2022-2023学年山东省烟台市莱山区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省烟台市莱山区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 随着人们物质生活的提高，玩手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点，为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的哪一个性质( )
A. 三角形两边之和大于第三边 B. 三角形具有稳定性
C. 三角形的内角和是 D. 直角三角形两个锐角互余
2. 把方程改写成用含的式子表示的形式正确的是( )
A. B. C. D.
3. 若点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示为( )
A. B. C. D.
4. 在和中，已知，，再从下面条件中随机抽取一个：，，，抽到的条件恰好能使≌的概率是( )
A. B. C. D.
5. 如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图，直线：与：交于点，则不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，在已知的中，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；作直线交于点，连接若，则的度数为( )
A. B. C. D.
8. 如图，在中，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点出发以每秒的速度向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是( )
A. B. C. D.
9. 关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是( )
A. B. C. D.
10. 如图，，将长方形纸片沿直线折叠成图，再沿折痕为折叠成图，则的度数为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 若，则，，这三个数用“”连接起来为______ ．
12. 一个不透明的盒子里装有张红色卡片，张黄色卡片，张黑色卡片和若干张蓝色卡片，每张卡片除颜色外都相同，从中任意摸出一张卡片，摸到红色卡片的概率是从中任意摸出一张卡片，摸到蓝色卡片的概率是______ ．
13. 关于，的方程组的解也是方程的解，则的值是______ ．
14. 共享单车为市民的绿色出行提供了方便图是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则的度数为______ ．
15. 九章算术是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是，类似的，图所示的算筹图用方程组表示出来，就是______．
16. 如图，已知平分，，于点，于点，交于点，若，则的长是______ ．
17. 如图，等腰直角中，，点是边的中点，点，分别在，上，且，连接下列结论：图形中全等的三角形只有两对；的面积等于四边形面积的倍；；其中正确的序号为______ ．
18. 如图，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止设点的运动路程为，线段的长度为，图是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
解方程组：
；
．
20. 本小题分
解不等式组，并写出不等式组的负整数解．
21. 本小题分
某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘商场规定：顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品下表是此次活动中的一组统计数据：
转动转盘的次数
落在“可乐”区域的次数
落在“可乐”区域的频率
完成上述表格；结果全部精确到
请估计当很大时，频率将会接近______ ，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是______ ；结果全部精确到
转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？
22. 本小题分
为了鼓励公民节约用电，某市采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费每户家庭每月电费元与用电量之间的函数图象如图所示．
求与之间的函数表达式；
若乙用户某月需缴电费元，求乙用户该月的用电量．
23. 本小题分
如图，在中，，点在线段的延长线上，点是中点，点是边上一点．
尺规作图：作的角平分线，连接并延长，交于点保留作图痕迹，不写作法；
求证：；
若，，，求的面积．
24. 本小题分
为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，我区某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动在此次活动中，若每位老师带队名学生，则还剩名学生没老师带；若每位老师带队名学生，就有一位老师少带名学生现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量人辆
租金元辆
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过元请解决下列问题：
参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
学校租车总费用最少是多少元？
25. 本小题分
已知：如图，，直线分别交，于点，的平分线与的平分线交于点．
求的度数；
在图的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点得到图则 度
如图，直线分别交，于点，点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系是 ．
26. 本小题分
【阅读理解】
如图，中，若，，求边上的中线的取值范围可以用如下方法：延长至，使，连接．
在中，利用三角形三边关系即可判断的取值范围是______ ．
【问题解决】
如图，中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接．
求证：；
【问题拓展】
如图，在四边形中，，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交、于、两点，连接．
