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专题提升Ⅲ 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
目录
模块一 知己知彼 1
模块二 知识掌握 2
知识点一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 2
知识点二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题 11
知识点三 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 15
【巩固提高】 18
模块一 知己知彼
考点分布 命题趋势
1、认识有界磁场，知道带电粒子在不同有界磁场中运动的特点 2、会分析带电粒子在有界匀强磁场中的运动. 3、会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题. 4、了解多解成因，会分析带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题． 高考对本讲内容的考查呈现“三高”的特点:一是高频率,即各地高考对本讲内容的考查都保持在较高频次，多次考查;二是高覆盖率,即涉及的知识点众多,涉及的题型全,选择题、计算题均有;三是高难度
模块二 知识掌握
知识点一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
【重难诠释】
1．直线边界
从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等，如图所示．
2．平行边界
3．圆形边界
(1)在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图甲所示．
(2)在圆形磁场区域内，不沿半径方向射入的粒子，入射速度与半径的夹角为θ，出射速度与半径的夹角也为θ，如图乙所示．
4．三角形边界磁场
如图所示是正△ABC区域内某正粒子垂直AB方向进入磁场的临界轨迹示意图．粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示．
（2023春 成都期末）如图，在直角坐标系xOy的第一象限内存在垂直于xOy平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场（图中未画出）。一质量为m、电荷量为+q的粒子从M点以初速度v0（大小未知）射入第一象限，M点的坐标为，初速度v0与x轴负方向成θ＝60°角。经过一段时间后，粒子垂直通过y轴上的N点进入第二象限，不计粒子重力。下列说法正确的是（ ）
A．匀强磁场垂直于xOy平面向外
B．粒子的初速度大小为
C．N点的坐标为
D．粒子从M点运动到N点经过的时间为
【解答】解：A．粒子垂直通过y轴上的N点进入第二象限，根据左手定则可知匀强磁场垂直于xOy平面向里，故A错误；
B．画出粒子的运动轨迹示意图，如图所示：
根据几何关系可知粒子的偏转半径：
由洛伦兹力提供向心力可得：qv0B＝m，解得：，故B正确；
C．由几何关系可得：ON＝R﹣Rcos60°，解得：ON＝2L，故N点坐标为（0，2L），故C错误；
D．由几何关系可知粒子从M点运动到N点轨迹的圆心角为60°，则粒子运动经过的时间为：，故D错误。
故选：B。
（2023春 天河区校级期中）如图所示，虚线框MNPQ内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。a、b、c是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。若不计粒子所受重力，则（ ）
A．粒子a带负电，粒子b、c带正电
B．粒子c在磁场中运动的时间最长
C．粒子c在磁场中的加速度最大
D．粒子c在磁场中的速度最大
【解答】解：A、根据左手定则可知，粒子a带正电，粒子b、c带负电，故A错误；
B、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有
且
解得
三个带电粒子的质量和电荷量都相等，故三个粒子在同一磁场中运动的周期相等，粒子c的轨迹对应的圆心角最大，所以粒子c在磁场中运动的时间最长，故B正确；
CD、根据公式qvB＝ma，可得，c在磁场中运动的半径最小，所以速度最小，加速度最小，故CD错误。
故选：B。
（2023 兰州模拟）如图所示，直角三角形ABC区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，∠B＝90°，∠C＝30°。某种带电粒子（重力不计）以不同速率从BC边上D点垂直BC边射入磁场，速率为v1时粒子垂直AC边射出磁场，速率为v2时粒子从BC边射出磁场，且运动轨迹恰好与AC边相切，粒子在磁场中运动轨迹半径为r1、r2，运动时间为t1、t2。下列说法正确的是（ ）
