2022-2023学年湖南省衡阳市衡南县高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省衡阳市衡南县高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. ，，则( )
A. B.
C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则( )
A. B. C. D.
3. 命题：，的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4. 已知，则在上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
5. 马林梅森是世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对作了大量的计算、验证工作人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如其中是素数的素数，称为梅森素数素数也称质数在不超过的素数中，随机选取个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是( )
A. B. C. D.
6. 设随机变量，若，则的值为( )
A. B. C. D.
7. 等腰三角形的底和腰之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它被称为最美的三角形如图，正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成，且黄金三角形的顶角根据这些信息，可求得的值为( )
A.
B.
C.
D.
8. 已设椭圆：的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法正确的有( )
A. 在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法
B. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和
C. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点
D. 在回归分析中，决定系数越大，模拟的效果越好
10. 若函数的部分图象如图，则( )
A. 是以为周期的周期函数
B. 的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数是奇函数
C. 在上单调递减
D. 的图象的对称中心为，
11. 如图，正方体的棱长为，动点，分别在线段，上，则( )
A. 异面直线和所成的角为
B. 点到平面的距离为
C. 若，分别为线段，的中点，则平面
D. 线段长度的最小值为
12. 函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，且，则( )
A. 为偶函数
B.
C. 的图象关于对称
D. 若，则为奇函数
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 的二项展开式中的常数项为______ ．
14. 小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是，小智连续两盘都获胜的概率是，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是______ ．
15. 对于三次函数，给出定义：设是的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”，可以发现，任何一个三次函数都有“拐点”设函数，则 ______ ．
16. 若，设表示的整数部分，表示的小数部分，如，已知数列的各项都为正数，，且，则 ______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
等比数列的公比为，且，，成等差数列．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
18. 本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ若，且，求和；
Ⅲ若，，求的周长．
19. 本小题分
如图，矩形是圆柱的一个轴截面，点在圆上，，且，．
当时，证明：平面；
若直线与平面所成角的正弦值为，试求此时的值．
20. 本小题分
第届亚运会将于年月日至月日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛已知社区甲、乙、丙位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．
求这人中至少有人通过市知识竞赛的概率
某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：
方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励元：
方案二：只参加了初赛的选手奖励元，参加了决赛的选手奖励元．
若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．
21. 本小题分
如图，已知椭圆：的两个焦点为，，且，为双曲线的顶点，双曲线的离心率，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线，的斜率分别为，，且直线和与椭圆的交点分别为，和，．
求双曲线的标准方程；
证明：直线，的斜率之积为定值；
求的取值范围．
22. 本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
，关于的不等式恒成立，求正实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
