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3 角
角的概念与表示方法
A
1.下列关于角的说法正确的有( )
①两条射线组成的图形是角;
②角的边越长,角越大;
③在角一边延长线上取一点D;
④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
2.能用∠AOB,∠O,∠1三种方法表示同一个角的图形是( )
A B C D
3.如图所示,下列说法中错误的是( )
A.OA方向是北偏东30°
B.OB方向是北偏西15°
C.OC方向是南偏西25°
D.OD方向是东南方向
A
4.写出图中符合下列条件的角.(题中的角均指小于平角的角)
(1)能用一个大写字母表示的角;
(2)以点A为顶点的角;
(3)图中所有的角.
解:(1)能用一个大写字母表示的角为∠B,∠C.
(2)以点A为顶点的角为∠CAD,∠BAD,∠BAC.
(3)图中所有的角有∠C,∠B,∠1,∠2,∠3,∠4,∠CAB.
度、分、秒之间的换算
5.换算:
(1)98°30′18″= °.
(2)56.28°= ° ′ ″.
6.如图所示,点O在直线AB上,∠AOC=38°26′,则∠BOC= .
98.505
56
16
48
141°34′
7.换算:
(1)1.28°等于多少分 等于多少秒
(2)720″等于多少分 等于多少度
解:(1)因为1.28×60=76.8,
76.8×60=4 608,
所以1.28°=76.8′=4 608″.
(2)720″=12′=0.2°.
钟面上的角
8.如图所示,在一个圆形时钟的表面上,OA表示时针,OB表示分针(O为两针的旋转中心).下午3时时,∠AOB=90°.3时40分时,时针与分针所成的角为 °.
130
9.如图所示,现在的时间是9时30分,时钟面上的时针与分针的夹角是
°.
105
D
10.如图所示,在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向上,同时轮船B在南偏东14°的方向上,那么∠AOB为( )
A.70° B.158°
C.130° D.140°
D
C
12.当分针指向12时,时针恰好与分针成30°角,此时是( )
A.9时 B.10时
C.11时或1时 D.2时或10时
13.我们经常以“度”为单位来度量角,但在军事上通常以“密位”为单位来度量角,就是把周角等分成6 000份,每一份叫做1密位的角,所以直角= 密位.
14.(1)74°19′30″= °;
(2)35.26°= ° ′ ″.
1 500
74.325
35
15
36
∠MCB
15.如图所示,用三个大写字母表示:
∠1为 ;
∠2为 ;
∠3为 .
∠AMC
∠CAN
16.计算:
(1)131°28′-51°32′15″;
(2)58°38′27″+47°42′40″;
(3)34°25′×3+35°42′.
解:(1)131°28′-51°32′15″=79°55′45″.
(2)58°38′27″+47°42′40″=106°21′7″.
(3)34°25′×3+35°42′
=103°15′+35°42′
=138°57′.
17.任意画一个∠AOB,在射线OA上依次取点D,E,在射线OB上依次取点F,G,连接EF,DG,DF,线段DG和EF相交于点H,图中共有多少个角(不包括平角) 能用一个字母表示的角有几个
解:如图所示,图中共有19个角,其中能用一个字母表示的角只有1个, ∠O.
18.回答下列问题:
(1)图①中有几个角
(2)图②中有几个角
(3)图③中有几个角
(4)依此类推,如图④所示,若一个角内有n条射线,则共有多少个角
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4 角的比较
角的大小比较
C
1.如图所示,正方形网格中每个小正方形的边长都为1,则∠α与∠β的大小关系为( )
A.∠α>∠β B.∠α=∠β
C.∠α<∠β D.无法判断
D
2.用“叠合法”比较∠1与∠2的大小,正确的是( )
A B C D
3.若∠A=48°15′,∠B=48.15°,则( )
A.∠A>∠B
B.∠A<∠B
C.∠A=∠B
D.无法确定∠A与∠B的大小关系
A
∠3
4.如图所示,已知三个角∠1,∠2,∠3,将这三个角按从大到小的顺序排列: > > .
∠2
∠1
5.用“>”“<”或“=”填空:
(1)若∠α=∠β,∠β=∠γ,则∠α ∠γ;
(2)若∠1+∠2=70°,∠3+∠2=100°,则∠1 ∠3;
(3)如图所示的网格是正方形网格,∠ABC ∠DEF.
=
<
>
角平分线及角的相关计算
C
A
7.如图所示,点O在直线AB上,射线OC平分∠DOB.若∠COB=35°,则∠AOD等于( )
A.110° B.145°
C.35° D.70°
8.如图所示,甲、乙两艘轮船从港口O出发,当分别行驶到A,B处时,经测量,甲船位于港口的北偏东44°方向,乙船位于港口的北偏西46°方向,则∠AOB等于 °.
90
9.如图所示,OC是∠AOB内部的一条射线,OD是∠AOB的平分线,∠AOC= 2∠BOC且∠BOC=40°,求∠COD的度数.
B
C
11.用一副三角板不能画出的角是( )
A.75°角 B.105°角
C.110°角 D.135°角
12.如图所示,在长方形纸片ABCD中,M为AD边的中点,将纸片沿BM,CM折叠,使点A落在点A1处,点D落在点D1处,若∠1=30°,则∠BMC= .
13.在同一平面内,已知∠AOB=60°,∠COB=20°,则∠AOC等于
.
105°
40°或80°
14.如图所示,点O是直线AB上一点,以点O为端点分别作射线OD,射线OC,射线OE,射线OF,若射线OD平分∠AOC,且∠AOC=36°,∠DOE=90°.
(1)求∠COE的度数;
(2)若∠BOF=3∠FOE,求∠EOF的度数.