A．粒子带正电 B．r1：r2＝2：1 C．v1：v2＝3：1 D．t1：t2＝1：4
【解答】解：A、由题意可知粒子在磁场中顺时针偏转，由左手定则判断可知粒子带负电，故A错误；
B、根据题意做出粒子在磁场中运动的轨迹如下图所示：
由图中几何关系可得：r1＝r2
解得粒子在磁场中运动得半径之比：r1：r2＝3：1，故B错误；
C、根据洛伦兹力充当向心力有：，解得粒子在磁场中运动时的速度：
由此可知粒子在磁场中运动的速度之比等于轨迹半径之比，即v1：v2＝r1：r2＝3：1，故C正确；
D、根据粒子在磁场中运动得轨迹可知，速率为v1时粒子在场中偏转了30°，速率为v2时粒子在磁场中偏转了180°，而同一种粒子在相同磁场中运动得周期相同均为：，则可知粒子在磁场中运动的时间之比等于偏转角度之比，即t1：t2＝30°：180°＝1：6，故D错误。
故选：C。
（2023 云南模拟）如图所示，纸面内有一圆心为O，半径为R的圆形磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里。由距离O点0.4R处的P点沿着与PO连线成θ＝30°的方向发射速率大小不等的电子。已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力且不考虑电子间的相互作用。为使电子不离开圆形磁场区域，则电子的最大速率为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：电子的速率最大时，运动轨迹如图，此时电子的运动轨迹与磁场边界相切，
根据得：
电子运动半径最大，速度最大。电子圆周运动的圆心与圆形磁场的圆心以及切点共线，过电子圆周运动的圆心做OP的垂线，由几何关系得
解得：
则最大速率为：
，故ABD错误，C正确。
故选：C。
（2023春 浙江期中）如图所示是一个研究带电粒子在磁场中运动的实验仪器原理图。在y轴上坐标为（0，a）的A点上有一电子发射源，能向与y轴正方向左右夹角各在90°范围内均匀发射速度大小为v0的电子。在x轴上BC范围内有电子接收装置，B点的坐标为（，0），在整个空间加上垂直纸面的匀强磁场时，发现从A点垂直于y轴水平向右射出的速度大小为v0的电子恰好在接收装置上的B点上侧被接收。已知元电荷为e，电子质量为m，只考虑电子在纸面内的运动，忽略相对论效应，不计重力。
（1）求空间分布的匀强磁场磁感应强度的大小和方向；
（2）若从A点向第一象限射出的速度大小为v0的所有电子恰好全部被接收装置上侧接收，试求接收装置BC的长度L；
（3）试求从A点射出被BC收集的电子占所有电子的百分比。
【解答】（1）根据题意，由几何关系确定从A点垂直于y轴水平向右射出的速度大小为v0的电子的轨迹如下图所示：
根据左手定则判断磁感应强度的方向垂直纸面向内；由于洛伦兹力与速度垂直，可以判断从A点垂直于y轴水平向右射出的速度大小为v0的电子的轨迹圆心O′在y轴上，设轨迹半径为r，由几何关系得：，解出r＝2a
根据洛伦兹力提供向心力得：，代入r值解得：B；
（2）若从A点向第一象限射出的速度大小为v0的所有电子恰好全部被接收装置上侧接收，则AC应该是第一象限某方向的射出的速度大小为v0的电子的圆轨迹的直径，根据几何关系得：L，代入r值解得：L＝（）a；
（3）由于从A点发射的电子速度都相同，则所有电子圆轨迹的半径相同，将第一问中的从A点垂直于y轴水平向右射出的速度大小为v0的电子的轨迹逆时针旋转，转到如下图所示位置时，电子刚好也到达B点：
根据几何关系确定从A点发出电子的速度方向与x轴正方向夹角为120°，则从A点射出被BC收集的电子占所有电子的百分比为η%＝67%。
答：（1）空间分布的匀强磁场磁感应强度的大小为，方向垂直纸面向内；
（2）接收装置BC的长度L为（）a；
（3）从A点射出被BC收集的电子占所有电子的百分比为67%。
（2023 河南模拟）如图所示在xOy平面直角坐标内，在0≤x≤d范围内充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为2B，在d＜x≤5d范围内充满垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电量为q的带正电粒子从原点O以一定的速度沿着x轴正方向进入磁场，粒子通过第一个磁场时速度方向改变了60°，不计粒子重力。求：
（1）粒子进入磁场时的速度大小；
（2）粒子通过x＝5d线时到x轴的距离；
（3）粒子通过两个磁场所用的总时间。
【解答】解：（1）粒子在磁场中做运动圆周运动，运动轨迹如图所示
由几何知识可知：r
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qv×2B＝m
解得：v
（2）粒子进入右侧磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB＝m
