最低点的速度，根据E＝BLv可知，第二次经过最低点时感应电动势大小小于第一次经过最低点的感应电动势大小，故D错误。
故选：C。
（2022秋 海淀区校级期末）如图所示，水平放置的光滑平行金属导轨MN、PQ处于竖直向下的足够大的匀强磁场中，导轨间距为L，导轨的右端接有阻值为R的电阻。一根质量为m，电阻为r的金属棒垂直导轨放置，并与导轨接触良好。现使金属棒以一定初速度向左运动，它先后通过位置a、b后，到达位置c处刚好静止。已知磁场的磁感应强度为B，金属棒通过a、b处的速度分别为va、vb，a、b间的距离等于b、c间的距离，导轨的电阻忽略不计。下列说法中正确的是（ ）
A．金属棒运动到a处时的加速度大小为
B．金属棒运动到b处时通过电阻的电流方向由N指向Q
C．金属棒在a处的速度va是其在b处速度vb的倍
D．金属棒在a→b过程与b→c过程中通过电阻的电荷量相等
【解答】解：A、金属棒运动到a处时，有 E＝BLva，I，F＝BIL，则得安培力：F，由牛顿第二定律得加速度：a，故A错误；
B、金属棒运动到b处时，由右手定则判断知，通过电阻的电流方向由Q到N，故B错误；
C、在b→c的过程中，对金属棒运用动量定理得：0﹣mvb，而∑v Δt＝lbc，解得 vb
同理，在a→c的过程中，对金属棒运用动量定理得：0﹣mva，而∑v Δt′＝lac，解得 va，因lac＝2lbc，因此va＝2vb，故C错误；
D、金属棒在a→b过程中，通过电阻的电荷量 q1t，同理，在b→c的过程中，通过电阻的电荷量：q2，由于ΔΦ1＝ΔΦ2，可得q1＝q2。故D正确。
故选：D。
（多选）（2023春 武汉期中）如图甲所示，在MN、OP间存在一匀强磁场，t＝0时，一粗细均匀的正方形金属线框abcd在水平向右的外力F作用下紧贴MN从静止开始做匀加速运动，外力F随时间t变化的图线如图乙所示，已知磁场磁感应强度B＝1T，线框质量m＝0.5kg，线框与水平面间的滑动摩擦系数为μ＝0.2，重力加速度取g＝10m/s2，以下说法正确的有（ ）
A．F＝4N时，电势差Udc＝0.5V
B．线框加速度a＝2m/s2
C．线框穿过磁场的时间
D．MN、PQ间距离d＝5m
【解答】解：B、线框完全进入磁场时，力F的大小为2N，根据牛顿你第二定律：F﹣μmg＝ma，解得线框的加速度：，故B正确；
A、F＝4N时，时间为1s，此时线框完全进入磁场，线框中的电流为零，当ab边和dc边都在磁场中切割磁感线，此时线框的速度为v1＝at1＝2m/s
线框的边长为：Lm＝1m。dc边产生的电动势为：E＝BLv＝1×1×2V＝2V，根据右手定则可知，c点电势大于d点电势，则电势差：Udc＝﹣E＝﹣2V，故A错误；
D、从进入磁场到开始离开磁场运动的时间为2s，磁场的宽度：dm＝4m，故D错误；
C、根据匀变速直线运动的位移—时间公式，所以解得线框穿过磁场的时间：，故C正确。
故选：BC。
（多选）（2022秋 古冶区校级期末）如图所示，水平放置的平行光滑导轨，间距为L，左侧接有电阻R，导体棒AB质量为m，电阻不计，向右运动的初速度为v0，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直轨道平面向下，导轨足够长且电阻不计，导体棒从开始运动至停下来，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒AB内有电流通过，方向是B→A
B．磁场对导体棒AB的作用力水平向右
C．通过导体棒的电荷量为
