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专题提升Ⅴ 带电粒子在叠加场中的运动
目录
模块一 知己知彼 1
模块二 知识掌握 2
知识点一 叠加场 2
知识点二 带电粒子在交变电、磁场中的运动 5
模块三 巩固提高 7
模块一 知己知彼
考点分布 命题趋势
1、掌握带电粒子在叠加场中常见的两种运动情景. 2、会分析其受力情况和运动情况，能正确运用物理规律解决问题． 3、通过知识应用的实例，感受物理中科学技术与社会的紧密联系，体会科学知识的应用价值，进一步增强学生的学习动力和科学意识。 高考对本讲内容的考查呈现“三高”的特点:一是高频率,即各地高考对本讲内容的考查都保持在较高频次，多次考查;二是高覆盖率,即涉及的知识点众多,涉及的题型全,选择题、计算题均有;三是高难度,即平均难度大、分值点比较大，是分层拉分的重要模块
模块二 知识掌握
知识点一 叠加场
【重难诠释】
叠加场：电场、磁场、重力场叠加，或其中某两场叠加．
1．是否考虑粒子重力
(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为一般情况下其重力与静电力或洛伦兹力相比太小，可以忽略；而对于一些宏观物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力．
(2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目要求处理．
(3)不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否考虑重力．
2．处理带电粒子在叠加场中的运动的基本思路
（2023 湖北模拟）如图所示，空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直纸面（xOy平面）向外，电场的方向沿y轴正方向。一质量为m、电荷量为q的带电粒子在电场和磁场的作用下，从坐标原点O由静止开始运动（其轨迹如图所示）。已知磁感应强度的大小为B，电场强度大小为E，不计粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子带负电
B．粒子运动轨迹是抛物线
C．粒子距离x轴的最大距离为
D．粒子运动过程中的最大速度为
（2023 重庆模拟）如图所示，场强为E的匀强电场方向竖直向下，磁感应强度为B的匀强磁场垂直电场向外，带电量为q的小球（视为质点）获得某一垂直磁场水平向右的初速度，正好做匀速圆周运动，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．小球必须带正电
B．小球的质量为
C．小球做匀速圆周运动的周期为
D．若仅把电场的方向改成竖直向上，小球正好做匀速直线运动，则其速度为
（2023 海淀区校级模拟）空间同时存在匀强电场和匀强磁场。匀强电场的方向沿y轴正方向，场强大小为E；磁场方向垂直纸面向外。质量为m、电荷量为+q的粒子（重力不计）从坐标原点O由静止释放，释放后，粒子恰能沿图中的曲线运动。已知该曲线的最高点P的纵坐标为h，曲线在P点附近的一小部分，可以看作是半径为2h的圆周上的一小段圆弧。则（ ）
A．粒子在y轴方向做匀加速运动
B．粒子在最高点P的速度大小为
C．磁场的磁感应强度大小为
D．粒子经过时间π运动到最高点
（2023 黄陂区校级模拟）如图甲所示，已知车轮边缘上一质点P的轨迹可看成质点P相对圆心O做速率为v的匀速圆周运动，同时圆心O向右相对地面以速率v做匀速运动形成的，该轨迹称为圆滚线。如图乙所示，空间存在竖直向下的大小为E匀强电场和水平方向（垂直纸面向里）大小为B的匀强磁场，已知一质量为m电量大小为q的正离子在电场力和洛伦兹力共同作用下，从静止开始自A点沿曲线ACB运动（该曲线属于圆滚线），到达B点时速度为零，C点为运动的最低点。不计重力，试求：
（1）若要求粒子从A点以最短路径到达B点，在A点给粒子的速度v大小和方向；