解得：r'
由几何知识粒子，粒子射出磁场时距离x轴的距离y＝r﹣rcos60°（1﹣cos60°）
（3）粒子在左侧磁场做匀速圆周运动的周期T，在右边磁场中做匀速圆周运动的周期T′
粒子在左侧磁场中转过的圆心角α＝60°，在右侧磁场中转过的圆心角β＝120°
粒子通过两个磁场的总时间t＝t1+t2
解得：t
答：（1）粒子进入磁场时的速度大小是；
（2）粒子通过x＝5d线时到x轴的距离是；
（3）粒子通过两个磁场所用的总时间是。
知识点二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题
【重难诠释】
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解．
(1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
(2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中的运动时间越长．
(3)当比荷相同，速率v变化时，圆心角越大的，运动时间越长．
（2023春 长安区校级期末）如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc段是半径为R的四分之一圆弧，ab、dc的延长线通过圆弧的圆心，Ob长为R。一束质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场，不计粒子间的相互作用和重力。则从圆弧边界bc射出的粒子在磁场中飞行的最短时间为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题可知，带电粒子在磁场中匀速圆周运动：Bqv，T
联立解得：T
如图所示，设当粒子从d点射出，且∠dOb＝θ，故O′d⊥Od时，θ最大，此时粒子轨迹所对应的圆心角最小
由几何关系有：sinθ
所以：θ＝30°，
故粒子轨迹所对应的圆心角为120°，粒子在磁场中飞行的最短时间为：tT，故ABD错误，C正确。
故选：C。
（2023春 思明区校级期中）如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc段是半径为R的四分之一圆弧，ab、cd的延长线通过圆弧的圆心，Ob长为R。一束质量为m、电荷量为正q的粒子，在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场，其中M、N是圆弧边界上的两点，不计粒子间的相互作用和重力。则下列分析中正确的是（ ）
A．从M点射出的粒子速率可能大于从N点射出粒子的速率
B．从边界cd射出的粒子在磁场中运动的时间一定小于从圆弧bc段射出的粒子
C．从圆弧bc射出的所有粒子中，从bc中点射出的粒子所用时间最短
D．从圆弧bc射出的所有粒子中，粒子所用最短时间为
【解答】解：A、粒子受到的洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律可得：
解得：
粒子的运动轨迹如图1所示：
由图可知，从M点射出粒子的圆周半径更小，则速率更小，故A错误；
BCD、采用“伸缩圆”的方法得到粒子的运动轨迹如图2所示：
粒子做圆周运动的周期相同，粒子的运动时间
由几何关系可知，弦切角等于圆心角的一半，当弦切角越小，运动时间越短，根据轨迹图可知，当弦与bc圆弧边界相切时，入射速度为的方向与弦的夹角最小，由几何关系可得：
cosα，所以α＝60°
所以从圆弧bc射出的所有粒子中，运动时间最短的位置不是bc中点。
从圆弧bc射出的所有粒子中，运动时间最短粒子轨迹圆心在b点，根据几何关系可知轨迹对应的圆心角为120°
所以，粒子在磁场中运动的最短时间为：tmin，即tmin。
由上图可知，从边界cd射出的粒子在磁场中运动的时间不一定小于从圆弧bc段射出的粒子在磁场中运动的时间，故BC错误、D正确。
故选：D。
（2022秋 雁峰区校级期末）如图所示，某真空室内充满匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场内有一块足够长的平面感光板MN，点a为MN与水平直线ab的交点，MN与直线ab的夹角为θ＝53°，ab间的距离为d＝20cm。在b点的点状的电子源向纸面内各个方向发射电子，电子做圆周运动的半径为r＝10cm，不计电子间的相互作用和重力，sin53°＝0.8，则MN上被电子打中的区域的长度为（ ）
A．16cm B．20cm C．24cm D．28cm
【解答】解：电子从b点射出后在磁场中做匀速圆周运动，由左手定则可知，电子在磁场沿顺时针方向做匀速圆周运动，ab间的距离d＝20cm＝2r
如图所示的两个圆分别表示电子打在板上的两个临界情况，一个打在a点，一个打在C点，打在C点的电子轨迹恰好与板相切，过b点做MN的垂线bD，过O1做bD垂线O1E。