D．导体棒在导轨上运动的最大距离为
【解答】解：A、根据法拉第电磁感应定律可得感应电动势为E＝BLv，导体棒切割磁感应线且与R构成闭合回路，则电路中有电流；根据右手定则可知导体棒AB内的电流方向是B→A，故A正确；
B、根据左手定则可知磁场对导体棒AB的作用力水平向左，故B错误；
C、取向右为正方向，对导体棒根据动量定理可得：﹣BLt＝0﹣mv0，其中：t＝q，解得通过导体棒的电荷量为q，故C正确；
D、根据电荷量的计算公式可得：qt，解得导体棒在导轨上运动的最大距离为：x，故D正确。
故选：ACD。
（2023 光明区一模）如图所示，轻质定滑轮上绕有细线，线的一端系一质量为2m的重物，另一端系一质量为m的金属杆。在竖直平面内有间距为L的足够长的平行金属导轨PQ、EF，在QF之间连接有阻值为R的电阻，导轨与金属杆电阻忽略不计，磁感应强度为B的匀强磁场与导轨平面垂直，将重物由静止释放，运动过程中金属杆始终与导轨垂直且接触良好，忽略所有摩擦，重力加速度为g。求：
（1）重物由静止释放的瞬间，金属杆的加速度大小；
（2）重物匀速下降的速度大小v；
（3）重物从释放到下降h的过程中，电阻R中通过的电量。
【解答】解：（1）重物由静止释放瞬间，设金属杆的加速度大小为a，细线的拉力大小为T，根据牛顿第二定律可得：
对重物有：2mg﹣T＝2ma
对金属杆有：T﹣mg＝ma
解得：
（2）重物匀速下降时，金属杆受到的安培力F方向竖直向下，对重物和金属杆组成的整体由平衡条件得：
2mg＝mg+F
安培力：F＝BIL
感应电流：I
感应电动势：E＝BLv
解得：
（3）重物从释放到下降h的过程中，金属杆上升了h。
此过程金属杆产生的平均感应电动势为：
平均感应电流为：
电阻R中通过的电量：
解得：。
答：（1）重物由静止释放的瞬间，金属杆的加速度大小为；
（2）重物匀速下降的速度大小v为；
（3）重物从释放到下降h的过程中，电阻R中通过的电量为。
（2023 汕头二模）如图，一有界区域内，存在着磁感应强度大小均为B，方向分别垂直于光滑水平桌面向下的匀强磁场，磁场宽度为l。边长也为l的正方形单匝金属线框P、Q的质量均为m、电阻均为R。它们置于光滑桌面上，其左、右边与磁场边界平行，开始时P、Q靠在一起但彼此绝缘且不粘连。使它们一起以大小为v0的初速度向右运动并进入磁场，线框所用金属丝的宽度可忽略不计。
（1）用水平推力作用在线框Q上，使P、Q一起以速度v0匀速穿过磁场区，求整个过程中水平推力的最大值；
（2）不加外力，让线框P、Q在磁场中自由滑行，结果线框Q恰好能穿过磁场区。求线框P、Q在整个过程中产生的焦耳热QP与QQ之比。
【解答】解：（1）当线框Q进入磁场而线框P还没有出磁场时，水平推力最大，根据平衡条件可得：F＝2BIl
根据闭合电路欧姆定律可得：I
联立解得：F
（2）设Q的右边刚进入磁场时的速度大小为v1，取向右为正方向，对P和Q根据动量定理可得：
﹣Blt1＝2mv1﹣2mv0，其中qt1
则有：Bql＝2mv0﹣2mv1
设P离开磁场时的速度大小为v2，根据动量定理可得：﹣Blt2＝mv2﹣mv1，则有：Bql＝mv1﹣mv2
对Q根据动量定理可得：2Bql＝mv1
联立解得：v1v0，v2v0
P在进入磁场过程中产生的焦耳热为：Q1
解得：Q1
P在离开磁场过程中产生的焦耳热为：Q2
解得：Q2
Q在运动过程中产生的焦耳热为：QQ
解得：QQ
线框P、Q在整个过程中产生的焦耳热QP与QQ之比为：
解得：
答：（1）用水平推力作用在线框Q上，使P、Q一起以速度v0匀速穿过磁场区，则整个过程中水平推力的最大值为；