（2）粒子从A点静止释放运动到B点的时间t及A、B两点间的距离L；
（3）粒子从A点静止释放运动到C点的速度大小vC及C点离A点的竖直高度h。
（2023春 和平区校级月考）控制带电粒子的运动在现代科学技术、生产生活、仪器电器等方面有广泛的应用。如图，以竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系，该真空中存在方向沿x轴正方向、电场强度大小的匀强电场和方向垂直xOy平面向外、磁感应强度大小B＝0.5T的匀强磁场。原点O处的粒子源连续不断地发射速度大小和方向一定、质量m＝1×10﹣6kg、电荷量q＝2×10﹣6C的带负电的粒子束，粒子恰能在xOy平面内做直线运动，重力加速度为g＝10m/s2，不计粒子间的相互作用。
（1）求粒子发射速度的大小和方向；
（2）若保持E、B初始状态和粒子束的初速度不变，在粒子从O点射出时立即取消磁场，求粒子从O点射出后经过y轴时的坐标（不考虑磁场变化产生的影响）；
（3）若保持E、B初始状态和粒子束的初速度不变，在粒子从O点射出时立即将电场变为竖直向下、场强大小变为E'＝5N/C，求从O点射出的所有粒子第一次打在x轴上的坐标（不考虑电场变化产生的影响）。
知识点二 带电粒子在交变电、磁场中的运动
【重难诠释】
解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路
先读图 看清并且明白场的变化情况
受力分析 分析粒子在不同的变化场区的受力情况
过程分析 分析粒子在不同时间段内的运动情况
找衔接点 找出衔接相邻两过程的速度大小及方向
选规律 联立不同阶段的方程求解
（2023 新华区校级开学）利用图甲所示装置可以测定带电粒子的比荷，其中MN、PQ是两正对金属平行板，其右端有一磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的有界匀强磁场。测量时先在两平行板MN和PQ间加上按图乙所示规律变化的正弦交流电压，让初速度为v0的粒子沿平行板的中心线OO′进入平行板间，粒子离开平行板间后，从磁场的CD边界进入磁场区域，最后又从CD边界离开。若粒子进入极板间时极板间的电压为50V，CD边界上入射点与出射点间的距离为L，则该粒子的比荷为（ ）
A． B． C． D．
（2022秋 市南区校级期末）在如图所示的空间里，存在沿y轴负方向、大小为的匀强磁场。有一质量为m、电量为q的带正电的粒子（重力不计），以初速度v0从O点沿x轴负方向运动，同时在空间加上平行于y轴的匀强交变电场，电场强度E随时间的变化如图所示（以沿y轴正向为E的正方向），则下列说法不正确的是（ ）
A．t＝2T时粒子所在位置的x坐标值为0
B．时粒子所在位置的z坐标值为
C．粒子在运动过程中速度的最大值为2v0
D．在0到2T时间内粒子运动的平均速度为
（2023 重庆模拟）如题图1所示，一对竖直固定的平行金属板M、N间距为L，O1、O2为两板上正对的小孔，M、N两板间加有恒定电压，M板为正极板。紧贴N板右侧存在上下范围足够大、水平宽度为d的有界匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面（图中未画出），竖直虚线P1Q1、P2Q2是该磁场区域的左、右边界。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从O1孔进入M、N两板间，粒子初速度和重力均不计。
（1）若M、N两板间电压为U，求两板间匀强电场的场强大小E和该粒子刚进入磁场区域时的速度大小；
（2）磁场的磁感应强度B随时间t变化的关系如图2所示，其中B0为已知量，周期。t＝0时刻该粒子从O2孔射入磁场，始终不能穿出右边界P2Q2，求M、N两板间电压U′应满足的条件；
（3）在（2）的条件下，该粒子末与N板发生碰撞，求该粒子在磁场中运动的总时间。
模块三 巩固提高