由几何知识可得：bD＝absin53°＝20sin53°cm＝16cm
又因DE＝O1C＝10cm
所以bE＝bD﹣DE＝16cm﹣10cm＝6cm
可得CD＝O1E，代入数据解得：CD＝8cm
所以MN上被电子打中的区域的长度为aC＝aD+CD＝abcos53°+CD＝20cos53°cm+8cm＝20cm，故B正确，ACD错误。
故选：B。
知识点三 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
【重难诠释】
多解的原因：
(1)磁场方向不确定形成多解；
(2)带电粒子电性不确定形成多解；
(3)临界状态不唯一形成多解；
(4)运动的往复性形成多解．
解决此类问题，首先应画出粒子的可能轨迹，然后找出圆心、半径的可能情况．
（多选）（2023 五华区校级模拟）如图所示，纸面内半径为R、圆心为O的圆形区域外存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，纸面内的线段PA与圆形区域相切于A点，。P点处有一粒子源，可以沿PA方向，以不同的速率射出质量为m，电荷量为q的正电粒子，（忽略粒子间的相互作用，不计重力）要使粒子射入圆形区域内，则粒子的速率可能为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：粒子运动轨迹与圆相切时的运动轨迹如下图所示：
设粒子轨迹半径为r，由几何知识得：（r﹣R）2+（2R）2＝（r+R）2，
解得：r＝3R
粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有：
解得：
故当粒子速度满足时都可以进入圆形磁场区域，故AB错误，CD正确。
故选：CD。
（多选）（2023 沙坪坝区校级模拟）如图所示，等腰梯形abcd区域（包含边界）存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边长ad＝dc＝cb＝l，ab＝2l，一质量为m、电量为q的正电粒子从a点沿着ad方向射入磁场中，不计粒子的重力，为使粒子从cb边射出磁场区域，粒子的速度可能为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意作出粒子的运动轨迹，如图所示；
由几何关系可知，当粒子从c点飞出时，半径为
粒子从b点飞出时，半径为
由牛顿第二定律有
则可得，代入数据可得
解得为使粒子从cb边射出磁场区域，粒子的速度范围为，故BC可能，AD不可能。
故选：BC。
（多选）（2023 贵州模拟）如图所示，匀强磁场垂直纸面向里，其边界如图所示，磁场的磁感应强度大小为B，半圆形边界的半径为R，O为半圆的圆心，ab是半圆的直径，边界上c点到a的距离为R，a、b、c、O在同一直线上，从c点沿垂直边界、垂直磁场向上射出速度大小不同的质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，粒子均能从圆弧（含a、b点）上射出磁场，不计粒子的重力和粒子间作用，则能从圆弧边界射出的粒子（ ）
A．粒子速度大小范围为
B．粒子的速度越大，粒子在磁场中运动的时间越短
C．从圆弧面射出后能到达b点的粒子速度大小可能为
D．从圆弧面射出后经过O点的粒子在磁场中做圆周运动的半径为R
【解答】解：A、分析可知粒子恰好从a点射出，粒子有最小速度；恰好从b点射出，则粒子有最大速度；由几何关系可得粒子在磁场中做圆周运动的最小半径和最大半径分别为，rmaxR；由洛伦兹力提供向心力得，解得；可得，，即粒子速度的取值范围为，故A正确；
C、从圆弧面射出后能到达b点的粒子的运动轨迹如图甲所示
由几何关系可知，粒子做圆周运动的圆心一定在a点，轨道半径为R，则此种情况下根据洛伦兹力提供向心力：，粒子的速度大小为，故C正确；
B、如图乙所示
由图中几何关系可知，从圆弧面射出后能到达b点的粒子的运动轨迹所对应的圆心角最小，根据周期公式：，所以粒子运动的时间为：，可知从圆弧面射出后能到达b点的粒子在磁场中的运动时间最小，可知粒子的速度越大，粒子在磁场中运动的时间并不越短，故B错误；
D、从圆弧面射出后经过O点的粒子的运动轨迹如图丙所示
由图可知粒子在磁场中做圆周运动的半径小于R，故D错误。
故选：AC。
【巩固提高】
（多选）（2023 湖南模拟）如图所示，长方形abcd区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，区域内的点O处有一粒子源，O点离ab边距离为0.25L，离bc边距离为L，粒子源以垂直ab边指向dc边的速度向磁场内发射不同速率带正电的粒子，已知ab边长为2L、bc边长为L，粒子质量均为m、电荷量均为q，不计粒子重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．从ab边射出的粒子的运动时间均相同
B．从bc边射出的粒子在磁场中的运动时间最长为
