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专题21.2.5一元二次方程的解法：换元法（重难点）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】整理，得
，
把代入方程得：
，
整理得：，
故选 A．
2．若实数x，y满足，则的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或2
【答案】C
【解析】设，则变为，
∴，则，
解得：，，
即的值为或1，
故选C．
3．实数满足方程，则的值等于（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】根据题意，设，则原式变形得，
因式分解法解一元二次方程得，，
∴，，
当时，，变形得，，根据判别式，无实根；
当时，，变形得，，根据判别式，方程有两个实根；
∴，
故选．
4．已知实数满足，那么的值为（ ）．
A．-5或1 B．-5 C．5或-1 D．1
【答案】D
【解析】设，
∵，
∴，
∴，
解得或，
∵
∵，
∴，
故选D．
5．已知方程的解是，，则方程的解是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【解析】由方程可得，
设，可得，
方程的解是，，
方程的解是，，
，，
解得，，
故选B．
6．已知的解是，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】令，
∵方程的解是，，
∴方程的解是，，
∴对于方程方程而言，或，
解得或，
故选A．
7．若关于x的一元二次方程的两根分别为，则关于x的一元二次方程的两根分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，则变为：
，
∵一元二次方程的两根分别为，
∴一元二次方程的两根分别为，
∴或者，
解得．
故选B.
8．若整数，使成立，则满足条件的，的值有（ ）
A．4对 B．6对 C．8对 D．无数对
【答案】C
【解析】由，设，则，
∴，即，解得：或（舍弃），
∴．
∴满足条件的，的整数值有：
，，，，，，，，共8对．
故选C．
二、填空题
9．解方程，若设，则原方程可化为 ．
【答案】
【解析】，
整理得，
把代入方程得，
故答案为：．
10．若（x2＋y2﹣1）2＝25，则x2＋y2＝ ．
【答案】
【解析】设，则，
方程变形得：，
开方得：或，
解得： 或（舍去），
∴；
故答案为：6．
11．方程的解是
【答案】
【解析】设，则方程可化为，
，
，
或，
则或，
解得或，
所以原方程的解为，
故答案为：．
12．已知实数x满足，则代数式的值为 ．
【答案】2023
【解析】设，
由原方程，得，
整理，得，
所以或．
当时，，则；
当时，即时，，方程无解，此种情形不存在．
故答案是：2023．
13．若，则 ．
【答案】1
【解析】，
，
设，
则化为，
解得：，
即，
所以．
故答案为：1．
14．若关于的一元二次方程（）有一个根为，则方程必有一根为 ．
【答案】
【解析】，
．
令，则
∵方程（）有一个根为，
方程有一根为，
有一根为，
故答案为：
15．已知一个直角三角形的两条直角边为x和y，x与y满足，则直角三角形的斜边长为 .
【答案】1
【解析】
或
（舍去）或
∵一个直角三角形的两条直角边为x和y
∴直角三角形的斜边长.
故答案为1.
16．“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方，如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于的一元二次方程，解出，再求，这种方法又叫“换元法”请你用这种思维方式和换元法解方程：方程的解为 ．
【答案】，
【解析】设，则原方程变形为：，
解关于的方程得，，
当时，，方程无实数解，
当时，，
，
解得，，
经检验，，是原方程的解，
故答案为：，．
三、解答题
17．解方程：．
【解析】，
，
设
于是原方程可变形为，
解得：；
∴，
∴．
18．解方程
（1）x2+8x﹣20=0（用配方法）
（2）3x2﹣6x=1（用公式法）
（3）（x﹣1）（x+2）=4
（4）（2y﹣3）2﹣4（2y﹣3）+3=0
【解析】（1）x2+8x+16=20+16，
（x+4）2=36，
x+4=6或x+4=﹣6，
∴x=2或x=﹣10；
（2）由题意可知：a=3，b=﹣6，c=﹣1，
∴△=36+12=48，
∴x==；
（3）x2+x﹣6=0，
（x+3）（x﹣2）=0，
x=﹣3或x=2；
（4）令2y﹣3=t，
∴t2﹣4t+3=0，
∴（t﹣1）（t﹣3）=0，
∴t=1或t=3，
∴2y﹣3=1或2y﹣3=3，
∴y=2或y=3.