（多选）（2023 铜仁市模拟）图甲的左侧平行金属板M、N间距为d，加有图乙所示的交变电压，M、N右侧有半径为R（d＜2R）的圆形匀强磁场，磁感应强度为B垂直于纸面向内，AB为竖直方向直径。OO′是M、N板间的中线并经过圆形磁场的圆心。不同时刻从O点沿中线射入初速度都为v0的不同粒子（不计粒子的重力），所有出射粒子都从A点离开磁场。则下列说法中正确的是（ ）
A．粒子都带负电
B．粒子在电场中运动时间都相同，且一定是交流电周期T的整数倍
C．所有粒子从电场中射出的位置相同
D．粒子的比荷均为
（2023 海安市校级模拟）如图甲所示，平行板电容器板长为L、间距离为d，虚线PO为两板间的中轴线。质量为m、电荷量为e的电子源从平行金属板之外的P点（无穷远处）沿虚线PO方向以初速度v0均匀持续射入。两板间加上如图乙所示的电压U（U未知），T。平行板电容器右侧有一方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN为其左边界，磁感应强度为B，磁场中放置一半径为的圆柱ed形金属圆筒，圆心O到MN的距离OO1，圆筒轴线与磁场平行，圆筒用导线通过一个电阻r0接地。已知t＝0时刻射入的电子刚好打不到极板，不计电子的重力以及电子间的相互作用力，忽略平行金属板之外的电场。
（1）求U的大小（用不含T的表达式表示）；
（2）最初金属圆筒不带电，求能够打到圆筒上的电子占发射的电子百分比η；
（3）不考虑MN左右电场的相互影响，当圆筒上电量达到相对稳定时，测量到通过电阻r0的电流恒为I，求此时电子到达圆筒时速度v和金属圆筒的发热功率P。（取无穷远处或大地电势为零）。
（2023春 福田区校级期中）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直纸面向里。一带电荷量为+q、质量为m的微粒从原点出发，以某一初速度沿与x轴正方向的夹角为45°的方向进入复合场中，正好做直线运动，当微粒运动到A（l，l）时，电场方向突然变为竖直向上（不计电场变化的时间），微粒继续运动一段时间后，正好垂直于y轴穿出复合场。不计一切阻力，重力加速度为g，求：
（1）电场强度E的大小；
（2）磁感应强度B的大小；
（3）微粒在复合场中的运动时间。
（2023 香坊区校级一模）如图所示，离子加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离子；经偏转系统后到达水平面。图中匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向垂直于纸面向外；匀强电场的电场强度大小均为E。磁分析器截面四分之一圆弧的半径分别为L和3L，M和N为两端中心小孔；偏转系统中电场分布在棱长为L的正方体内，底面与水平面平行且间距为L。当偏转系统不加垂直纸面向外的电场时，质量为m的离子恰好竖直到达水平面内的O点（x轴正方向垂直纸面向外，y轴正方向水平向左）。整个系统置于真空中，不计离子重力及离子间的相互作用。求：
（1）通过磁分析器的离子电性及比荷；
（2）离子通过正方体底面到达水平面的位置坐标。
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专题提升Ⅴ 带电粒子在叠加场中的运动
目录
模块一 知己知彼 1
模块二 知识掌握 2
知识点一 叠加场 2
知识点二 带电粒子在交变电、磁场中的运动 8
模块三 巩固提高 12
模块一 知己知彼
考点分布 命题趋势
1、掌握带电粒子在叠加场中常见的两种运动情景. 2、会分析其受力情况和运动情况，能正确运用物理规律解决问题． 3、通过知识应用的实例，感受物理中科学技术与社会的紧密联系，体会科学知识的应用价值，进一步增强学生的学习动力和科学意识。 高考对本讲内容的考查呈现“三高”的特点:一是高频率,即各地高考对本讲内容的考查都保持在较高频次，多次考查;二是高覆盖率,即涉及的知识点众多,涉及的题型全,选择题、计算题均有;三是高难度,即平均难度大、分值点比较大，是分层拉分的重要模块
模块二 知识掌握
知识点一 叠加场
【重难诠释】
叠加场：电场、磁场、重力场叠加，或其中某两场叠加．