C．粒子有可能从c点离开磁场
D．粒子要想离开长方形区域，速率至少要大于
【解答】解：A．粒子在磁场做圆周运动的可能运动轨迹如图所示
从ab边射出的粒子做匀速圆周运动的半径不同，由T可知，粒子运动周期相同，但粒子对应的圆心角不相同，则运动时间也不同，故A错误；
B．从bc边射出的粒子，最大圆心角即与bc边相切的轨迹2，切点处对应圆心角为180°，时间为
，其余粒子圆心角均小于此值，故B正确；
C．粒子与cd边相切的轨迹如4，由几何关系知其轨迹半径为0.75L，切点在c点左侧，故粒子不可能过c点，故C错误；
D．粒子要想离开长方形区域的临界轨迹如1，由几何关系得其轨迹半径为0.25L，设此时速率为v，则有
解得
粒子要离开长方形区域，速率至少为，故D正确。
故选：BD。
（多选）（2022秋 石家庄期末）真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为+q的粒子（不计重力）沿着与MN夹角θ＝30°的方向射入磁场中，刚好没能从PQ边界射出磁场。下列说法正确的是（ ）
A．粒子射入磁场的速度大小为
B．粒子射入磁场的速度大小为
C．粒子在磁场中运动的时间为
D．粒子在磁场中运动的时间为
【解答】解：AB．根据题意可以分析粒子到达PQ边界时速度方向与边界线相切，画出运动的轨迹如图：
则根据几何关系可知：l＝r+rcos30°
在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力：
解得：，故A正确，B错误；
CD．粒子在磁场中运动的周期为：
由几何关系可知粒子转过的圆心角为300°，则粒子在磁场中运动的时间为：，故C错误，D正确。
故选：AD。
（多选）（2022秋 雁塔区校级期末）如图所示为圆形区域的匀强磁场，区域半径为R0，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，P点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为的某种带正电粒子，已知该带电粒子的质量为m、电荷量为q，不考虑带电粒子的重力，则以下说法正确的是（ ）
A．带电粒子做圆周运动的轨道半径均为2R0
B．所有粒子离开磁场时，动能均相等
C．粒子在磁场中的运动时间可能为
D．粒子在磁场中的运动时间可能为
【解答】解：A、根据洛伦兹力提供向心力可得：qvB＝m，解得：R，代入v可得R＝2R0，即带电粒子做圆周运动的轨道半径均为2R0，故A正确；
B、由于洛伦兹力不做功，所以所有粒子离开磁场时动能均相等，故B正确；
C、粒子在磁场中的运动周期为：T，假设粒子在磁场中的运动时间为t时，设粒子轨迹对应的圆心角为θ，则有：t，解得：θ，此时两质点运动轨迹如图所示：
根据几何关系可得粒子轨迹对应的弦为圆的直径，此时粒子轨迹对应的圆心角最大，所以此种情况有可能，故C正确；
D、假设粒子在磁场中的运动时间为t′时，设粒子轨迹对应的圆心角为α，则有：t′，解得：α，此种情况不可能，故D错误。
故选：ABC。
（2023 徐州模拟）如图所示，真空中四个绝缘圆弧柱面彼此相切，垂直纸面固定放置，圆弧半径为R，其中柱面1中间位置开一条狭缝。在装置中心O处有一粒子源，无初速释放质量为m、电荷量为+q的粒子。在O与狭缝之间加一电压为U的加速电场。在圆形区域内设计合适的匀强磁场可使离开狭缝的粒子做逆时针方向的循环运动。已知粒子与柱面的碰撞为弹性碰撞，碰撞过程中电荷量没有损失，不计粒子重力及粒子间相互作用。求：
（1）粒子在磁场中运动的速度大小；
（2）四个圆形区域所加磁场的磁感应强度最小值及方向；
（3）在（2）的情境下，若仅同步调整圆形区域2、3、4内的磁场，试导出磁感应强度的所有可能值。
【解答】解：（1）设粒子在磁场中运动的速度大小为v，粒子从O点开始加速到达狭缝过程，由动能定理得：
解得：
（2）根据左手定则可知粒子要做逆时针方向的循环运动，磁场方向必须垂直纸面向里。由洛伦兹力提供向心力得：
解得：
由几何知识可得磁感应强度最小值对应轨迹半径的最大值（设为rm）。做出临界情况下的轨迹如图所示：
由几何关系得：rm+rmsin45°＝Rsin45°
解得：
由洛伦兹力提供向心力得：
联立解得：
（3）满足题意的各种情况中，除区域1外，另外三个区域的轨迹半径的最大值为R（如上图所示），轨迹弦长对应的磁场圆的圆心角为。
若粒子在区域2、3、4内均与圆弧柱面碰撞一次，则上述圆心角为；
若粒子在区域2、3、4内均与圆弧柱面碰撞两次，则上述圆心角为
以此类推，若粒子在区域2、3、4内均与圆弧柱面碰撞n次，则上述圆心角为
由几何关系得：
同理：
解得：。
答：（1）粒子在磁场中运动的速度大小为；
（2）四个圆形区域所加磁场的磁感应强度最小值为，方向垂直纸面向里；
（3）磁感应强度的所有可能值为。
