2022-2023学年吉林省“BEST合作体”高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年吉林省“BEST合作体”高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 命题：“，”，命题：“”，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. 用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程为，则( )
A. B. C. D.
4. 已知抛物线：的准线为，点的坐标为，点在抛物线上，点到直线的距离为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5. 李先生的私家车基本上每月需要去加油站加油两次，假定每月去加油时两次的油价略有差异．有以下两种加油方案：
方案一：不考虑两次油价的升降，每次都加油元；
方案二：不考虑两次油价的升降，每次都加油升．
李先生下个月采用哪种方案比较经济划算？( )
A. 方案一 B. 方案二 C. 一样划算 D. 不能确定
6. 已知，为双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7. 已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
9. 某课外兴趣小组通过随机调查，利用列联表和统计量研究数学成绩优秀是否与性别有关计算得，经查阅临界值表知，则下列判断正确的是( )
A. 每个数学成绩优秀的人中就会有名是女生
B. 若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是
C. 有的把握认为“数学成绩优秀与性别有关
D. 在犯错误的概率不超过的前提下认为“数学成绩优秀与性别无关”
二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）
10. 下列命题中正确的是( )
A. 命题：“，”的否定是“，”
B. 函数且恒过定点
C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为
D. 函数的值域是，则实数的范围是
11. 一个袋子中装有除颜色外完全相同的个球，其中有个黑球，个白球，现从中任取个球，记随机变量为取出白球的个数，随机变量为取出黑球的个数，若取出一个白球得分，取出一个黑球得分，随机变量为取出个球的总得分，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
12. 定义在上的函数的导函数为，当时，，函数满足：为奇函数，且对于定义域内的所有实数，都有则( )
A. 是周期为的函数 B. 为偶函数
C. D. 的值域为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知等差数列的前项和为，且，，则 ______ ．
14. 的展开式中，的系数为______ ．
15. 已知，，且，则的最大值是______ ．
16. 在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图，是利用算筹表示数的一种方法，例如：可以表示为“”，如果用算筹表示一个不含“”且没有重复数字的三位数，这个数至少要用根小木棍的概率为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了名学生，其中共有名女生和名男生的成绩在分以上，从这名同学中每次随机抽人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次记第一次抽到女生为事件，第二次抽到男生为事件．
求，；
若把抽取学生的方式更改为：从这名学生中随机抽取人进行经验分享，记被抽取的人中女生的人数为，求的分布列和数学期望．
18. 本小题分
年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了企业的创新动能某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，如表为该企业今年月份接到的订单数量．
月份
订单数量万件
附：相关系数，，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，，．
试根据样本相关系数的值判断订单数量与月份的线性相关性强弱，则认为与的线性相关性较强，，则认为与的线性相关性较弱结果保留两位小数
建立关于的线性回归方程，并预测该企业月份接到的订单数量．
19. 本小题分
已知数列的前项和为．
从条件、条件这两个条件中选择一个条件作为已知，求的通项公式；
设，记的前项和为，若对任意正整数的，不等式恒成立，求的最小值．
条件，且；条件为等比数列，且满足．
20. 本小题分
已知函数．
若曲线在处的切线方程为，求实数的值；
当时，求在上的最大值；
若对任意的，恒有，求实数的取值范围．
21. 本小题分
年月日，是中国海军成立周年年向海图强，年劈波斩浪年，人民海军新装备不断增加，新型作战力量加速发展，从“南昌舰”到“咸阳舰”，艘型驱逐舰列阵我国自主研制的型两栖攻击舰“海南舰”“广西舰”“安徽舰”也相继正式入列从小艇到大舰，从近海防御到挺进深蓝大洋，人民海军步履铿锵，捍卫国家主权，维护世界和平为了庆祝中国海军成立周年，某公司设计生产了三款两栖攻击舰模型分别为“海南舰”、“广西舰”“安徽舰”，并限量发行若该公司每个月发行件三款各件，一共持续个月，采用摇号的方式进行销售假设每个月都有人参与摇号，摇上号的将等可能获得三款中的一款小周是个“战舰狂热粉”，听到该公司发行两栖攻击舰模型，欣喜若狂．
若小周连续三个月参与摇号，求他在这三个月集齐三款模型的概率；