1．是否考虑粒子重力
(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为一般情况下其重力与静电力或洛伦兹力相比太小，可以忽略；而对于一些宏观物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力．
(2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目要求处理．
(3)不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否考虑重力．
2．处理带电粒子在叠加场中的运动的基本思路
（2023 湖北模拟）如图所示，空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直纸面（xOy平面）向外，电场的方向沿y轴正方向。一质量为m、电荷量为q的带电粒子在电场和磁场的作用下，从坐标原点O由静止开始运动（其轨迹如图所示）。已知磁感应强度的大小为B，电场强度大小为E，不计粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子带负电
B．粒子运动轨迹是抛物线
C．粒子距离x轴的最大距离为
D．粒子运动过程中的最大速度为
【解答】解：A．粒子由静止开始运动，电场力方向竖直向上，故粒子带正电，故A错误；
B．粒子运动时受电场力和洛伦兹力，因洛伦兹力是变力，则轨迹不是抛物线，故B错误；
CD．为使粒子在磁场作用下做匀速圆周运动的分运动，则沿x轴正方向的分速度v在磁场作用下产生的洛伦兹力应与电场力平衡，
qE＝qvB
解得：
将粒子的运动分解为速度的向右匀速直线运动和速度为v的沿顺时针方向的匀速圆周运动，则粒子距x轴的最大距离为：
Y＝2R
粒子一个分运动做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：
联立解得：
两分运动同向时速度最大，则最大速度为：
，故C正确，D错误。
故选：C。
（2023 重庆模拟）如图所示，场强为E的匀强电场方向竖直向下，磁感应强度为B的匀强磁场垂直电场向外，带电量为q的小球（视为质点）获得某一垂直磁场水平向右的初速度，正好做匀速圆周运动，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．小球必须带正电
B．小球的质量为
C．小球做匀速圆周运动的周期为
D．若仅把电场的方向改成竖直向上，小球正好做匀速直线运动，则其速度为
【解答】解：A．小球受到重力、电场力和洛伦兹力的作用，小球做圆周运动，则电场力与重力平衡，可知，电场力竖直向上，电场力方向与电场强度方向相反，则小球带负电，故A错误；
B．根据上述有qE＝mg
解得：，故B错误；
C．小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律和运动学公式可得：
结合上述解得
，故C正确；
D．若把电场的方向改成竖直向上，小球正好做匀速直线运动，根据平衡条件有
mg+qE＝qv0B
结合上述解得：，故D错误。
故选：C。
（2023 海淀区校级模拟）空间同时存在匀强电场和匀强磁场。匀强电场的方向沿y轴正方向，场强大小为E；磁场方向垂直纸面向外。质量为m、电荷量为+q的粒子（重力不计）从坐标原点O由静止释放，释放后，粒子恰能沿图中的曲线运动。已知该曲线的最高点P的纵坐标为h，曲线在P点附近的一小部分，可以看作是半径为2h的圆周上的一小段圆弧。则（ ）
A．粒子在y轴方向做匀加速运动
B．粒子在最高点P的速度大小为
C．磁场的磁感应强度大小为
D．粒子经过时间π运动到最高点
【解答】解：A、粒子受到电场力和洛伦兹力作用，不可能做匀加速运动，故A错误；
B、粒子从O运动到P的过程，只有电场力做功，由动能定理得：qEh，解得：vp，故B错误；
C、粒子经过P点时，由电场力和洛伦兹力的合力提供向心力，则有：qvB﹣qE＝m，联立解得：B，故C正确；