试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的稳定性，
故选：．
利用三角形的稳定性的性质直接回答即可．
本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是掌握三角形具有稳定性．
2.【答案】
【解析】解：方程，
移项得：．
故选：．
把看作已知数求出即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是把看作已知数求出．
3.【答案】
【解析】解：点在第一象限，
，
解得，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4.【答案】
【解析】解：在和中，，，
若要使≌，则需要或或，
抽到的条件恰好能保证≌的概率是．
故选：．
由，知，若要使≌，则需要或或，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式和全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定义及概率公式．
5.【答案】
【解析】解：过点作，
，
，
，即，
，，
的度数为．
故选：．
过点作，然后根据两直线平行，同旁内角互补得出，再解答即可．
本题主要考查了平行线的性质，加辅助线，然后利用平行线的性质求解是解此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：直线：与：交于点，
从图象可以看出，当时，直线：的图象都在：的图象的上方，
不等式的解集为：，
故选：．
观察函数图象得到，当时，直线：的图象都在：的图象的上方，由此得到不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
7.【答案】
【解析】解：，，
，
，
垂直平分，
，
，
．
故选：．
由作图痕迹可知垂直平分，得出，，由，，得出，，即可得出答案．
本题考查作图基本作图，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8.【答案】
【解析】解：设运动的时间为秒，
在中，，，
点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点出发以每秒的速度向点运动，
当是等腰三角形时，，
，
即，
解得．
，
故选：．
设运动的时间为秒，则，，当是等腰三角形时，，则，解得即可．
此题主要考查了等腰三角形的性质，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：，
由得：，
由得：，
解得：，
不等式组有且仅有三个整数解，即，，，
，
的最大值是，
故选：．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分表示出不等式组的解集，根据解集有且只有三个整数解，确定出的范围即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：矩形对边，
，
图中，，
矩形对边，
，
图中，，
由翻折的性质得，图中，
图中，，
图中，，
故选：．
根据两直线平行，同旁内角互补可得，然后得出图中度数；再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出图中，再根据翻折的性质可得，然后代入数据计算即可得解．
本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图，理清翻折前后重叠的角是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，
，
．
故答案为：．
根据，可得：，据此把，，这三个数用“”连接起来即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，
12.【答案】
【解析】解：由题意得卡片的总张数为张，
蓝色卡片的张数为：张
则任意摸出一张卡片，摸到蓝色卡片的概率是．
故答案为：．
根据概率的定义和任意抽出一张是红色卡片的概率为求出卡片的总张数，进而求出蓝色卡片的张数，再根据概率公式求出摸到蓝色卡片的概率．
本题考查了概率公式，掌握概率公式：概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，
得，，
由题意得，
解得，
故答案为：．
直接让方程组中的两个方程相加，得出，根据题意得出，从而求出的值．
本题主要考查了二元一次方程组的解，得出是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
由得到，代入，得到，由即可得到．
本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：由题意可得，
图所示的算筹图用方程组表示出来，就是，
故答案为：．
根据题意和图，可知第一个小棍数代表几个，第二个小棍数代表几个，最后的代表常数，然后即可根据图，写出相应的方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．
16.【答案】
【解析】解：，
，
于点，
，
，
平分，于点，于点，
．
故答案为：．
由，得到，由直角三角形的性质得到，由勾股定理求出，由角平分线的性质得到．
本题考查角平分线的性质，勾股定理，直角三角形的性质，平行线的性质，关键是由勾股定理求出的长，由角平分线的性质即可得到的长．
17.【答案】
【解析】解：结论错误．理由如下：
图中全等的三角形有对，分别为≌，≌，≌．
解：由等腰直角三角形的性质，可知，，，
在与中，
，
≌．
，，
．
在与中，
，
≌．
同理可证：≌；
结论正确．理由如下：
≌，
，
，
即的面积等于四边形的面积的倍．
结论正确，理由如下：
≌，
，
，
，
．
综上所述，正确的结论有个．
≌，
；
≌，
．
在中，由勾股定理得，
，
故结论正确；
故答案为：．
结论错误．因为图中全等的三角形有对；
结论正确．由全等三角形的性质可以判断；
结论正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断；
结论正确．利用全等三角形的性质与勾股定理可判定．
本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质等重要几何知识点．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
18.【答案】
【解析】解：如图过点作于点，当点与重合时，在图中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，
，，，
在中，，，
，
，
，
故答案为：．
