2022-2023学年新疆昌吉州高中学联体高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年新疆昌吉州高中学联体高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合，，则( )
A. B.
C. D.
2. “”是“为第三象限角”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
4. 下列函数中，既是偶函数又在上是减函数的是( )
A. B. C. D.
5. 的二项展开式中含项的系数为( )
A. B. C. D.
6. 材料：已知三角形三边长分别为，，，则三角形的面积为，其中，这个公式被称为海伦秦九韶公式根据材料解答：已知中，，，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
7. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点，则( )
A. B. C. D.
8. 已知长方体的体积为，，与相交于点，则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 在第一次全市高二年级统考后，某数学老师为了解本班学生的本次数学考试情况，将全班名学生的数学成绩绘制成频率分布直方图已知该班级学生的数学成绩全部介于到之间满分分，将数学成绩按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 第七组的频率为
B. 该班级数学成绩在的学生人数为人
C. 该班级数学成绩的众数的估计值为
D. 该班级数学成绩的第百分位数的估计值为
10. 已知圆锥的底面半径为，其母线长是，则下列说法正确的是( )
A. 圆锥的高是 B. 圆锥侧面展开图的圆心角为
C. 圆锥的表面积是 D. 圆锥的体积是
11. 某商场开业期间举办抽奖活动，已知抽奖箱中有张奖券，其中有张写有“中奖”字样假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，记表示甲中奖，表示乙中奖，则( )
A. B. C. D.
12. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的最大值为
C. 关于点对称
D. 若在区间上存在最大值，则实数的取值范围为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 函数的定义域为______ ．
14. 一只口袋内装有大小相同的只球，其中只白球，只黑球，从中一次摸出两只球，则摸出的两只球颜色不同的概率是______ ．
15. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与所成的角为______ ．
16. 已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知向量，．
若，求
若，向量，求与夹角的余弦值．
18. 本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，且，求和．
19. 本小题分
根据交管部门有关规定，驾驶电动自行车必须佩戴头盔，保护自身安全，某市去年上半年对此不断进行安全教育如表是该市某主干路口去年连续个月监控设备抓拍到的电动自行车驾驶员不戴头盔的统计数据：
月份
不戴头盔人数
请利用所给数据求不戴头盔人数与月份之间的回归直线方程；
交管部门统计连续年来通过该路口的电动车出事故的人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，试根据小概率值的独立性检验，分析不戴头盔行为是否增加事故伤亡风险．
不戴头盔 戴头盔
伤亡
不伤亡
参考数据和公式：，，，，．
20. 本小题分
已知实数为常数．
当时，求函数的定义域；
若不等式当时恒成立，求实数的取值范围．
21. 本小题分
如图，四棱锥的底面是梯形，，，为延长线上一点，平面，，，是中点．
证明：；
若，三棱锥的体积为，求锐二面角的余弦值．
22. 本小题分
某商场举行有奖促销活动，凡月日当天消费每超过元含元，均可抽奖一次，抽奖箱里有个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有个，白球有个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．
方案一：从抽奖箱中，一次性摸出个球，若摸出个红球，则打折；若摸出个红球，则打折；若没摸出红球，则不打折；
方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取个球，连摸次，每摸到次红球，立减元．
若小方、小红均分别消费了元，且均选择抽奖方案一，试求他们其中恰有一人享受折优惠的概率；
若小勇消费恰好满元，试比较说明小勇选择哪种方案更划算．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
可求出集合，然后进行交集的运算即可．
本题考查了描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：当时，，但是为第四象限角，