D、粒子从O到P的过程不是圆周运动，时间无法求解，故D错误。
故选：C。
（2023 黄陂区校级模拟）如图甲所示，已知车轮边缘上一质点P的轨迹可看成质点P相对圆心O做速率为v的匀速圆周运动，同时圆心O向右相对地面以速率v做匀速运动形成的，该轨迹称为圆滚线。如图乙所示，空间存在竖直向下的大小为E匀强电场和水平方向（垂直纸面向里）大小为B的匀强磁场，已知一质量为m电量大小为q的正离子在电场力和洛伦兹力共同作用下，从静止开始自A点沿曲线ACB运动（该曲线属于圆滚线），到达B点时速度为零，C点为运动的最低点。不计重力，试求：
（1）若要求粒子从A点以最短路径到达B点，在A点给粒子的速度v大小和方向；
（2）粒子从A点静止释放运动到B点的时间t及A、B两点间的距离L；
（3）粒子从A点静止释放运动到C点的速度大小vC及C点离A点的竖直高度h。
【解答】解：（1）A、B两点在同一水平面上，沿AB连线运动路径最短。所以使粒子沿AB连线匀速运动，满足：qvB＝qE
解得：v，方向由A指向B
（2）粒子由静止开始的曲线运动可以看成是水平向右的匀速运动和纸面内的匀速圆周运动的合运动
水平方向有：v
圆周运动线速度大小v'，周期T
所以：t
则A、B两点间的距离L＝v't
（3）C点的速度等于水平向右的匀速运动速度与圆周运动在C点水平向右速度的合速度，所以：vc
粒子由C点到A点应用动能定理有：qEh
所以：h
答：（1）若要求粒子从A点以最短路径到达B点，在A点给粒子的速度v大小为，方向由A指向B；
（2）粒子从A点静止释放运动到B点的时间为，A、B两点间的距离为；
（3）粒子从A点静止释放运动到C点的速度大小为，C点离A点的竖直高度为。
（2023春 和平区校级月考）控制带电粒子的运动在现代科学技术、生产生活、仪器电器等方面有广泛的应用。如图，以竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系，该真空中存在方向沿x轴正方向、电场强度大小的匀强电场和方向垂直xOy平面向外、磁感应强度大小B＝0.5T的匀强磁场。原点O处的粒子源连续不断地发射速度大小和方向一定、质量m＝1×10﹣6kg、电荷量q＝2×10﹣6C的带负电的粒子束，粒子恰能在xOy平面内做直线运动，重力加速度为g＝10m/s2，不计粒子间的相互作用。
（1）求粒子发射速度的大小和方向；
（2）若保持E、B初始状态和粒子束的初速度不变，在粒子从O点射出时立即取消磁场，求粒子从O点射出后经过y轴时的坐标（不考虑磁场变化产生的影响）；
（3）若保持E、B初始状态和粒子束的初速度不变，在粒子从O点射出时立即将电场变为竖直向下、场强大小变为E'＝5N/C，求从O点射出的所有粒子第一次打在x轴上的坐标（不考虑电场变化产生的影响）。
【解答】解：（1）粒子做匀速直线运动，由共点力平衡条件得：
（Bvq）2＝（qE）2+（mg）2
解得：v＝20m/s
粒子出射的速度方向与y轴负方向夹角为：
即
所以θ＝30°
（2）撤去磁场后，粒子做类平抛运动
联立解得：
所以坐标。
（3）由题意可得qE'＝mg
粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
解得：R＝20m
由几何关系可知
x＝2Rcos30°
解得：
坐标为。
答：（1）粒子发射速度的大小20m/s，方向与y轴负方向夹角为30°；
（2）粒子从O点射出后经过y轴时的坐标（不考虑磁场变化产生的影响）为；
（3）从O点射出的所有粒子第一次打在x轴上的坐标（不考虑电场变化产生的影响）为
知识点二 带电粒子在交变电、磁场中的运动
【重难诠释】
解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路
先读图 看清并且明白场的变化情况
受力分析 分析粒子在不同的变化场区的受力情况
过程分析 分析粒子在不同时间段内的运动情况
找衔接点 找出衔接相邻两过程的速度大小及方向
选规律 联立不同阶段的方程求解