（2）线框P、Q在整个过程中产生的焦耳热QP与QQ之比为15：8。
（2023 宜春一模）如图所示，与水平方向成夹角θ＝37°的两平行金属导轨BC、B′C′，左端连接水平金属轨道BAA'B'，右端用绝缘圆弧连接水平金属导轨CD、C′D′，并在轨道上放置静止的金属导体棒b。在水平轨道末端安装绝缘的无摩擦固定转轴开关，导体棒b经过DD'两点（无能量损失），进入半径r＝2.7m与水平面垂直的半圆形导轨。转轴开关会顺时针转动90°以挡住后面的金属棒。EE'两点略高于DD'，可无碰撞通过。半圆形导轨与足够长的水平金属导轨HG、H'G'平滑连接，末端连接C＝1F的电容器。已知轨道间距为d＝1m，BC、B′C′长度L＝10m，a、b棒质量均为1kg，a电阻为R＝2Ω，b电阻不计，BC、B′C′平面，CD、C'D'平面，HG、H'G'平面内均有垂直于该平面的磁场B＝1T，不计一切摩擦，导轨电阻不计，g＝10m/s2。现将导体棒a自BB'静止释放，求：
（1）若导体棒a运动至CC'前已匀速，求下滑的时间及匀速下滑时速度；
（2）CD、C'D'水平金属导轨足够长，要求a、b棒可在水平轨道上达到共速且不会发生碰撞，则b初始位置至少应离CC'多远；
（3）b过DD'后，转轴开关将a挡住，求b在轨道HG、H'G'滑行的最终速度。
【解答】解：（1）对a棒，当其匀速下滑时由平衡条件有：mgsinθ＝BId
解得：I6A
所以感应电动势：E＝IR＝6×2V＝12V
又根据动生电动势公式：E＝Bdv
代入数据可得棒匀速运动的速度：v1＝12m/s
对a有：
又：
联立解得：
（2）a滑上CD、C′D′后与b动量守恒，则：mv1＝2mv2
解得：v2＝6m/s
以向右方向为正，根据动量定理，对b有：
又根据电流的定义知：
联立代入数据可得：Δx相＝12m
故至少离CC′的距离为12m。
（3）b进入圆轨道时，因为
故沿轨道做圆周运动至GG′，由动能定理有：
可得：v3＝12m/s
对b有：
又根据电容和电流的定义知：
且U＝Bdv
可得：
代入数据可得：v＝6m/s
答：（1）导体棒a运动至CC'前已匀速，下滑的时间为，匀速下滑时速度为12m/s；
（2）b初始位置至少应离CC'为12m；
（3）b过DD'后，转轴开关将a挡住，求b在轨道HG、H'G'滑行的最终速度为6m/s。
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专题提升Ⅸ 电磁感应中的能量和动量问题
目录
模块一 知己知彼 1
模块二 知识掌握 2
知识点一 电磁感应中的能量问题 2
知识点二 电磁感应中的动量问题 5
模块三 巩固提高 8
模块一 知己知彼
考点分布 命题趋势
1、理解电磁感应现象中的能量转化，会用动能定理、能量守恒定律分析有关问题. 2、会用动量定理、动量守恒定律分析电磁感应的有关问题． 3、通过能量和动量等知识在电磁感应现象中的应用的实例，感受物理中科学技术与社会的紧密联系，体会科学知识的应用价值 电磁感应定律的综合应用作为高考中的重难点内容,再现率高,平均难度大,常与力学问题动量与能量问题相结合,对综合分析能力要求较高.题型全,配值占比高.未来高考仍将对本讲内容保持这一态势,与新技术新情境相结合的风格继续维持
模块二 知识掌握
知识点一 电磁感应中的能量问题
【重难诠释】
1．电磁感应现象中的能量转化
安培力做功
2．焦耳热的计算
(1)电流恒定时，根据焦耳定律求解，即Q＝I2Rt.