（2022秋 龙川县校级期末）如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在磁感应强度方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带正电的粒子在P点以与x轴正方向成α＝60°的方向以速度v0垂直磁场射入，一段时间后粒子从y轴上的Q点（图中未画出）射出磁场，带电粒子在Q点的速度方向与y轴负方向的夹角β＝60°。已知带电粒子的质量为m电荷量为q，OP＝a，不计粒子所受重力。求：
（1）匀强磁场的磁感应强度大小B；
（2）带电粒子在第一象限内运动的时间。
【解答】解：（1）粒子运动轨迹如图所示，带电粒子从P点开始做匀速圆周运动（设其运动半径为r），由几何关系可得：
rsin（90°﹣β）+rcos（90°﹣α）＝a
解得：r＝（1）a
由洛伦兹力提供向心力得：
解得：B；
（2）由几何关系可得粒子在第一象限的运动轨迹的圆心角θ＝150°，则带电粒子在第一象限内运动的时间为：
。
答：（1）匀强磁场的磁感应强度大小B为；
（2）带电粒子在第一象限内运动的时间为。
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模块一 知己知彼 1
模块二 知识掌握 1
知识点一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 1
知识点二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题 5
知识点三 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 7
【巩固提高】 8
模块一 知己知彼
考点分布 命题趋势
1、认识有界磁场，知道带电粒子在不同有界磁场中运动的特点 2、会分析带电粒子在有界匀强磁场中的运动. 3、会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题. 4、了解多解成因，会分析带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题． 高考对本讲内容的考查呈现“三高”的特点:一是高频率,即各地高考对本讲内容的考查都保持在较高频次，多次考查;二是高覆盖率,即涉及的知识点众多,涉及的题型全,选择题、计算题均有;三是高难度
模块二 知识掌握
知识点一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
【重难诠释】
直线边界
从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等，如图所示．
平行边界
圆形边界
(1)在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图甲所示．
(2)在圆形磁场区域内，不沿半径方向射入的粒子，入射速度与半径的夹角为θ，出射速度与半径的夹角也为θ，如图乙所示．
三角形边界磁场
如图所示是正△ABC区域内某正粒子垂直AB方向进入磁场的临界轨迹示意图．粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示．
（2023春 成都期末）如图，在直角坐标系xOy的第一象限内存在垂直于xOy平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场（图中未画出）。一质量为m、电荷量为+q的粒子从M点以初速度v0（大小未知）射入第一象限，M点的坐标为，初速度v0与x轴负方向成θ＝60°角。经过一段时间后，粒子垂直通过y轴上的N点进入第二象限，不计粒子重力。下列说法正确的是（ ）
A．匀强磁场垂直于xOy平面向外
B．粒子的初速度大小为
C．N点的坐标为
D．粒子从M点运动到N点经过的时间为
（2023春 天河区校级期中）如图所示，虚线框MNPQ内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。a、b、c是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。若不计粒子所受重力，则（ ）
A．粒子a带负电，粒子b、c带正电
B．粒子c在磁场中运动的时间最长
C．粒子c在磁场中的加速度最大
D．粒子c在磁场中的速度最大
（2023 兰州模拟）如图所示，直角三角形ABC区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，∠B＝90°，∠C＝30°。某种带电粒子（重力不计）以不同速率从BC边上D点垂直BC边射入磁场，速率为v1时粒子垂直AC边射出磁场，速率为v2时粒子从BC边射出磁场，且运动轨迹恰好与AC边相切，粒子在磁场中运动轨迹半径为r1、r2，运动时间为t1、t2。下列说法正确的是（ ）
A．粒子带正电 B．r1：r2＝2：1 C．v1：v2＝3：1 D．t1：t2＝1：4
