2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市龙江重点中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市龙江重点中学九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 如图，直线，将一个含角的三角尺按如图所示的位置放置，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
4. 一个长方体的三视图如图，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
5. 每年的月日为“世界读书日”，某学校为了鼓励学生多读书，开展了“书香校园”的活动如图是初三某班班长统计的全班名学生一学期课外图书的阅读量单位：本，则这名学生图书阅读数量的中位数、众数和平均数分别为( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
6. 如图，电路图上有个电源，个开关和个完好的小灯泡，随机闭合个开关，则小灯泡发光的概率为( )
A.
B.
C.
D.
7. 若关于的分式方程无解，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
8. 端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入、两种食品盒中，种食品盒每盒装个粽子，种食品盒每盒装个粽子，若现将个粽子分别装入、两种食品盒中两种食品盒均要使用并且装满，则不同的分装方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
9. 如图，正方形一边在直线上，是直线上点左侧的一点，，为边上一动点，过点，的直线与正方形的边交于点，连接，，若设，的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，抛物线经过点和，则下列结论：
；
；
；
；
若双曲线经过点，则一元二次方程的两个实数根为、；
其中正确结论的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）
11. 光的速度约为，以太阳系以外距离地球最近的一颗恒星比邻星发出的光，需要年的时间才能到达地球．若一年以计算，则这颗恒星到地球的距离是______．
12. 在函数中，自变量的取值范围是______．
13. 如图，要使∽，则需要添加的条件是______ 填一个即可．
14. 如图，点，为函数图象上的两点，过，分别作轴，轴，垂足分别为，，连接，，，线段交于点，且点恰好为的中点当的面积为时，的值为______ ．
15. 一个扇形的半径长为，面积为，用这个扇形做成一个圆锥的侧面，则做成的圆锥的高为______ ．
16. 菱形的边长为，对角线、交于点，，以为一边作正方形，过点作直线，垂足为，连接，则______．
17. 如图，直线的解析式为，直线的解析式为，为上的一点，且点的坐标为，作直线轴，交直线于点，再作于点，交直线于点，作轴，交直线于点，再作，交直线于点，作轴，交直线于点按此作法继续作下去，则的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
计算：．
因式分解：．
19. 本小题分
解方程：．
20. 本小题分
某中学对学生进行“综合素质评价”，现随机抽取部分学生的评价结果分为、、、、五个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息，解答下列问题．
本次抽样调查的学生有 人；
补全条形统计图：组对应扇形的圆心角的度数为 ；
该学校共有名学生，估计该校等级的人数．
21. 本小题分
如图，为的直径，、是上的两点，延长至点，连接，．
求证：是的切线．
若，，求的半径．
22. 本小题分
甲、乙两车分别从相距的、两地出发，匀速行驶，先相向而行，乙车在甲车出发后出发，到达地后停止行驶，甲车到达地后，立即按原路原速返回地甲车调头的时间忽略不计，甲、乙两车距地的路程单位：与甲车出发时间单位：之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
甲车的行驶速度是______ ，乙车的行驶速度是______ ， ______ ；
求线段的解析式并写出自变量的取值范围；
乙车出发多少小时后两车相距为？请直接写出答案．
23. 本小题分
【问题思考】如图，点是正方形内的一点，过点的直线，以为边向右侧作正方形，连接，直线与直线交于点，则≌ ______ ，通过这两个三角形全等可得线段与之间的关系为______ ．
【问题类比】
如图、，当点是正方形外的一点时，【问题思考】中的结论______ 填成立或不成立，若成立，请选择图证明你的结论；若不成立，请选择图说明理由；
【拓展延伸】
若点是边长为的正方形所在平面内一动点，【问题思考】中其他条件不变，则的取值范围是______ 直接写出结果．
若点是边长为的正方形所在平面内一动点，【问题思考】中其他条件不变，则动点到边的最大距离为______ 直接写出结果．
24. 本小题分
如图，在矩形中，点为原点，、的长是方程的两根抛物线经过点、，与交于点．
求抛物线的函数解析式；
点为线段上一个动点不与点重合，点为线段上一个动点，，连接，设，的面积为．
求关于的函数表达式；
当最大时，点的坐标为______ ；
当最大时，点在抛物线的对称轴上，点是平面内任意一点，是否存在点、，使得以点、、、为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】
解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
【点评】
本题考查轴对称图形与中心对称图形的知识，关键是掌握轴对称图形与中心对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，沿对称轴折叠后图形两部分可重合；判断中心对称图形的关键是寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．