(2)感应电流变化，可用以下方法分析：
①利用动能定理，求出克服安培力做的功W克安，即Q＝W克安．
②利用能量守恒定律，焦耳热等于其他形式能量的减少量．
（2023春 湟中区校级期末）如图所示，固定在水平面上的光滑金属导轨AB、CD，导轨一端连接电阻R，导轨宽为L，垂直于导轨平面向下存在磁感应强度为B的匀强磁场，将一质量为m、电阻为r的导体棒垂直导轨放置，用恒力F向右拉动导体棒，经过距离x导体棒恰好达到最大速度v，则在此过程中（ ）
A．外力F
B．从开始至速度最大所用的时间t
C．定值电阻产生的焦耳热QR
D．通过导体棒的电荷量q
（2023 西城区校级三模）如图所示，间距为L的两倾斜且平行的金属导轨固定在绝缘的水平面上，金属导轨与水平面之间的夹角为θ，电阻不计，空间存在垂直于金属导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，导轨上端接有阻值为R的定值电阻。质量为m的导体棒ab从金属导轨上某处由静止释放，开始运动Δt时间后做匀速运动，速度大小为v，且此阶段通过定值电阻R的电量为q。已知导轨平面光滑，导体棒的电阻为r，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒ab先做匀加速运动，后做匀速运动
B．导体棒稳定的速度大小
C．导体棒从释放到其速度稳定的过程中，其机械能的减少量等于电阻R产生的焦耳热
D．导体棒从释放到其速度稳定的过程中，位移大小为
（2023春 兴庆区校级期末）如图所示，垂直于纸面的匀强磁场磁感应强度大小为B，纸面内有一由均匀金属丝制成的等腰直角三角形线框abc，直角边边长为L，bc边与磁场边界平行，线框总电阻为R。线框在向左的拉力作用下以速度v匀速进入磁场。下列分析正确的是（ ）
A．线框进入磁场过程中有顺时针方向的感应电流
B．线框完全进入磁场过程中产生的热量为
C．线框ab边中点进入磁场时拉力的功率大小为
D．线框进入磁场过程中通过线框某一横截面的电荷量为
（2023 乐清市校级模拟）如图甲所示，一质量为M、长为L的导体棒，通过两根长均为l、质量可不计的细导线系在同一水平面上的固定连接点上.在导体棒所在空间存在方向竖直向上、大小为B的匀强磁场。细导线通过开关S与电阻R和直流电源串接起来。不计空气阻力和其它电阻，导体棒运动时，细导线偏离竖直方向用图示的角度θ来表示。接通S，导体棒恰好在时处于静止状态；将导体棒从移到（δ为小量），静止后撤去外力，导体棒开始振动起来，则（ ）
A．电源电动势
B．振动周期
C．电阻消耗的焦耳热
D．角度θ随时间t变化的图线为图乙
（2023 莱阳市校级模拟）如图所示，间距均为L＝1m的两段水平光滑导轨和足够长的倾斜导轨平行固定，两段水平导轨通过外层绝缘的导线交叉连接，倾斜导轨底端接有阻值为R＝1Ω的定值电阻，水平导轨处只存在竖直向上的匀强磁场，倾斜导轨处只存在垂直导轨所在平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小均为2T。倾斜导轨顶端与水平导轨最右端的高度差为h＝0.45m、水平间距为x＝1.2m。两质量均为m＝1kg、阻值均为1Ω的导体棒垂直静置在两段水平导轨上，某时刻给导体棒1一水平向左的初速度v0＝10m/s，一段时间后导体棒2刚好由倾斜导轨上端无碰撞地滑上倾斜导轨。已知导体棒2与倾斜导轨间的动摩擦因数为，在导轨上运动过程导体棒始终与导轨垂直且接触良好，忽略空气阻力，重力加速度g＝10m/s2。求：
（1）倾斜导轨与水平面间夹角α的正切值；
（2）导体棒2离开水平导轨前的瞬间，导体棒1的加速度大小；
（3）整个过程系统产生的电热和因摩擦产生的热量。
知识点二 电磁感应中的动量问题
【重难诠释】
1.动量定理在电磁感应中的应用
导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，安培力的冲量为：I安＝BLt＝BLq，通过导体棒或金属框的电荷量为：q＝Δt＝Δt＝n·Δt＝n，磁通量变化量：ΔΦ＝BΔS＝BLx.如果安培力是导体棒或金属框受到的合外力，则I安＝mv2－mv1.当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时用动量定理求解更方便．
2.动量守恒定律在电磁感应中的应用