若摇上号的人不再参加后面的摇号已知小周从第一个月开始参与摇号，并且在个月的限量发行中成功摇到并获得了模型设他第个月摇到并获得了模型，求的数学期望．
22. 本小题分
已知，函数，．
当与都存在极小值，且极小值之和为时，求实数的值；
若，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，
，
则．
故选：．
求出集合，，由此能求出．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：对于命题：“，”，
，得，
可以推出，但是不能推出，
是的充分不必要条件．
故选：．
先根据命题求出的范围，再根据充分性和必要性的定义得答案．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了二次函数的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，其变换后得到线性回归方程为，
，解得．
故选：．
对两边取对数，再结合线性回归方程为，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的求解，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：抛物线：的焦点，依题意，，
则，
当且仅当点，，共线，即点为抛物线顶点时取“”，
所以的最大值为．
故选：．
利用抛物线定义，把问题转化为抛物线上的点到点和焦点距离差的最大值求解．
本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：设李先生这两次加油的油价分别为元升，元升，
则方案一：两次加油的平均价格为元升，
方案二：两次加油的平均价格为元升，
，
，为两次加油时的汽油单价，且，
，，
，
即，
故采用方案一比方案二更划算，
故选：．
设李先生这两次加油的油价分别为元升，元升，则方案一两次加油的平均价格为元升，方案二两次加油的平均价格为元升，再利用作差法比较两者的大小即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了作差法比较大小，属于中档题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，灵活运用几何关系是解决本题的关键，属于中档题．
根据是顶角为的等腰三角形，得出，，进而求出点的坐标，再将点代入双曲线方程即可求出离心率．
【解答】
解：不妨取点在第一象限，如右图：
设双曲线的方程为：，
是顶角为的等腰三角形，
，，
点的坐标为，
又点在双曲线上，
将坐标代入坐标得，
整理上式得，，而，
，因此，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：由得，
作出函数的图象如图：
由图象知，要使有四个不同的零点，
则需要与有个不同的交点，
则此时，
即实数的取值范围是．
故选：．
根据函数与方程的关系，转化为两个函数图象交点问题进行求解即可．
本题主要考查函数零点个数的判断，利用函数与方程的关系，转化为函数与有四个不同的交点，利用数形结合进行求解是解决本题的关键，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：构造函数，
则，
所以在上单调递增，则，故，
构建，则，在上恒成立，
故在上单调递减，则，，
所以，即，所以，故，
综上，．
故选：．
构建函数，利用导数判断的单调性可得，再构建利用导数判断的单调性可得．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，数的大小的比较，考查逻辑推理能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：每个数学成绩优秀的人中可能没有女生，也可能有多名女生，已知数据不能确定结论，选项错误；
若某人数学成绩优秀，已知数据不能判断他为男生的概率，选项错误；
，有的把握认为“数学成绩优秀与性别有关”，
即在犯错误的概率不超过的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”，选项正确，选项错误．
故选：．
根据的值与临界值的大小关系进行判断．
本题考查独立性检验相关知识，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，“，”的否定是“，”，故A错误，
对于，函数，
令，解得，
故函数恒过定点，故B正确，
对于，函数的定义域为，
则，
故，
故函数的定义域为，
令，解得，
故函数的定义域为，故C正确，
对于，当时，满足值域为，
当时，，解得或，
综上所述，实数的范围是，故D正确．
故选：．
对于，结合命题否定的定义，即可求解，
对于，结合指数函数的性质，即可求解，
对于，结合函数定义域的求法，即可求解，
对于，分，两种情况讨论，即可求解．
本题主要考查命题的真假判断与应用，考查转化能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由题意可知，，均服从超几何分布，且，，故B正确，
，
，故A错误，
，，，故C错误，
，故D正确．
故选：．
根据已知条件，利用超几何分布的性质，以及超几何的期望公式，即可求解．
本题主要考查超几何分布的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
在时，，
所以，
所以，
故在上单调递减．
因为为奇函数，
所以，
所以函数关于点中心对称，即；
又，
所以函数关于直线对称，
所以在单调递增，且，
则，，
可得，是周期为的周期函数，不正确．
对于定义域内任一个，结合周期性可得，
故为偶函数，B正确；
因为，，结合草图可知，
，C正确．