2.【答案】
【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据合并同类项，分式的乘法，除法，加减法，乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了分式的混合运算，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：如图，作，
三角尺是含角的三角尺，
，
，
，
，
，，
，
．
故选：．
根据平行线的判定与性质求解，
本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是利用两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等求解．
4.【答案】
【解析】解：如图所示：
，
，
，
正方形面积为：，
侧面积为：，
这个长方体的表面积为：．
故选A．
根据三视图图形得出，，即可求出这个长方体的表面积．
此题主要考查了利用三视图求长方体的表面积，得出长方体各部分的边长是解决问题的关键．
5.【答案】
【解析】解：由折线统计图得这组数据的中位数为，
众数为，
平均数为．
故选：．
利用折线统计图得到个数据，其中第个数为本，第个数是本，从而得到数据的中位数，再求出众数和平均数．
本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．也考查了中位数、众数和平均数．
6.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中随机闭合个开关，小灯泡发光的结果有：，，，，，，，，共种，
随机闭合个开关，小灯泡发光的概率为．
故选：．
画树状图得出所有等可能的结果数和随机闭合个开关，小灯泡发光的的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，
方程两边同时乘以，得，
移项、合并同类项，得，
方程无解，
或，
解得或．
故选：．
先解方程得，再由方程无解可得或，分别求出的值即可．
本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，根据分式方程无解，分两种情况进行讨论是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：设种食品盒个，种食品盒个，根据题意得：
，
，
方程的正整数解为：．
则不同的分装方式有种．
故选：．
根据题意列方程，求其正整数解．
本题考查二元一次方程的应用，并求其特殊解的问题．
9.【答案】
【解析】解：，
，，，
四边形是正方形，
，
点在边上时，，，
，
点与点重合时时，
，
四边形是正方形，
，
，
，解得，
点在边上时，
，
，即，
，
，
当时，，当时，，当时，，
能反映与之间函数关系的图象是，
故选：．
分别求出点在边上时，点与点重合时时，点在边上时，与之间的函数关系式，即可求解．
本题考查的是动点图象问题，涉及到一次函数、平行线分线段成比例定理，正方形的性质，分类思想的利用是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由图象可知，，
对称轴；
，
；
故正确；
由图象可知，当时，，
，故错误；
抛物线与轴有两个交点，
，
，故错误；
抛物线经过点和，
，，
，
抛物线开口向下，
，
，故正确；
双曲线经过点，
，
，
，
，
以、为根的一元二次方程是，故正确；
故选：．
由抛物线经过点，由图象可知，，对称轴；即可判断；根据图象即可判断；根据抛物线经过点和，得出，，即可得出，由，即可判断；求得，即可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，解决本题的关键是综合运用二次函数的相关知识．
11.【答案】
【解析】解：依题意，这颗恒星到地球的距离为
，
，
．
根据题意列出算式，再根据单项式的运算法则进行计算．
本题考查了根据实际问题列算式的能力，科学记数法相乘可以运用单项式相乘的法则进行计算．
12.【答案】且
【解析】解：由题意得：
且，
且，
故答案为：且．
根据，，进行计算即可．
本题考查了零指数幂，函数自变量的取值范围，熟练掌握，是解题的关键．
13.【答案】答案不唯一
【解析】解：由图可得，
当时，∽；
当时，∽．
故答案为：答案不唯一．
利用相似三角形的判定的定理进行分析即可．
本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件．
14.【答案】
【解析】解：点为的中点，
的面积的面积，
点，为函数图象上的两点，
，
轴，轴，
，
∽，
，
，
则，
．
故答案为：．
根据三角形的中线的性质求出的面积，根据相似三角形的性质求出，根据反比例函数系数的几何意义解答即可．
本题考查的是反比例函数系数的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：设圆锥的底面半径为．
根据题意得，
解得，，
圆锥的高．
故答案为：．
由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式得到，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
16.【答案】或
【解析】解：在菱形中，，
菱形的边长为，且，
，
根据勾股定理，得，
点在线段上，如图所示：
在正方形中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
根据勾股定理，得，
点在线段的延长线上，如图所示：
同理可证≌，
，
，
，
根据勾股定理，得．
故答案为：或．
分两种情况：点在线段上，点在线段的延长线上，根据菱形的性质先求出，易证≌，可得，根据勾股定理即可求出．