在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力为系统内力，如果两安培力等大反向，且它们受到的外力的合力为0，则满足动量守恒条件，运用动量守恒定律求解比较方便．这类问题可以从以下三个观点来分析：
(1)力学观点：通常情况下一个金属棒做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属棒做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属棒以共同的速度匀速运动．
(2)动量观点：如果光滑导轨间距恒定，则两个金属棒的安培力大小相等，通常情况下系统的动量守恒．
(3)能量观点：其中一个金属棒动能的减少量等于另一个金属棒动能的增加量与回路中产生的焦耳热之和．
（2023 天河区一模）如图，足够长的磁铁在空隙产生一个径向辐射状磁场，一个圆形细金属环与磁铁中心圆柱同轴，由静止开始下落，经过时间t，速度达最大值v，此过程中环面始终水平。已知金属环质量为m、半径为r、电阻为R，金属环下落过程中所经过位置的磁感应强度大小均为B，重力加速度大小为g，不计空气阻力，则（ ）
A．在俯视图中，环中感应电流沿逆时针方向
B．环中最大的感应电流大小为
C．环下落过程中所受重力的冲量等于其动量变化
D．t时间内通过金属环横截面的电荷量为
（2022春 定远县校级期中）涡流制动是磁悬浮列车在高速运行时进行制动的一种方式。某研究所制成如图所示的车和轨道模型来定量模拟磁悬浮列车的涡流制动过程。车厢下端安装有电磁铁系统，能在长L1＝0.6m、宽L2＝0.2m的矩形区域内产生竖直方向的匀强磁场，磁感应强度可随车速的减小而自动增大（由车内速度传感器控制），但最大不超过B1＝2T。长大于L1、宽也为L2的单匝矩形线圈，间隔铺设在轨道正中央，其间隔也为L2，每个线圈的电阻为R＝0.1Ω，导线粗细忽略不计。在某次实验中，模型车速度为v＝20m/s时，启动电磁铁系统开始制动，车立即以加速度a＝2m/s2做匀减速直线运动，当磁感应强度增加到B1时就保持不变，直到模型车停止运动。已知模型车的总质量为m＝36kg，空气阻力不计。不考虑磁感应强度的变化引起的电磁感应现象以及线圈激发的磁场对电磁铁产生磁场的影响。则模型车的制动距离为（ ）
A．200m B．50m C．106.25m D．137.75m
某同学设计的“电磁弹射”装置如图所示，足够长的光滑金属导轨（电阻不计）水平固定放置，间距为l，磁感应强度大小为B的磁场垂直于轨道平面向下．在导轨左端跨接电容为C的电容器，另一质量为m、电阻为R的导体棒垂直于导轨摆放．先断开电键S，对电容器充电，使其带电量为Q，再闭合电键S，关于该装置及导体棒的运动情况下列说法正确的是（ ）
A．要使导体棒向右运动，电容器的b极板应带正电
B．导体棒运动的最大速度为
C．导体棒运动过程中，流过导体棒横截面的电量为Q
D．导体棒运动过程中感应电动势的最大值为
（2023春 黄埔区校级期中）如图甲所示，某同学设计了一个舰载机电磁阻拦系统模型。当飞机以速度v1＝40m/s着舰时，其前轮立刻勾住阻拦系统的动子，一起以v0运动，阻拦系统工作原理如图乙所示，用于阻拦飞机的动子（图中未画出）与线圈绝缘并固定，线圈带动动子，可以在水平导轨上无摩擦滑动。线圈位于导轨间的辐向磁场中，其所在处的磁感应强度大小均为B＝0.1T。当飞机勾住动子时，开关接通定值电阻R0＝4.5Ω．同时对动子施加一个与运动方向相反的阻力f，使飞机与动子做匀减速直线运动，在t＝4s时撤去阻力f，一段时间后，飞机与动子速度减为零，已知飞机与动子在此过程的v﹣t图像如图丙所示，飞机的质量M＝45kg，线圈匝数n＝50匝，每匝周长l＝lm，动子和线圈的总质量m＝5kg，线圈的电阻R＝0.5Ω，不计空气阻力，求：
（1）v0的大小；
（2）通过电阻R0的电流与飞机和动子速度v大小的关系式；
（3）阻力f与飞机和动子速度v大小的关系式；
（4）飞机和动子停止时距离着舰点的距离。
（2023 衡水二模）如图所示，光滑平行轨道abcc'd的水平部分（虚线右侧）存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场，bc段轨道宽度为2L，c'd段轨道宽度为L，质量为m、长度为2L的均质金属棒Q静止在c'd段，将另一完全相同的金属棒P从ab段距水平轨道高h处无初速释放，由于回路中除两金属棒外的电阻极小，bc段和c'd段轨道均足够长，一段时间后两金属棒均匀速运动，重力加速度大小为g，求：