根据交集的定义求解即可．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为复数对应的点的坐标为，
所以，
所以．
故选：．
由复数的几何意义确定复数，再由复数乘法求．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：原命题的否定为：，．
故选：．
根据题意，由特称命题的否定是全称命题即可得到结果．
本题考查特称命题的否定相关知识，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
则在上的投影向量为．
故选：．
根据投影向量的定义即可求解．
本题主要考查投影向量的定义，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，设在不超过的素数中，随机选取个不同的数，至少有一个为梅森素数为事件，
则为取出的三个数中，不含梅森素数，
不超过的素数，有，，，，，，，，，，，一共有个．
其中梅森素数为：，，，共有个．
不含梅森素数的概率为，
则随机选取个素数，至少有一个梅森素数的概率．
故选：．
列举法找出所有不超过的素数和梅森素数，计算随机抽取其中个素数时，不含梅森素数的概率，利用对立事件的性质分析可得答案．
本题考查古典概型的计算，注意用间接法分析，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意可得：正态曲线的对称轴为，
若，则，解得．
故选：．
根据正态分布的对称性分析运算．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由图形知，则，
所以，
，
．
故选：．
由图可得，再利用倍角余弦公式可得，再结合诱导公式即可求解．
不同检查解三角形问题，三角函数的公式的应用，属基础题．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查椭圆的离心率的计算，结合椭圆的定义进行转化是解决本题的关键，综合性较强，属于拔高题．
根据条件判断四边形为矩形，结合椭圆的定义结合椭圆离心率方程进行转化求解即可．
【解答】
解：作出椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，
又，
即，故平行四边形为矩形，
，
设，，
则在直角三角形中，，，
得，
得，令，得，
又由，得，
，即，
即，得，
即，
即，
则，
即，得，
得，
则椭圆的离心率的取值范围是，
故选：．

9.【答案】
【解析】解：对于选项，在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，对；
对于选项，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，对；
对于选项，线性回归方程对应的直线必过样本中心点，不一定过样本数据点中的一个点，错；
对于选项，在回归分析中，决定系数越大，模拟的效果越好，对．
故选：．
利用独立性检验的概念可判断选项；利用离散型随机变量的概念可判断选项；利用回归直线的概念可判断选项；利用决定系数与模拟效果的关系可判断选项．
本题主要考查独立性检验，线性回归方程，考查命题真假的判断，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题图可知，因为当时，，所以．
因为，所以，所以．
由题图可知，所以，所以．
由题图可知，当时，取得最大值，
所以，，解得，．
又，所以，所以．
对于，，则A正确．
对于，的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，
此函数不是奇函数，故B错误．
对选项C，，则，
所以在上单调递减，故C正确．
对选项D，，，得，，
所以的图象的对称中心为，，则D错误．
故选：．
首先根据函数图象得到，对于选项A，根据三角函数的周期性即可判断A正确，对选项B，向左平移后得到，不是奇函数，即可判断B错误，对选项C，根据，即可判断C正确，对选项D，根据的图象的对称中心为，即可判断D错误．
本题主要考查由的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为，
所以异面直线和所成的角即为和所成的角，
因为，
所以为等边三角形，即，故A错误；
连接如图所示：
点到平面的距离为，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以点到平面的距离为，故B正确；
当，分别为线段，的中点时，
则为的中位线，所以，
又平面，平面，
所以平面，故C正确；
以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
则，，
设，，
所以，
所以，
设，，
又，
所以，
所以，
所以，
当，即时，有最小值，
所以，故D选项正确．
故选：．
利用异面直线所成角的概念判断选项A，利用等体积法求点到面的距离判断，利用线面平行的判定定理判断，建立空间直角坐标系利用向量共线的性质判断选项D．
本题考查异面直线所成角的求解，等体积法求解点面距问题，线面平行的证明，坐标法求解两点间距离的最值，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为为奇函数且在定义域上可导，即，
所以两边对取导可得，即，
所以为偶函数，故A正确；
对于：令，显然为奇函数，且最小正周期，
即满足，则，则，故B错误；
对于：因为且为上的奇函数，所以，
即，所以，即，
所以的图象关于对称，故C正确；
对于：因为，则，
即为奇函数，由可知为偶函数，故D错误．
故选：．
根据简单复合函数的求导法则及奇偶性的定义判断、，利用特殊值判断，根据周期性及奇偶性判断函数的对称性，即可判断．
本题主要考查导数的综合应用，考查转化能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：的二项展开式，