所以由“”推不出“为第三象限角”，
当为第三象限角时，，
所以由“为第三象限角”可以推出“”，
即“”是“为第三象限角”的必要不充分条件．
故选：．
根据充分条件和必要条件的定义判断．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
则，
故．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，是幂函数，是奇函数，不符合题意；
对于，，是指数函数，不是偶函数，不符合题意；
对于，，在上，，是增函数，不符合题意；
对于，，是幂函数，既是偶函数又在上是减函数，符合题意．
故选：．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．
本题考查函数奇偶性、单调性的判定，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：的二项展开式的通项为，
令，得含项的系数为．
故选：．
写出展开式的通项，令的指数为，然后可求得结果．
本题考查二项展开式的通项的应用，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：记，，，
由题意，，
则，且，
故三角形的面积为，
当且仅当，即时等号成立，
故面积的最大值为．
故选：．
计算，代入海伦秦九韶公式，利用基本不等式可求得面积的最大值．
本题考查了海伦秦九韶公式的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为角的终边过点，点到原点的距离，
所以，，
所以．
故选：．
利用三角函数定义即可求得：，，再利用正弦的二倍角公式得解．
本题考查的知识要点：三角函数的定义，三角函数的倍角公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：设，则由长方体的体积公式，得，解得，
所以，
由题可知，四边形为正方形，
所以，
所以外接圆的圆心为的中点，记为点，如图：
又是直角三角形，同理外接圆的圆心为的中点，即为点，
过点，分别作平面与平面的垂线，两条垂线的交点为的中点，
所以三棱锥的外接球的球心是的中点，
又，
所以外接球半径为，
所以外接球的表面积为，
故选：．
根据已知线面关系，判断三棱锥的外接球球心的位置并求得半径，从而得外接球的表面积即可．
本题考查外接球表面积的计算，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，设第七组的频率为，则，
解得，故A错误；
对于，由班级数学成绩在的频率为可知：
班级数学成绩在的学生人数为，故B正确；
对于，该班级数学成绩的众数的估计值在组，为，故C正确；
对于，由频率分布直方图可知在组的频率为，
该班级数学成绩的第百分位数的估计值为，故D正确．
故选：．
由频率直方图中的数据，根据频率之和为直接求第七组的频率，由频数与频率的关系判断选项，由众数、第百分位数求法，判断其余各项的正误．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了众数和百分位数的估计，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，圆锥的底面半径为，其母线长是，
则圆锥的高，故A正确；
对于，设圆锥侧面展开图的圆心角为，则，解得，故B错误；
对于，圆锥的表面积是，故C正确；
对于，圆锥的体积是，故D错误．
故选：．
根据圆锥及侧面展开图的性质，表面积公式，体积公式，依次分析选项，综合可得答案．
本题考查圆锥的体积、表面积的计算，涉及圆锥的结构特征，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，，故A正确；
对于，，故B正确；
对于，，故C正确；
对于，，故D错误．
故选：．
根据题意，由条件概率和古典概型公式依次分析选项，综合可得答案．
本题考查条件概率的计算，涉及古典概型的计算，属基础题．
12.【答案】
【解析】解：由题意可得：，
对，函数的图象向左平移个单位长度，
得到，
关于轴对称，
即为偶函数，
则，则，，
注意到，则，，故A正确；
对，，则的最大值为，故B错误；
对，由，则是的对称中心，故C正确；
对，，则
若在区间上存在最大值，则，解得，
即实数的取值范围为，故D正确．
故选：．
先利用辅助角公式化简，再通过图象平移求得新的函数，从而利用图象关于轴对称求得，由此得到的解析式，最后结合三角函数的性质即可对选项逐一判断．
本题考查了三角函数的图象及性质，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：要使原函数有意义，则，解得且．
函数的定义域为：．
故答案为：．
由根式内部的代数式大于等于，分式的分母不为联立不等式组求解．
本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：记只白球分别为，，，两只黑球分别为，，
则从只球中一次摸出两只球的所有情况有：
，，，，，，，，，，，，，，，共种情况，
其中摸出的两只球颜色不同的有：，，，，，，，，共种情况，
所以摸出的两只球颜色不同的概率为：．
故答案为：．
