2022-2023学年陕西省渭南市富平县高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年陕西省渭南市富平县高二（下）期末数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知复数满足，则的共轭复数为( )
A. B. C. D.
2. 设函数可导，则等于( )
A. B. C. D.
3. 已知四组不同数据的两变量的线性相关系数如下：数据组的相关系数；数据组的相关系数；数据组的相关系数；数据组的相关系数则下列说法正确的是( )
A. 数据组对应的数据点都在同一直线上 B. 数据组中的两变量线性相关性最强
C. 数据组中的两变量线性相关性最强 D. 数据组中的两变量线性相关性最弱
4. 有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回的随机取两次，每次取个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则( )
A. 甲与丙相互独立 B. 乙与丁不相互独立 C. 甲与丁相互独立 D. 乙与丙相互独立
5. 已知，则的取值为( )
A. B. C. D.
6. 某大学四名学生利用暑假到学校的实践基地进行实习，每人从甲、乙、丙三个基地中任选一个，若不考虑其他条件，则不同的选法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7. 某校高二年段有名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计高二年段的学生数学成绩在分以上的人数为( )
A. B. C. D.
8. 已知某同学投篮一次的命中率为，连续两次均投中的概率是，若该同学在投中一次后，随后一次也投中的概率是( )
A. B. C. D.
9. 已知函数，则( )
A. B. C. D.
10. 某学校利用实践基地开展劳动教育活动，在其中一块土地上栽种某种蔬菜，并指定一位同学观测其中一棵幼苗生长情况，该同学获得前天的数据如下：
第天
高度
经这位同学的研究，发现第天幼苗的高度的经验回归方程为，据此预测第天这棵幼苗的高度大约为( )
A. B. C. D.
11. 已知函数在区间内有最值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
12. 是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，则( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 复数的虚部为______ ．
14. 二项式的展开式中的系数是______ ．
15. 为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设、、三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学报名，则不同报名方法有______ 种
16. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
月日是“世界读书日”，读书可以陶冶情操，提高人的思想境界，丰富人的精神世界，为了丰富校园生活，展示学生风采，某中学在全校学生中开展了“阅读半马比赛”活动活动要求每位学生在规定时间内阅读给定书目，并完成在线阅读检测通过随机抽样，得到名学生的检测得分如表：
男生
女生
若检测得分不低于分的学生称为“阅读爱好者”，得分低于分的学生称为“非阅读爱好者”根据所给数据完成下列列联表；
阅读爱好者 非阅读爱好者 总计
男生 _____ _____ _____
女生 _____ _____ _____
总计 _____ _____ _____
请根据所学知识判断是否有的把握认为“阅读爱好者”与性别有关
附：，其中．
18. 本小题分
已知复数是虚数单位，且为纯虚数是的共轭复数．
求的模；
若在复平面内所对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
19. 本小题分
一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球．
若将口袋内的球全部取出后排成一排，求白球互不相邻的排法种数；
已知取出一个红球记分，取出一个白球记分，若从口袋内任取个球，总分不少于分，求不同的取法种数．
20. 本小题分
已知函数．
当时，讨论的单调性；
已知时，恒成立；若当时，恒成立，求的取值范围
21. 本小题分
在一个不透明袋子中放入除颜色外完全相同的个白色球和个黑色球，从中任意取出一个球，若是黑色球，则用个同样的白色球替换黑色球放入袋子中，若取到的是白色球，则把该白色球放回袋子中．
求第次恰好取完两个黑色球的概率；
若取到两个黑色球或者取球次数达到次就停止取球，设停止取球时取球次数为，求的分布列．
22. 本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
当时，证明：函数在上有两个不同的零点．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由得，
则的共轭复数为．
故选：．
将化简为，然后直接求的共轭复数即可．
本题主要考查共轭复数的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据导数的定义即可求出答案．
本题考查了导数的定义，极限的运算，考查了计算能力，属于容易题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，数据组的相关系数，相关性最弱，A错误；
对于，个数据组中，数据组的相关系数，绝对值最大，其两变量线性相关性最强，B正确；
对于，数据组的相关系数，相关性最弱，C错误；
对于，数据组的相关系数，相关性最弱，D错误；
故选：．
根据题意，由相关系数的含义，依次分析选项，即可得答案．
本题考查线性相关系数的含义，注意分析变量的线性相关性强弱的方法，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设甲、乙、丙、丁事件发生的概率分别为，，，，
则，，，
对于，，甲与丙不是相互独立事件，故A错误；
对于，，乙与丁相互独立，故B错误；
对于，，甲与丁相互独立，故C正确；
对于，，乙与丙不相互独立，故D错误．
故选：．
根据独立事件的性质进行逐一判断即可．
本题考查相互事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意得，解得．
故选：．
根据组合数公式的性质求解．
本题主要考查组合数公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题知，四名学生利用暑假到学校的实践基地进行实习，每名大学生都有种选择，根据分步乘法计数原理，共有种选法．
故选：．
利用分步乘法计数原理计算即可．
本题考查了分步乘法计数原理，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为且，
所以，则，
所以该高二年段的学生数学成绩在分以上的人数约为人．
故选：．
根据正态分布的对称性求出的概率，即可得到的概率，即可估计人数．