而的函数最值无法确定，故D错误．
故选：．
对求导，根据条件求得对称性，并求得定义域上的单调性及周期性，从而对选项一一分析．
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查函数的奇偶性、周期性及应用，考查数形结合思想，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，则，
又，
所以，
则，
所以．
故答案为：．
根据题意，由等差数列的性质以及其前项和公式可得，，从而求得．
本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：可以看作个盒子，每个盒子中有，，三个元素，
现从每个盒子中取出一个元素，最后相乘即可，
所以展开式中含的项为
，
所以的系数为．
故答案为：．
可以将可以看作个盒子，每个盒子中有，，三个元素，每个盒子中取一个元素，结合组合数公式，即可求解．
本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：因为，，所以由基本不等式得，
所以，得，所以，
当且仅当即，时取等号，所以的最大值是．
故答案为：．
根据均值不等式，即可求得答案．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，用算筹表示一个不含“”且没有重复数字的三位数，有种不同的情况，
其中用根小木棍表示的数组合有，有种情况，
用根小木棍表示的数组合有、、、，则有种情况，
用根小木棍表示的数组合有、、、、、、，则有种情况，
则用不超过根小木棍表示的三位数有个，
则要求概率．
故答案为：．
根据题意，由排列组合数分析全部三位数的数目和其中“用不超过根小木棍表示的三位数”的数目，由对立事件的概率性质分析可得答案．
本题考查古典概型的计算，涉及排列组合的应用，属于基础题．
17.【答案】解：，
“在第一次抽到女生的条件下，第二次抽到男生”的概率就是事件发生的条件下，事件发生的概率，
则，，
故；
被抽取的人中女生人数的取值为，，，，
，，，，
的分布列：


的数学期望．
【解析】根据独立事件概率乘法公式结合条件概率运算求解；
根据题意结合超几何分布求分布列和期望．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
18.【答案】解：．，
，
，
，
所以，
订单数量与月份的线性相关性较强；
，
，
所以线性回归方程为，
令，万件，即该企业月份接到的订单数量预计为万件．
【解析】根据公式求出，即可得出结论；
利用最小二乘法求出回归方程，再令，即可得解．
本题线性回归方程，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：选择条件，且，
由题意可得，
，即，
为公比的等比数列，
，，解得，
；
选择条件为等比数列，且满足，
由题意可得，，
，；
由得，
，
，
，，
不等式恒成立时，，即的最小值为．
【解析】选择条件，结合题意得，进而得为公比的等比数列，再根据等比数列求得，进而求解通项公式；
选择条件，由题知，，再根据等比数列通项公式求解即可；
由题知，进而根据裂项求和法得，进而得．
本题主要考查了数列的递推公式，考查了裂项相消法求和，同时考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：由，，
又曲线在处的切线方程为，即，
；
当时，，，
由、在上分别单调递增、单调递减可得：
在上单调递增，而，，
即，使得，故在上单调递减，上单调递增，
且，即在上的最大值为；
，，令，
当时，，，易知在上恒成立，当时取得等号，符合题意；
当时，易知，则在上恒成立，即在时单调递增，
又，故在上单调递增，
，恒有，符合题意；
当时，由知在时单调递增，
而，
即，使得，故在上单调递减，上单调递增，
又，则，不满足题意；
综上当，能满足任意的，恒有．
【解析】直接求导得出，解的值即可；
利用导函数判断在上的单调性即可得出最大值；
利用导函数结合区间端点，分类讨论函数的单调性即可．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解析：由题可知，小周第个月摇上号的概率为，所以小周连续三个月摇上号的概率为，小周连续三个月摇上号的前提下，三个月集齐三款模型共有种情况，三个月获得模型共有种情况，
所以在小周连续三个月摇上号的前提下，三个月集齐三款模型的概率为，
设事件为“小周在这三个月集齐三款模型”，则．
，，，，
由题意得，，，
，
，
得，，
．
【解析】根据古典概型概率公式计算即可；
根据题意得出，，得出的表达式，根据错位相减即可求出．
本题考查离散型随机变量的期望，是中档题．
22.【答案】解：，定义域均为，，
当时，则，在单调递增，无极值，与题不符；
当时，令，解得：，
所以在单调递减，在单调递增，
所以在取极小值，且；
又，
当时：，在单调递减，无极值，与题不符；
当时：令，解得：，
所以在单调递减，在单调递增，
所以在取极小值，且，
由，即，解得：，
所以的值为．
证明：令，因为，所以，
由可得：，所以，
由得：，所以，
要证：，只要证：，只要证：，
不妨设，所以只要证：，
即证：，令，只要证：，
令，，
所以在上单调递增，即有成立，所以成立．
【解析】求导，根据导数与函数极值的关系求得与的极小值，即可求得的值；
令，由，代入作差，可得，则不等式，可转化为，构造函数，求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得其最小值，即可证明恒成立．
本题考查导数的综合应用，导数与函数单调性，极值与最值的关系，考查函数的极值点偏移问题，考查函数思想，分类讨论思想，构造法，属于难题．
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