令，解得，
故展开式的常数项为．
故答案为：．
直接利用二项展开式求出常数项．
本题考查的知识要点：二项展开式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，设小智第一盘获胜，小智第二盘获胜，
则，，则．
故答案为：．
根据题意，设小智第一盘获胜，小智第二盘获胜，易得，，由条件概率公式计算可得答案．
本题考查条件概率的计算，注意条件概率的计算公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
设，则，
令，可得，
又，
所以，即，
所以，
所以．
故答案为：．
由题意对已知函数进行二次求导，证明函数关于点中心对称，即，由此可得到结果．
本题主要考查了函数的求导，还考查了函数性质在函数求值中的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由得，
，
，
依次类推知，
所以．
故答案为：．
根据，表示的含义，即可代入求解，，，通过规律即可归纳求解．
本题主要考查数列递推式，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：等比数列的公比，且，，成等差数列，
，
，
，又，
；
，
．
【解析】根据等差数列的性质，等比数列的通项公式，方程思想，即可求解；
根据分组求和法，等差数列与等比数列的求和公式，即可求解．
本题考查差数列的性质，等比数列的通项公式，方程思想，分组求和法，等差数列与等比数列的求和公式，属中档题．
18.【答案】解：Ⅰ中，因为，所以，
所以，即，
所以，
因为，所以．
Ⅱ因为，所以，
又，所以，
所以，．
Ⅲ由余弦定理：，
所以，所以的周长为．
【解析】Ⅰ利用正弦定理角化边，再利用余弦定理计算得出的大小；
Ⅱ根据正弦定理和面积公式求出，；
Ⅲ根据余弦定理得出的值，进而求得周长．
本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，属于中档题．
19.【答案】解：当时，点为的中点，
，，
是底面圆的直径，，，
是圆柱的母线，平面，
平面，，
又，，平面，
平面，平面，，
，，平面，
平面，平面，平面平面；
过在平面内作直线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，且，，，
则，，，，
，，，
，
，
，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
，，
解得．
【解析】由已知可证，，可证平面，可证平面平面；
过在平面内作直线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的法向量，利用向量法可求的值．
本题考查面面垂直的证明，考查线面角的求法，考查运算求解能力，属中档题．
20.【答案】解：人都没有通过初赛的概率为，
所以，这人中至少有人通过市知识竞赛的概率为．
方案一：设三人中奖人数为，所获奖金总额为元，则，且，
所以元，
方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为元，则的所有可能取值为、、、，
则，，，，
所以，．
所以，
所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．
【解析】计算出人都没有通过初赛的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
利用二项分布及期望的性质求出方案一奖金总额的期望，对方案二，列出奖金总额为随机变量的所有可能取值，并求出对应的概率，求出其期望，比较大小作答．
本题主要考查离散型随机变量的数学期望，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：由椭圆：的方程可得两个焦点，的坐标分别为，，
题意可得双曲线的顶点坐标为，
设双曲线的方程为：，则，
又离心率，，，
所以双曲线的标准方程为：；
证明：设，则，
由题意，
即证得直线，的斜率之积为定值；
由可得积为定值，可得直线，的斜率存在且不为，
设直线方程为，设，，
联立，整理可得：，
因为在椭圆内部，所以，，，
所以，
因为两条直线的斜率之积为，则斜率的倒数之积也为，同理可得，
所以求，
因为是不为的实数，所以，
因为渐近线方程的斜率为，直线与双曲线有两个交点，则直线，的斜率不等于，则，
所以，，
可得的取值范围为，
所以的取值范围为：．
【解析】由椭圆的方程可得它的焦点的坐标，即双曲线的顶点坐标，再由双曲线的渐近线的方程可得的值，即求出双曲线的方程；
设的坐标，代入双曲线的方程，可得的横纵坐标的关系，求出直线，的斜率之积的表达式，将的横纵坐标的关系代入，可证得斜率之积为定值；
由可知两条直线的斜率为定值，可得直线的斜率存在且不为，且斜率的倒数之积也为，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出弦长的表达式，同理可得的表达式，进而求出的表达式，分离常数，再由参数的范围，求出的取值范围．
本题考查求双曲线的方程及直线与椭圆的综合应用，分离常数求值域的方法的应用，属于中档题．
22.【答案】解：，
当时，，在上递增；
当时，令解得，
所以在区间，，递减；
在区间，，递增．
综上所述，时，在上是增函数；时，在上是减函数，在上是增函数；
不等式，即，
由于，，所以恒成立，
设，，
由知，时，，在上是减函数，在上是增函数，，
所以，用替换得，且时，，
所以时，，递增，时，，递减，
所以时，，
所以，，所以的取值范围是．
【解析】求得，对进行分类讨论，从而求得的单调区间；
由不等式分离，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查转化能力，属于中档题．
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