本题主要考查正态分布曲线的特点，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：记第一次投中为事件，第二次投中为事件，
由题意得，，，
则该同学在投中一次后，随后一次也投中的概率是．
故选：．
根据条件概率公式计算即可．
本题考查条件概率公式，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：，
，
，即，
，
则．
故选：．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
10.【答案】
【解析】解：由已知得：，
，
因为经验回归方程为，
所以，解得，
当时，，
所以预测第天这棵幼苗的高度大约为．
故选：．
先根据回归直线经过样本点的中心建立方程，求出的值，再将代入经验回归方程，即可得到答案．
本题主要考查线性回归方程，考查运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：函数，，
，
时，，函数在区间内单调递减，无最值．
时，时，，函数在区间内单调递增；时，，函数在区间内单调递减．
函数在区间内有最大值，
实数的取值范围是，
故选：．
函数，，，对分类讨论，即可得出函数的单调性，进而得出极值情况．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及其最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：令，
因为时，有恒成立，
所以时，，
故在上单调递增，
因为为奇函数，，
所以，
故为奇函数，
故在上为奇函数且单调递增，
则，即，A错误；
，即，B错误；
，即，C正确；
，即，D错误．
故选：．
令，然后结合导数与单调性关系先判断的单调性，再判断函数的奇偶性，结合单调性及奇偶性即可比较函数值大小．
本题主要考查了导数与单调性关系在函数值大小比较中的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，
所以的虚部为．
故答案为：．
根据复数的乘法运算及虚部的概念求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：展开式的通项公式为，
令，则．
故答案为：．
根据二项式展开的通项公式求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分为三组，每组人数分别为、、或、、，
然后将这三组同学分配给、、三门德育校本课程，
由分步计数原理可知，不同的报名方法种数为．
故答案为：．
将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分为三组，确定每组的人数，然后将这三组同学分配给、、三门德育校本课程，结合分步乘法计数原理可得结果．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为函数有两个极值点，所以方程有两不等实根，
令，则与直线有两不同交点，
又，由得，
所以，当时，，即单调递增；
当时，，即单调递减；
所以，又，
当趋向于正无穷时，趋于，且；
作出函数的简图如下：
因为与直线有两不同交点，
所以，即．
故答案为：．
函数有两个极值点，即有两不等实根，令，则与直线有两不同交点，对函数求导，判单调性求最值画图像，结合图像可得答案．
本题主要考查利用导数研究函数的极值的方法，由极值点的个数求参数的取值范围等知识，属于中等题．
17.【答案】解：由题可得，男生中不低于分的学生有人，低于分的有人，
女生中不低于分的学生有人，低于分的有人，
阅读爱好者 非阅读爱好者 总计
男生
女生
总计
因为，
所以没有的把握认为“阅读爱好者”与性别有关．
【解析】根据列联表的定义求解；
根据独立性检验的方法求解．
本题主要考查独立性检验，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：因为，则，所以，为纯虚数，
则，解得，则，故．
因为，
且复数在复平面内所对应的点在第四象限，则，解得，
故的取值范围为．
【解析】求出，利用复数的乘法化简复数，根据复数的概念求出的值，再利用复数的模长公式可求得的值；
利用复数的除法化简复数，利用复数的几何意义可得出关于的不等式组，解之即可．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
19.【答案】解：先将个红球排成一排共，再将个白色小球插入到个空位中有，
所以白球互不相邻的排法种数为种；
当取出的小球为红白时得分，共种；
当取出小球为红白时得分，共种；
当取出小球都是红球时得分，共种．
所以口袋内任取个球，总分不少于分的取法共有种．
【解析】使用插空法可解；
分红白，红白，红三种情况，再结合分类加法计数原理，求解即可．
本题考查了排列组合的应用，属于基础题．
20.【答案】解：当时，，
，
当时，；当时，；
所以函数在单调递减，在单调递增．
因为当时，恒成立，
所以，也即，
所以恒成立，
令，
，
因为时，恒成立，所以，
所以当时，；当时，；
所以函数在单调递减，单调递增，
所以，
所以，所以．
【解析】利用导函数求单调区间；
利用导函数求函数的单调性和最值即可求解．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性，恒成立问题的求解，属中档题．
21.【答案】解：若第次恰好取完两个黑色球，则前三次取球中恰好有一次取到黑球，且第次也取到黑球，
故所求概率为；
解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
则，，
，，
所以随机变量的分布列如下表所示：

【解析】分析可知前三次取球中恰好有一次取到黑球，且第次也取到黑球，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；
分析可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列．
本题主要考查了独立事件和互斥事件的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列，属于中档题．
22.【答案】解：因为，则，
所以，，，
所以，曲线在点处的切线方程为，
即．
证明：当时，且当时，由，可得，
令，其中，则，令，可得，列表如下：
减 极小值 增
所以函数的最小值为，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，
故当时，直线与函数在上的图象有两个交点，
此时，函数在上有两个不同的零点．
【解析】求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；
当时，由可得出，令，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可证得结论成立．
本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的切线，利用导数研究函数的单调性，数形结合思想，属中档题．
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