（2023 云南模拟）如图所示，纸面内有一圆心为O，半径为R的圆形磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里。由距离O点0.4R处的P点沿着与PO连线成θ＝30°的方向发射速率大小不等的电子。已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力且不考虑电子间的相互作用。为使电子不离开圆形磁场区域，则电子的最大速率为（ ）
A． B．
C． D．
（2023春 浙江期中）如图所示是一个研究带电粒子在磁场中运动的实验仪器原理图。在y轴上坐标为（0，a）的A点上有一电子发射源，能向与y轴正方向左右夹角各在90°范围内均匀发射速度大小为v0的电子。在x轴上BC范围内有电子接收装置，B点的坐标为（，0），在整个空间加上垂直纸面的匀强磁场时，发现从A点垂直于y轴水平向右射出的速度大小为v0的电子恰好在接收装置上的B点上侧被接收。已知元电荷为e，电子质量为m，只考虑电子在纸面内的运动，忽略相对论效应，不计重力。
（1）求空间分布的匀强磁场磁感应强度的大小和方向；
（2）若从A点向第一象限射出的速度大小为v0的所有电子恰好全部被接收装置上侧接收，试求接收装置BC的长度L；
（3）试求从A点射出被BC收集的电子占所有电子的百分比。
（2023 河南模拟）如图所示在xOy平面直角坐标内，在0≤x≤d范围内充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为2B，在d＜x≤5d范围内充满垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电量为q的带正电粒子从原点O以一定的速度沿着x轴正方向进入磁场，粒子通过第一个磁场时速度方向改变了60°，不计粒子重力。求：
（1）粒子进入磁场时的速度大小；
（2）粒子通过x＝5d线时到x轴的距离；
（3）粒子通过两个磁场所用的总时间。
知识点二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题
【重难诠释】
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解．
(1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
(2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中的运动时间越长．
(3)当比荷相同，速率v变化时，圆心角越大的，运动时间越长．
（2023春 长安区校级期末）如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc段是半径为R的四分之一圆弧，ab、dc的延长线通过圆弧的圆心，Ob长为R。一束质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场，不计粒子间的相互作用和重力。则从圆弧边界bc射出的粒子在磁场中飞行的最短时间为（ ）
A． B． C． D．
（2023春 思明区校级期中）如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc段是半径为R的四分之一圆弧，ab、cd的延长线通过圆弧的圆心，Ob长为R。一束质量为m、电荷量为正q的粒子，在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场，其中M、N是圆弧边界上的两点，不计粒子间的相互作用和重力。则下列分析中正确的是（ ）
A．从M点射出的粒子速率可能大于从N点射出粒子的速率
B．从边界cd射出的粒子在磁场中运动的时间一定小于从圆弧bc段射出的粒子
C．从圆弧bc射出的所有粒子中，从bc中点射出的粒子所用时间最短
D．从圆弧bc射出的所有粒子中，粒子所用最短时间为
（2022秋 雁峰区校级期末）如图所示，某真空室内充满匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场内有一块足够长的平面感光板MN，点a为MN与水平直线ab的交点，MN与直线ab的夹角为θ＝53°，ab间的距离为d＝20cm。在b点的点状的电子源向纸面内各个方向发射电子，电子做圆周运动的半径为r＝10cm，不计电子间的相互作用和重力，sin53°＝0.8，则MN上被电子打中的区域的长度为（ ）
A．16cm B．20cm C．24cm D．28cm
知识点三 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
【重难诠释】
多解的原因：
(1)磁场方向不确定形成多解；
(2)带电粒子电性不确定形成多解；
(3)临界状态不唯一形成多解；
(4)运动的往复性形成多解．
解决此类问题，首先应画出粒子的可能轨迹，然后找出圆心、半径的可能情况．