19．解下列方程：
(1)；
(2)．
【解析】（1）
设
则
或
解得，
∴或
∴或
解得，x1＝，x2＝，x3＝，x4＝；
（2）解：
设，
则
，
或，
解得，，
或，
或，
解得，
20．关于x的方程．
(1)已知a，c异号，试说明此方程根的情况．
(2)若该方程的根是，，试求方程的根．
【解析】（1）∵a、c异号，
∴，
∴，
∵
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：方程可变为：
，
令，则原方程可变为，
∵方程的两个根为，，
∴方程的两个根为：
，，
∴或，
解得：，．
21．阅读下面的材料，解答后面的问题
材料：“解方程x4-3x2+2=0””
解：设x2=y，原方程变为y2-3y+2=0，（y-1）（y-2）=0，得y=1或y=2
当y=1时，即x2=1，解得x=±1；
当y=2时，即x2=2，解得x=±
综上所述，原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=．x4=-
问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是______
A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法
（2）采用类似的方法解方程：（x2-2x）2-x2+2x-6=0．
【解析】（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法．
故答案是：C；
（2）设x2-2x=y，原方程化为y2-y-6=0，
整理，得
（y-3）（y+2）=0，
解得y=3或y=-2
当y=3时，即x2-2x=3，解得x=-1或x=3；
当y=-2时，得x2-2x=-2，即（x-1）2=-1，方程无解，
综上所述，原方程的解为x1=-1，x2=3．
22．提出问题
为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，于是原方程可转化为，解此方程，得，．
当时，，，∴；
当时，，，∴．
∴原方程的解为，，，．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题
（1）运用上述换元法解方程．
延伸拓展
（2）已知实数m，n满足，求的值．
【解析】解决问题：（1）设，
∴原方程变形为，解得，，，
当时，，故舍去；
当时，，解得，，；
综上所示，原方程的解为，．
延伸拓展：（2）
∴，
∴原式变形为，
∴，设，
∴，则，解得，，即，
∵，
∴
∴．
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专题21.2.5一元二次方程的解法：换元法（重难点）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（ ）
A． B． C． D．
2．若实数x，y满足，则的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或2
3．实数满足方程，则的值等于（ ）
A． B． C．或 D．或
4．已知实数满足，那么的值为（ ）．
A．-5或1 B．-5 C．5或-1 D．1
5．已知方程的解是，，则方程的解是（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．已知的解是，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．若关于x的一元二次方程的两根分别为，则关于x的一元二次方程的两根分别为（ ）
A． B．
C． D．
8．若整数，使成立，则满足条件的，的值有（ ）
A．4对 B．6对 C．8对 D．无数对
二、填空题
9．解方程，若设，则原方程可化为 ．
10．若（x2＋y2﹣1）2＝25，则x2＋y2＝ ．
11．方程的解是
12．已知实数x满足，则代数式的值为 ．
13．若，则 ．
14．若关于的一元二次方程（）有一个根为，则方程必有一根为 ．
15．已知一个直角三角形的两条直角边为x和y，x与y满足，则直角三角形的斜边长为 .
16．“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方，如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于的一元二次方程，解出，再求，这种方法又叫“换元法”请你用这种思维方式和换元法解方程：方程的解为 ．
三、解答题
17．解方程：．
18．解方程
（1）x2+8x﹣20=0（用配方法）
（2）3x2﹣6x=1（用公式法）
（3）（x﹣1）（x+2）=4
（4）（2y﹣3）2﹣4（2y﹣3）+3=0
19．解下列方程：
(1)；
(2)．
20．关于x的方程．
(1)已知a，c异号，试说明此方程根的情况．
(2)若该方程的根是，，试求方程的根．
21．阅读下面的材料，解答后面的问题
材料：“解方程x4-3x2+2=0””
解：设x2=y，原方程变为y2-3y+2=0，（y-1）（y-2）=0，得y=1或y=2
当y=1时，即x2=1，解得x=±1；
当y=2时，即x2=2，解得x=±
综上所述，原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=．x4=-
问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是______
A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法
（2）采用类似的方法解方程：（x2-2x）2-x2+2x-6=0．
22．提出问题
为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，于是原方程可转化为，解此方程，得，．
当时，，，∴；
当时，，，∴．
∴原方程的解为，，，．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题
（1）运用上述换元法解方程．
延伸拓展
（2）已知实数m，n满足，求的值．
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