（2023 新华区校级开学）利用图甲所示装置可以测定带电粒子的比荷，其中MN、PQ是两正对金属平行板，其右端有一磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的有界匀强磁场。测量时先在两平行板MN和PQ间加上按图乙所示规律变化的正弦交流电压，让初速度为v0的粒子沿平行板的中心线OO′进入平行板间，粒子离开平行板间后，从磁场的CD边界进入磁场区域，最后又从CD边界离开。若粒子进入极板间时极板间的电压为50V，CD边界上入射点与出射点间的距离为L，则该粒子的比荷为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：粒子以初速度v0进入平行板间，设粒子离开平行板间时的速度大小为v，射入磁场时速度与水平方向的夹角为θ，作出粒子在磁场中的运动轨迹如图所示：
由几何知识可知粒子在磁场中运动的轨迹半径为：R
粒子在磁场中运动时，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m
根据几何关系可得：v
联立解得：，故B正确、ACD错误。
故选：B。
（2022秋 市南区校级期末）在如图所示的空间里，存在沿y轴负方向、大小为的匀强磁场。有一质量为m、电量为q的带正电的粒子（重力不计），以初速度v0从O点沿x轴负方向运动，同时在空间加上平行于y轴的匀强交变电场，电场强度E随时间的变化如图所示（以沿y轴正向为E的正方向），则下列说法不正确的是（ ）
A．t＝2T时粒子所在位置的x坐标值为0
B．时粒子所在位置的z坐标值为
C．粒子在运动过程中速度的最大值为2v0
D．在0到2T时间内粒子运动的平均速度为
【解答】解：对粒子受力分析可知，粒子始终受到垂直于y轴的洛伦兹力和平行于y轴的电场力作用，所以粒子的运动可分解为在垂直于y轴的平面内做匀速圆周运动，其线速度为v0；在平行于y轴方向上做匀加速直线运动和匀减速直线运动。
对垂直于y轴的匀速圆周分运动有：
解得圆周运动半径为：
粒子做圆周运动的周期为：
A、因t＝2T＝4T0，故圆周分运动的轨迹为四个圆周，粒子回到了y轴上，故粒子所在位置的x坐标值为0，故A正确；
B、因1.5T0，故圆周分运动的轨迹为1.5个圆周，z轴坐标值为2r，故B正确；
C、对粒子在平行于y轴的分运动有：qE＝ma，已知：E，解得：
在电场变化的第一个周期内的0～0.5T和0.5T～T内，电场力等大反向，粒子做对称的先匀加速直线运动和后匀减速直线运动，在t＝0.5T时沿y轴正向速度达到最大，在电场变化的每个周期内粒子在平行于y轴的分运动是相同的，故在t＝nT+0.5T，（n＝0、1、2……）的时刻粒子沿y轴正向速度均达到相同的最大值，最大值等于
由运动的合成可得粒子在运动过程中速度最大值为：，故C错误；
D、在0到2T时间内粒子圆周分运动的轨迹为四个圆周，粒子回到了y轴上，故只需要考虑y轴方向的位移即可，由粒子沿y轴运动的对称性与周期性，可得0到2T时间内沿y轴的位移就等于0到0.5T时间内沿y轴的位移的4倍，则有：
则粒子运动的平均速度为，故D正确。
本题选择错误的选项，故选：C。
（2023 重庆模拟）如题图1所示，一对竖直固定的平行金属板M、N间距为L，O1、O2为两板上正对的小孔，M、N两板间加有恒定电压，M板为正极板。紧贴N板右侧存在上下范围足够大、水平宽度为d的有界匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面（图中未画出），竖直虚线P1Q1、P2Q2是该磁场区域的左、右边界。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从O1孔进入M、N两板间，粒子初速度和重力均不计。
（1）若M、N两板间电压为U，求两板间匀强电场的场强大小E和该粒子刚进入磁场区域时的速度大小；
（2）磁场的磁感应强度B随时间t变化的关系如图2所示，其中B0为已知量，周期。t＝0时刻该粒子从O2孔射入磁场，始终不能穿出右边界P2Q2，求M、N两板间电压U′应满足的条件；