本题考查了正方形的性质与菱形的性质，分情况讨论以及证明≌是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：过点作轴于，过点作轴于，
点的坐标为，
，，
，
，
即：直线与轴夹角为，
，
，
设，则，
，
，
即直线与轴夹角为，
轴，
，
；
点的坐标为，
同理可得：，，，，
以此类推：则点，
的坐标为．
故答案为：
首先求出直线与轴夹角为，直线与轴夹角为，进而可得，据此可求得的坐标，同理可得点、的坐标，然后观察，，的坐标的特点，再根据其特点，依此类推得出点的坐标，继而可得出此题的答案．
本题主要考查了一次函数的图象，解答此题的关键是利用平行于轴的直线上点的纵坐标相等，以及等腰三角形的性质得出点，，的坐标，然后再根据这些坐标的特点得出一般规律．
18.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】利用负整数指数幂，立方根的定义，绝对值的性质，零指数幂，特殊锐角的三角函数值进行计算即可；
利用十字相乘法及公式法因式分解即可．
本题考查实数的运算及因式分解，熟练掌握实数运算法则及因式分解的方法是解题的关键．
19.【答案】解：，
，
，
或，
解得，，
所以，原方程的解为，．
【解析】利用因式分解法解此方程，即可求解．
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握和运用解一元二次方程的方法是解决本题的关键．
20.【答案】
【解析】解：人，
即本次抽样调查的学生有人，
故答案为：；
等级的学生有：人，
补全的条形统计图如右图所示，
组对应扇形的圆心角的度数为：，
故答案为：；
人，
答：估计该校等级的学生有人．
根据等级的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽取的学生人数；
根据中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出等级的人数，然后即可将条形统计图补充完整；根据等级的和中的结果，可以计算出组对应扇形的圆心角的度数；
根据扇形统计图中等级所占的百分比，可以计算出该校等级的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】证明：连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：，，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
．
为的直径，
的半径为．
【解析】连接，由圆周角定理得出，证出，由切线的判定可得出结论；
证明∽，由相似三角形的性质得出，由比例线段求出和的长，可求出的长，则可得出答案．
本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：，
乙车的行驶速度是；
，
，
甲车的行驶速度是，
故答案为：，，；
，
，
设线段的解析式为，将，代入得：
，
解得，
线段的解析式为；
设乙车出发小时后两车相距为，
两车第一次相遇前，，
解得，
两车第一次相遇后，，
解得，
当甲车返回时，，
解得，
综上所述，乙车出发或或后，两车相距为．
由路程除以时间可得乙车的行驶速度是；即得，可得甲车的行驶速度是；
求出，设线段的解析式为，用待定系数法得线段的解析式为；
设乙车出发小时后两车相距为，分三种情况列方程可解得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
23.【答案】 ， 成立
【解析】解：【问题思考】：四边形和四边形是正方形
，，，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：，，；
【问题类比】：仍然成立，理由如下：
四边形和四边形正方形，
，，，
，≌，
，，
，
，
，
，
；
连接，，，如图，
四边形和四边形是正方形，
，，，
，，
由三角形三边关系可知：，
当，，在同一直线上时取等号，
，
故答案为：；
如图，连接，
由可知：，
，
点在以为直径的上运动，
当时，点到边有最大距离，
正方形的边长为，
，，
点到边的最大距离为，
故答案为：．
【问题思考】：由“”可证≌，可得，，由四边形内角和定理可证；
【问题类比】：由“”可证≌，可得，，由四边形内角和定理可证；
连接，，，易得，，由三角形三边关系可知：，当，，在同一直线上时取等号，即可得；
由题意可得点在以为直径的上运动，则当时，点到边有最大距离，即可求解．
本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24.【答案】
【解析】解：，
，
解得：，，
，，即，，
将、两点坐标代入抛物线，
得，
解得，
抛物线的解析式为．
，，
，
过点作与点，则，
，
，
，
．
，
当时，取最大值，
，设直线的解析式为，将点代入得，
，
解得，
直线的解析式为，
设，
，
，
解得或舍去，
，
故答案为：．
在抛物线对称轴上存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是矩形，
的对称轴为，
坐标为，
又，
，
当时，则在直线上，
在对称轴上，
，
当时，则的纵坐标与点纵坐标相同，
，
当时，，
设，
则，
即，
解得，
，，
如图所示，设的中点为，则，
，
，关于点对称，
，．
综上所述，，，，．
将、两点坐标代入抛物线，即可求得抛物线的解析式；
先用表示出的长度，进而求出三角形的面积关于的函数；
先求出时取最大值，再求得直线的解析式，设，根据，勾股定理即可求解；
由可得时，取最大值，再根据点、、、为顶点的四边形是矩形，分情况求出的坐标．
本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的解析式的求法抛物线的最值，解一元二次方程，正弦的定义，掌握二次函数的性质是解题的关键．
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