（1）金属棒P在磁场中运动的最小速度vP；
（2）两金属棒距离最近时金属棒Q两端的电压U。
模块三 巩固提高
（2023 仓山区校级模拟）如图所示，足够长的平行金属导轨竖直放置在垂直于导轨平面向里的匀强磁场中，两根质量相同的导体棒a和b垂直于导轨放置，导体棒与导轨紧密接触且可自由滑动。先固定a，释放b，当b的速度达到v时，再释放a，经过时间t后，a的速度也达到v，重力加速度为g，不计一切摩擦。以下说法中正确的是（ ）
A．释放a之前，b运动的时间等于t
B．释放a之前，b下落的高度小于
C．释放a之后的时间t内，a下落的加速度小于g
D．a和b的加速度最终都等于g
（2023 涟源市二模）如图所示，水平间距为L，半径为r的二分之一光滑圆弧导轨，bb'为导轨最低位置，aa'与cc'为最高位置且等高，右侧连接阻值为R的电阻，圆弧导轨所在区域有磁感应强度为B、方向竖直向上的匀强磁场。现有一根金属棒在外力的作用下以速度v0从aa'沿导轨做匀速圆周运动至cc'处，金属棒与导轨始终接触良好，金属棒与导轨的电阻均不计，则该过程中（ ）
A．经过最低位置bb'处时，通过电阻R的电流最小
B．经过最低位置bb'处时，通过金属棒的电流方向为b'→b
C．通过电阻R的电荷量为
D．电阻R上产生的热量为
（2022秋 清远期末）“福建舰”是我国完全自主设计并建造的首艘航空母舰，采用平直通长飞行甲板，配置电磁弹射和阻拦装置，电磁阻拦技术的原理示意图如图所示。在磁感应强度方向垂直纸面向里的匀强磁场中，两根平行金属轨道MN、PQ固定在水平面内，MP间接有阻值为R的电阻。一个长度与平行金属导轨间距相等的金属导体棒ab垂直搁置在两导轨之间，与轨道接触良好。舰载机着舰时关闭动力系统，通过绝缘阻拦索钩住轨道上的一根金属棒ab，导体棒ab被钩住之后立即获得了和舰载机相同的速度，接着舰载机和金属棒一起减速滑行了一段距离后停下。已知除安培力外，舰载机和金属棒一起做减速运动时的阻力为f，不考虑阻拦索的长度变化。下列说法正确的是（ ）
A．舰载机勾住绝缘阻拦索钩之后，金属棒ab中感应电流的方向为由a到b
B．舰载机勾住绝缘阻拦索钩之后，金属棒两端的电压逐渐增加
C．若仅增加匀强磁场的磁感应强度，其他条件不变，则舰载机和金属棒滑行距离变短
D．从舰载机勾住绝缘阻拦索钩到两者静止的过程中，回路中产生的焦耳热等于舰载机着舰时的动能
（2023春 青羊区校级月考）如图所示，足够长的光滑导轨OM、ON固定在竖直平面内，电阻不计，两导轨与竖直方向夹角均为30°。空间存在垂直导轨平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、长为L的导体棒在竖直向上的拉力F作用下，从O点开始沿y轴向下以大小为v的速度做匀速直线运动，且棒始终与y轴垂直对称，与导轨接触良好。导体棒单位长度电阻值为r，重力加速度为g。则在导体棒从开始运动到离开导轨的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒中的感应电流逐渐增大
B．导体棒沿导轨下落过程中减小的机械能等于导体棒产生的焦耳热
C．通过回路中某横截面上的电荷量为
D．导体棒在导轨上运动时拉力F与y的关系为
（2023 浙江）如图所示，质量为M、电阻为R、长为L的导体棒，通过两根长均为l、质量不计的导电细杆连在等高的两固定点上，固定点间距也为L。细杆通过开关S可与直流电源E0或理想二极管串接。在导体棒所在空间存在磁感应强度方向竖直向上、大小为B的匀强磁场，不计空气阻力和其它电阻。开关S接1，当导体棒静止时，细杆与竖直方向的夹角；然后开关S接2，棒从右侧开始运动完成一次振动的过程中（ ）
A．电源电动势E0
B．棒消耗的焦耳热Mgl
C．从左向右运动时，最大摆角小于
D．棒两次过最低点时感应电动势大小相等
（2022秋 海淀区校级期末）如图所示，水平放置的光滑平行金属导轨MN、PQ处于竖直向下的足够大的匀强磁场中，导轨间距为L，导轨的右端接有阻值为R的电阻。一根质量为m，电阻为r的金属棒垂直导轨放置，并与导轨接触良好。现使金属棒以一定初速度向左运动，它先后通过位置a、b后，到达位置c处刚好静止。已知磁场的磁感应强度为B，金属棒通过a、b处的速度分别为va、vb，a、b间的距离等于b、c间的距离，导轨的电阻忽略不计。下列说法中正确的是（ ）