（3）在（2）的条件下，该粒子末与N板发生碰撞，求该粒子在磁场中运动的总时间。
【解答】解：（1）由题知，两板间匀强电场的场强大小：
设该粒子刚进入磁场区域时的速度大小为v，根据动能定理有：
解得：
（2）设该粒子从O2孔进入磁场时速度大小为v0，0～内，该粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R1，周期为T1，由：
变形得到：
该过程中，运动时间为：
偏转角度：
～T0内，该粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，由动力学规律：qv0×2B，T
得到：
该过程中，运动时间：
偏转角度：
由此可知：R1＝2R，T1＝2T
取0～内的磁场方向垂直纸面向外，该粒子在磁场中的运动轨迹如图所示
整个运动过程中，该粒子在磁场中的水平位移为x，由几何关系有
该粒子始终不能穿出右边界P2Q2，应满足：d≥x
又因为：
联立解得：
（3）由（2）可知，粒子在磁场中的运动时间为：
答：（1）两板间匀强电场的场强大小E为，该粒子刚进入磁场区域时的速度大小为；
（2）M、N两板间电压U′应满足的条件为；
（3）该粒子在磁场中运动的总时间为。
模块三 巩固提高
（多选）（2023 铜仁市模拟）图甲的左侧平行金属板M、N间距为d，加有图乙所示的交变电压，M、N右侧有半径为R（d＜2R）的圆形匀强磁场，磁感应强度为B垂直于纸面向内，AB为竖直方向直径。OO′是M、N板间的中线并经过圆形磁场的圆心。不同时刻从O点沿中线射入初速度都为v0的不同粒子（不计粒子的重力），所有出射粒子都从A点离开磁场。则下列说法中正确的是（ ）
A．粒子都带负电
B．粒子在电场中运动时间都相同，且一定是交流电周期T的整数倍
C．所有粒子从电场中射出的位置相同
D．粒子的比荷均为
【解答】解：A、粒子进入磁场后从A点离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，故A错误；
B、不同时刻从O点进入偏转电场的所有粒子都从A点离开磁场，根据“磁聚焦”原理可知，所有粒子离开偏转电场时速度方向均平行于OO′，说明粒子在偏转电场中运动过程中电场力做功为零，即所有粒子在电场中运动时间都相同，且一定是交流电周期T的整数倍，故B正确；
C、由于粒子进入磁场的时刻不同，在竖直方向偏转位移可能不同，所以粒子从电场中射出的位置不一定相同，故C错误；
D、根据“磁聚焦”原理可知，粒子在磁场中运动的轨迹半径与磁场圆的半径相同，即r＝R，根据洛伦兹力提供向心力可得：qv0B＝m，联立解得粒子的比荷均为，故D正确。
故选：BD。
（2023 海安市校级模拟）如图甲所示，平行板电容器板长为L、间距离为d，虚线PO为两板间的中轴线。质量为m、电荷量为e的电子源从平行金属板之外的P点（无穷远处）沿虚线PO方向以初速度v0均匀持续射入。两板间加上如图乙所示的电压U（U未知），T。平行板电容器右侧有一方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN为其左边界，磁感应强度为B，磁场中放置一半径为的圆柱ed形金属圆筒，圆心O到MN的距离OO1，圆筒轴线与磁场平行，圆筒用导线通过一个电阻r0接地。已知t＝0时刻射入的电子刚好打不到极板，不计电子的重力以及电子间的相互作用力，忽略平行金属板之外的电场。
（1）求U的大小（用不含T的表达式表示）；
（2）最初金属圆筒不带电，求能够打到圆筒上的电子占发射的电子百分比η；
（3）不考虑MN左右电场的相互影响，当圆筒上电量达到相对稳定时，测量到通过电阻r0的电流恒为I，求此时电子到达圆筒时速度v和金属圆筒的发热功率P。（取无穷远处或大地电势为零）。
【解答】解：（1）电子在电场中做类平抛运动，
水平方向：L＝2v0t
竖直方向：
解得：
（2）电子经过电场后速度方向均与极板平行，宽度为d，设电子进入磁场的轨道半径为R，
由牛顿第二定律得：
解得：
电子运动轨迹如图所示：