过点作于点，当点与重合时，在图中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，勾股定理求得然后等面积法即可求解．
本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键．
19.【答案】解：将原方程组化简整理得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
原方程组的解为：；
，
得：，
得：，
把代入得：，
解得：，
把，代入得：，
解得：，
原方程组的解为：．
【解析】先将原方程组进行化简整理得：，然后再利用加减消元法进行计算，即可解答；
利用加减消元法进行计算，即可解答．
本题考查了解三元一次方程组，解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
20.【答案】解：
由得，．
由得，．
不等式组的解集是．
不等式组的负整数解是．
【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的的负整数解即可．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，解不等式时注意不等式两边同时乘或除负数时，不等号方向改变；求整数解时要结合数轴一起判断，不要漏解．
21.【答案】
【解析】解：；；
估计当很大时，频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是；
，
所以表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是．
故答案为，．
根据频率的定义计算时的频率和频率为时的频数；
从表中频率的变化，可得到估计当很大时，频率将会接近，然后根据利用频率估计概率得“可乐”的概率约是；
可根据获得“洗衣粉”的概率为，然后根据扇形统计图的意义，用乘以即可得到表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
22.【答案】解：根据图象可得，
时，设．
则．
解得，．
时，．
当时，设．
则，
解得，．
时，．
由上可得，与之间的函数关系式是：；
将代入得，．
即乙用户某月需缴电费元，乙用户该月的用电量是度．
【解析】根据图象可以分别设出，时的函数解析式，从而可以解答本题；
根据图象可以判断电费元在的函数图象上，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是利用数形结合的数学思想，将图象与实际问题联系在一起，然后找出所求问题需要的条件．
23.【答案】解：如图，即为所求；
证明：由知：是的角平分线，
，
，
，
，
，
；
解：，
，
点是中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
如图，过点作于点，
，
，
，
的面积．
【解析】根据角平分线的作法即可作的角平分线，连接并延长，交于点；
根据平行线的判定即可解决问题；
证明≌，可得，所以，可得，过点作于点，然后根据勾股定理求出，进而可以求的面积．
本题考查了作图基本作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
24.【答案】解：设参加此次劳动实践活动的老师有人，学生有人，
根据题意得：，
解得：．
答：参加此次劳动实践活动的老师有人，学生有人；
设租用辆甲型客车，则租用辆乙型客车，
根据题意得：，
解得：，
又，均为非负整数，
可以为，，，，
学校共有种租车方案，
方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；
方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；
方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；
方案：租用辆甲型客车；
选择方案所需租车总费用为元；
选择方案所需租车总费用为元；
选择方案所需租车总费用为元；
选择方案所需租车总费用为元．
，
学校租车总费用最少是元．
【解析】设参加此次劳动实践活动的老师有人，学生有人，根据“若每位老师带队名学生，则还剩名学生没老师带；若每位老师带队名学生，就有一位老师少带名学生”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设租用辆甲型客车，则租用辆乙型客车，根据租用的辆客车载客量不少于人，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，结合，均为非负整数，即可得出各租车方案；
利用租车总费用每辆甲型客车的租金租用甲型客车的数量每辆乙型客车的租金租用乙型客车的数量，可分别求出选择各租车方案所需租车总费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、有理数的混合运算以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；根据各数量之间的关系，求出选择各租车方案所需租车总费用．
25.【答案】
【解析】解：，
，
平分，平分，
，，
，
在中，，
，
即的度数是；
如图中，由题意，，
平分，平分，
，
，
故答案为：；
结论：理由：
如图中，由题意，，，
平分，平分，
，，
．
故答案为：．
利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解答即可．
利用基本结论，求解即可．
利用基本结论，求解即可．
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义．
题目有两处错误：一是求的度数；应该改为：求的度数；二是的平分线与的平分线交于点，应该改为：的平分线与的平分线交于点，
26.【答案】
【解析】解：如图，将绕着点逆时针旋转得到，则≌，
，，
在中，，即，
故答案为：
证明：如图，延长至，使，连接、，
在和中，
，
≌
，
，，
在中，，
；
解：，
理由如下：如图，延长至点，使，连接，
，，
，
在和中，
，
≌
，，
，，
，
，
在和中，
，
≌
，
．
将绕着点逆时针旋转得到，得到≌，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系求出的取值范围，即可得出的取值范围；
延长至点，使，连接、，同得≌，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论；
延长至点，使，连接，证出，证明≌，得出，，证出，再证明≌，得出，即可得出结论．
本题考查的是三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解决问题的关键．
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