（多选）（2023 五华区校级模拟）如图所示，纸面内半径为R、圆心为O的圆形区域外存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，纸面内的线段PA与圆形区域相切于A点，。P点处有一粒子源，可以沿PA方向，以不同的速率射出质量为m，电荷量为q的正电粒子，（忽略粒子间的相互作用，不计重力）要使粒子射入圆形区域内，则粒子的速率可能为（ ）
A． B． C． D．
（多选）（2023 沙坪坝区校级模拟）如图所示，等腰梯形abcd区域（包含边界）存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边长ad＝dc＝cb＝l，ab＝2l，一质量为m、电量为q的正电粒子从a点沿着ad方向射入磁场中，不计粒子的重力，为使粒子从cb边射出磁场区域，粒子的速度可能为（ ）
A． B． C． D．
（多选）（2023 贵州模拟）如图所示，匀强磁场垂直纸面向里，其边界如图所示，磁场的磁感应强度大小为B，半圆形边界的半径为R，O为半圆的圆心，ab是半圆的直径，边界上c点到a的距离为R，a、b、c、O在同一直线上，从c点沿垂直边界、垂直磁场向上射出速度大小不同的质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，粒子均能从圆弧（含a、b点）上射出磁场，不计粒子的重力和粒子间作用，则能从圆弧边界射出的粒子（ ）
A．粒子速度大小范围为
B．粒子的速度越大，粒子在磁场中运动的时间越短
C．从圆弧面射出后能到达b点的粒子速度大小可能为
D．从圆弧面射出后经过O点的粒子在磁场中做圆周运动的半径为R
【巩固提高】
（多选）（2023 湖南模拟）如图所示，长方形abcd区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，区域内的点O处有一粒子源，O点离ab边距离为0.25L，离bc边距离为L，粒子源以垂直ab边指向dc边的速度向磁场内发射不同速率带正电的粒子，已知ab边长为2L、bc边长为L，粒子质量均为m、电荷量均为q，不计粒子重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．从ab边射出的粒子的运动时间均相同
B．从bc边射出的粒子在磁场中的运动时间最长为
C．粒子有可能从c点离开磁场
D．粒子要想离开长方形区域，速率至少要大于
（多选）（2022秋 石家庄期末）真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为+q的粒子（不计重力）沿着与MN夹角θ＝30°的方向射入磁场中，刚好没能从PQ边界射出磁场。下列说法正确的是（ ）
A．粒子射入磁场的速度大小为
B．粒子射入磁场的速度大小为
C．粒子在磁场中运动的时间为
D．粒子在磁场中运动的时间为
（多选）（2022秋 雁塔区校级期末）如图所示为圆形区域的匀强磁场，区域半径为R0，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，P点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为的某种带正电粒子，已知该带电粒子的质量为m、电荷量为q，不考虑带电粒子的重力，则以下说法正确的是（ ）
A．带电粒子做圆周运动的轨道半径均为2R0
B．所有粒子离开磁场时，动能均相等
C．粒子在磁场中的运动时间可能为
D．粒子在磁场中的运动时间可能为
（2023 徐州模拟）如图所示，真空中四个绝缘圆弧柱面彼此相切，垂直纸面固定放置，圆弧半径为R，其中柱面1中间位置开一条狭缝。在装置中心O处有一粒子源，无初速释放质量为m、电荷量为+q的粒子。在O与狭缝之间加一电压为U的加速电场。在圆形区域内设计合适的匀强磁场可使离开狭缝的粒子做逆时针方向的循环运动。已知粒子与柱面的碰撞为弹性碰撞，碰撞过程中电荷量没有损失，不计粒子重力及粒子间相互作用。求：
（1）粒子在磁场中运动的速度大小；
（2）四个圆形区域所加磁场的磁感应强度最小值及方向；
（3）在（2）的情境下，若仅同步调整圆形区域2、3、4内的磁场，试导出磁感应强度的所有可能值。
（2022秋 龙川县校级期末）如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在磁感应强度方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带正电的粒子在P点以与x轴正方向成α＝60°的方向以速度v0垂直磁场射入，一段时间后粒子从y轴上的Q点（图中未画出）射出磁场，带电粒子在Q点的速度方向与y轴负方向的夹角β＝60°。已知带电粒子的质量为m电荷量为q，OP＝a，不计粒子所受重力。求：
（1）匀强磁场的磁感应强度大小B；
（2）带电粒子在第一象限内运动的时间。
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