A．金属棒运动到a处时的加速度大小为
B．金属棒运动到b处时通过电阻的电流方向由N指向Q
C．金属棒在a处的速度va是其在b处速度vb的倍
D．金属棒在a→b过程与b→c过程中通过电阻的电荷量相等
（多选）（2023春 武汉期中）如图甲所示，在MN、OP间存在一匀强磁场，t＝0时，一粗细均匀的正方形金属线框abcd在水平向右的外力F作用下紧贴MN从静止开始做匀加速运动，外力F随时间t变化的图线如图乙所示，已知磁场磁感应强度B＝1T，线框质量m＝0.5kg，线框与水平面间的滑动摩擦系数为μ＝0.2，重力加速度取g＝10m/s2，以下说法正确的有（ ）
A．F＝4N时，电势差Udc＝0.5V
B．线框加速度a＝2m/s2
C．线框穿过磁场的时间
D．MN、PQ间距离d＝5m
（多选）（2022秋 古冶区校级期末）如图所示，水平放置的平行光滑导轨，间距为L，左侧接有电阻R，导体棒AB质量为m，电阻不计，向右运动的初速度为v0，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直轨道平面向下，导轨足够长且电阻不计，导体棒从开始运动至停下来，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒AB内有电流通过，方向是B→A
B．磁场对导体棒AB的作用力水平向右
C．通过导体棒的电荷量为
D．导体棒在导轨上运动的最大距离为
（2023 光明区一模）如图所示，轻质定滑轮上绕有细线，线的一端系一质量为2m的重物，另一端系一质量为m的金属杆。在竖直平面内有间距为L的足够长的平行金属导轨PQ、EF，在QF之间连接有阻值为R的电阻，导轨与金属杆电阻忽略不计，磁感应强度为B的匀强磁场与导轨平面垂直，将重物由静止释放，运动过程中金属杆始终与导轨垂直且接触良好，忽略所有摩擦，重力加速度为g。求：
（1）重物由静止释放的瞬间，金属杆的加速度大小；
（2）重物匀速下降的速度大小v；
（3）重物从释放到下降h的过程中，电阻R中通过的电量。
（2023 汕头二模）如图，一有界区域内，存在着磁感应强度大小均为B，方向分别垂直于光滑水平桌面向下的匀强磁场，磁场宽度为l。边长也为l的正方形单匝金属线框P、Q的质量均为m、电阻均为R。它们置于光滑桌面上，其左、右边与磁场边界平行，开始时P、Q靠在一起但彼此绝缘且不粘连。使它们一起以大小为v0的初速度向右运动并进入磁场，线框所用金属丝的宽度可忽略不计。
（1）用水平推力作用在线框Q上，使P、Q一起以速度v0匀速穿过磁场区，求整个过程中水平推力的最大值；
（2）不加外力，让线框P、Q在磁场中自由滑行，结果线框Q恰好能穿过磁场区。求线框P、Q在整个过程中产生的焦耳热QP与QQ之比。
（2023 宜春一模）如图所示，与水平方向成夹角θ＝37°的两平行金属导轨BC、B′C′，左端连接水平金属轨道BAA'B'，右端用绝缘圆弧连接水平金属导轨CD、C′D′，并在轨道上放置静止的金属导体棒b。在水平轨道末端安装绝缘的无摩擦固定转轴开关，导体棒b经过DD'两点（无能量损失），进入半径r＝2.7m与水平面垂直的半圆形导轨。转轴开关会顺时针转动90°以挡住后面的金属棒。EE'两点略高于DD'，可无碰撞通过。半圆形导轨与足够长的水平金属导轨HG、H'G'平滑连接，末端连接C＝1F的电容器。已知轨道间距为d＝1m，BC、B′C′长度L＝10m，a、b棒质量均为1kg，a电阻为R＝2Ω，b电阻不计，BC、B′C′平面，CD、C'D'平面，HG、H'G'平面内均有垂直于该平面的磁场B＝1T，不计一切摩擦，导轨电阻不计，g＝10m/s2。现将导体棒a自BB'静止释放，求：
（1）若导体棒a运动至CC'前已匀速，求下滑的时间及匀速下滑时速度；
（2）CD、C'D'水平金属导轨足够长，要求a、b棒可在水平轨道上达到共速且不会发生碰撞，则b初始位置至少应离CC'多远；
（3）b过DD'后，转轴开关将a挡住，求b在轨道HG、H'G'滑行的最终速度。
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