大量电子从MN上不同点进入磁场，从O1上方O点射入的电子刚好与圆筒外切，根据几何关系有：
从O1上方A点射入的电子刚好与圆筒外切于E，根据几何关系可知能够打到圆筒上的电子占发射的电子百分比为：
（3）稳定时，圆筒上的电荷不再增加，设粒子从P点射到圆筒表面的速度为v，由动能定理得：
解得：
单位时间内到达圆筒的电子数：
所以圆筒的发热功率为：
答：（1）U的大小是；
（2）能够打到圆筒上的电子占发射的电子百分比η是50%；
（3）此时电子到达圆筒时速度v是，金属圆筒的发热功率P是。
（2023春 福田区校级期中）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直纸面向里。一带电荷量为+q、质量为m的微粒从原点出发，以某一初速度沿与x轴正方向的夹角为45°的方向进入复合场中，正好做直线运动，当微粒运动到A（l，l）时，电场方向突然变为竖直向上（不计电场变化的时间），微粒继续运动一段时间后，正好垂直于y轴穿出复合场。不计一切阻力，重力加速度为g，求：
（1）电场强度E的大小；
（2）磁感应强度B的大小；
（3）微粒在复合场中的运动时间。
【解答】解：（1）微粒在到达A（l，l）之前做直线运动，因为洛伦兹力的大小F洛＝qvB与速度v有关，故微粒一定做匀速直线运动，对微粒受力分析，如图所示：
沿微粒的速度方向受力平衡：Eqcos45°＝mgsin45°
可得：E①
（2）微粒做直线运动时，垂直微粒的速度方向受力平衡：qvB＝mgcos45°+Eqsin45° ②
电场方向变化后，微粒所受重力与电场力平衡，微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如上图所示，根据洛伦兹力提供向心力可得：qvB＝m③
由几何关系可得：rl④
联立①②③④式可得：v⑤
B
（3）微粒做匀速直线运动的时间为：t1⑥
微粒做圆周运动的周期：T⑦
微粒做圆周运动转过的圆心角：θ⑧
微粒做圆周运动的时间：t2 T ⑨
联立⑤⑦⑧⑨式可得：t2π⑩
联立⑥⑩两式子可得微粒在复合场中运动时间：
t＝t1+t2＝（π+1）
答：（1）电场强度E的大小为；
（2）磁感应强度B的大小为；
（3）微粒在复合场中的运动时间为（π+1）。
（2023 香坊区校级一模）如图所示，离子加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离子；经偏转系统后到达水平面。图中匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向垂直于纸面向外；匀强电场的电场强度大小均为E。磁分析器截面四分之一圆弧的半径分别为L和3L，M和N为两端中心小孔；偏转系统中电场分布在棱长为L的正方体内，底面与水平面平行且间距为L。当偏转系统不加垂直纸面向外的电场时，质量为m的离子恰好竖直到达水平面内的O点（x轴正方向垂直纸面向外，y轴正方向水平向左）。整个系统置于真空中，不计离子重力及离子间的相互作用。求：
（1）通过磁分析器的离子电性及比荷；
（2）离子通过正方体底面到达水平面的位置坐标。
【解答】解：（1）离子在速度选择器中做匀速直线运动，由平衡条件得：qvB＝qE，解得离子的速度大小：v
离子在磁分析器中做匀速圆周运动，由左手定则可知，离子带正电，离子的轨道半径r＝2L，
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB＝m，
解得，离子的比荷：
（2）离子在偏转系统中做类平抛运动，在竖直方向：L＝vt
沿x轴方向：x1，vx＝at，由牛顿第二定律得：qE＝ma
离开偏转系统后，在竖直方向：L＝vt'
沿x轴方向：x2＝vxt'
离子到达水平面时x＝x1+x2
解得：xL
离子通过正方体底面到达水平面的位置坐标是（L，0）
答：（1）通过磁分析器的离子带正电，比荷是；
（2）离子通过正方体底面到达水平面的位置坐标是（L，0）。
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