利用列举法求解，列出只球中一次摸出两只球的所有情况，再找出摸出的两只球颜色不同即一黑一白的情况，然后利用古典概型的概率公式计算可得答案．
本题考查等可能事件的概率计算，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：在中，因为，可得，
取的中点，连接，，可得，
又由直三棱柱中，可得，
因为，所以平面，所以，
又由为的中点，所以，
所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，设为，
设，可得，
在直角中，由，
因为，所以．
故答案为：．
取的中点，连接，得到，异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，在直角中，求得，即可求解．
本题考查了异面直线所成角的计算，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：函数，若函数有个零点，
当时，令，即，解得，符合题意；
当时，令，即，即，
要使得函数有个零点，在方程有两个小于的实根，
设，即函数在与轴有两个交点，
则满足，解得，
即实数的取值范围是．
故答案为：．
根据对数函数的性质，得到为函数的一个零点，根据题意转化为有两个小于的实根，设，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解．
本题考查函数零点与方程根的关系，属于中档题．
17.【答案】解：，，
即，解得，
，
．
，，解得，
．
，，，
，
即与夹角的余弦值为．
【解析】根据向量垂直的坐标表示求出，进而求得答案；
根据向量平行的坐标表示求出，利用向量的夹角公式求得结果．
本题考查平面向量的夹角与数量积的坐标表示，属于基础题．
18.【答案】解：中，，
由正弦定理得：，
，即，
由余弦定理得，，
在三角形中，，
；
，由正弦定理得：，
又，
，
，．
【解析】由正弦定理化简已知等式，再由余弦定理得，从而可得角的大小；
由正弦定理结合面积公式可得，关系，解方程即可得和的值．
本题考查了正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
19.【答案】解：由题意知，，，
，
回归直线方程为；
零假设：不戴头盔行为与事故伤亡无关．
由．
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为不戴头盔行为与事故伤亡有关，此推断犯错误的概率不超过．
【解析】先求出样本中心点的坐标，利用公式求得，进而求得不戴头盔人数与月份之间的回归直线方程；
求得的值并与进行大小比较，进而得到不戴头盔行为是否与事故伤亡有关．
本题考查线性回归方程与独立性检验，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】解：当时，，
则，
所以或，解得或，
即．
当时，，为单调递增函数，
故，所以，
令，则，
故．
由对勾函数的性质可知在上单调递增，上单调递减，
故，所以，解得，
即的取值范围为．
【解析】利用对数函数的性质及指数不等式即可求解；
利用对数函数的单调性将不等式转化为，令，则，利用参变量分离及对勾函数的性质即可求解的范围．
本题主要考查函数定义域的求法，函数恒成立求参数范围问题，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：证明：平面，平面，
．
，，
．
又，，平面，
平面．
平面．
，
取的中点，连接，，
为的中点，
．
．
，
，
，
为的中点，
，
．
又，，平面，
平面．
平面，
；
，
．
，且，
，
四边形为矩形，
平面．
，解得，
以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系．
则，，，
，，
易知是平面的一个法向量．
设平面的一个法向量为，
，则可取，
．
因为二面角为锐二面角，
二面角的余弦值为．
【解析】取的中点，连接，，进而证明平面即可证明结论；
由题平面，进而根据等体积法得，再以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，利用坐标法求解即可．
本题考查线线垂直的证明，线面垂直判定定理与性质，向量法求解二面角问题，化归转化思想，属中档题．
22.【答案】解：由题意，设顾客享受到折优惠为事件，则．
小方、小红两人其中有一人享受折优惠的概率为：
．
若小勇选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为，，．
则，，．
故的分布列为：
元．
若小勇选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为元，则．
由已知，可得，故，
元．
由上知：，故小勇选择方案一更划算．
【解析】由题意，根据独立事件概率求法，求享受到折优惠的概率，结合二项分布求小方、小红两人其中有一人享受折优惠的概率；
由题设知：方案一，付款金额可能取值为，，，进而求各种可能取值的概率，并写出分布列，进而求期望；根据二项分布求方案二的期望，比较期望的大小，进而选择方案．
本题主要考查了离散型随机变量的期望在概率决策中的应用，属于中档题．
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