15.如图①所示,将一副三角尺的直角顶点O叠放在一起.若三角尺AOB不动,将三角尺COD绕点O按顺时针方向转动α(0°<α<180°).
(1)如图②所示,若∠BOC=55°,则∠AOD= ,∠AOC ∠BOD (填“>“<”或“=”);
① ②
解:(1)125° =
(2)如图③所示,若∠BOC=55°,则∠AOD= ,∠AOC ∠BOD (填“>”“<”或“=”);
(3)在三角尺COD转动的过程中,若∠BOC=β,则∠AOD= (用含β的代数式表示),∠AOC ∠BOD(填“>”“<”或“=”);
解:(2)125° =
(3)180°-β =
③
(4)借助(3)中的结论,在备用图中利用画直角的工具画出一个与∠AOC相等的角.
解:(4)答案不唯一.
分别作∠AOD=∠BOC=90°,如图所示.
此时∠BOD=∠AOC.
备用图
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微专题五 线段与角计算中的分类讨论
分类讨论思想在线段或角的计算中的应用
1.已知线段AB,C是直线AB上的一点,AB=8,BC=4,点M是线段AC的中点,则线段AM的长为( )
A.2 B.4
C.4或6 D.2或6
2.若∠AOB=70°,∠AOC是锐角,OM平分∠BOC,ON平分∠COA,则∠MON的度数是( )
A.30° B.35°
C.35°或145° D.以上答案都不对
D
B
3.在同一平面内,已知∠AOB=70°,∠BOC=20°,如果OP是∠AOC的平分线,那么∠BOP的度数为 .
4.已知线段AB=20,M是线段AB的中点,P是线段AB上任意一点,N是线段PB的中点.当线段MP=1时,求线段NB的长.
25°或45°
①
整体思想及从特殊到一般的思想
5.如图所示,已知∠AOB=100°,∠BOC=60°,OC在∠AOB外部,OM,ON分别是∠AOC,∠BOC的平分线.
(1)求∠MON的度数.
(2)如果∠AOB=α,∠BOC=β,其他条件不变,求∠MON的度数(用含α, β的式子表示).
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5 多边形和圆的初步认识
多边形和正多边形
C
1.下列说法中正确的有( )
①由几条线段连接起来组成的图形叫多边形;②三角形是边数最少的多边形;③n边形有n条边、n个顶点.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
B
2.在如图所示的图形中,属于多边形的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3.下列图形不可能是正多边形的是( )
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.梯形
D
4.从八边形的一个顶点出发,最多可以作出的对角线条数为( )
A.8 B.7
C.6 D.5
5.从一个十二边形的一个顶点出发,分别连接这个顶点与其余各点,可以把这个多边形分割成 个三角形.
6.若过一个多边形的一个顶点的对角线有6条,则该多边形的对角线一共有 条.
D
10
27
圆的初步认识
7.图中的角为圆心角的是( )
D
8.如图所示,在半径为6的圆O中,圆心角∠AOB=60°,则阴影部分的面积为 .
6π
9.一个圆被分成三个扇形,其中一个扇形的圆心角为120°,另外两个扇形的圆心角度数的比为3∶5.
(1)求另外两个扇形的圆心角;
(2)若圆的半径是5 cm,求圆心角为120°的扇形的面积.(结果保留π)
解:(1)90°和150°.
D
B
A
12.若一个多边形截去一个角后,变成十六边形,则原来的多边形的边数为( )
A.15,16或17 B.16或17
C.15或17 D.16,17或18
13.如图所示,两个大小一样的传送轮连接着一条传送带,则这条传送带的长为 m.
(3π+20)
600π
14.如图所示,一件扇形艺术品完全打开后,AB,AC的夹角为120°,AB的长为45 cm,BD的长为30 cm,那么阴影部分的面积是 cm2(结果保留π).
15.把一个半径为3的圆分割成五个扇形,它们的圆心角度数除一个为90°外,其他四个圆心角度数占周角度数的百分比分别为20%,15%, 30%,10%.试求:
(1)这四个扇形的圆心角度数;
解:(1)这四个扇形的圆心角度数分别为
360°×20%=72°,360°×15%=54°,
360°×30%=108°,360°×10%=36°.
(2)这五个扇形的面积.
16.如图所示,一只小羊被主人用绳子拴在长为5米,宽为2米的长方形水泥台的一个顶点上,水泥台的周围都是草地.
(1)若绳子长为4米,求这只羊能吃到草的区域的最大面积.(结果保 留π)
(2)为了增加小羊吃草的范围,现决定把绳子的长度增加到6米,求这只羊现在能吃到草的区域的最大面积.(结果保留π)
17.乐乐和数学社团的同学们研究多边形对角线的相关问题,请你仔细观察下面的图形和表格,并回答下列问题:
多边形的顶点数 4 5 6 7 8 … n
从一个顶点出发 的对角线的条数 1 2 3 4 5 … ①
多边形对角线的 总条数 2 5 9 14 20 … ②
(1)观察探究
用含n的代数式将上面的表格填写完整:
① ;② .
(2)实际应用
数学社团共分为6个小组,每组有3名同学.同学们约定,大年初一时不同组的两名同学之间要打一个电话拜年,按照此约定,数学社团的同学们一共将拨打多少个电话
(3)类比归纳
乐乐认为(1)(2)之间存在某种联系,请你用语言描述你的发现.
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2 比较线段的长短
线段的基本事实与两点间的距离
A
1.把原来弯曲的河道改直,两地间的河道长度会变短,这其中蕴含的数学道理是( )
A.两点之间线段最短
B.直线比曲线短
C.两点之间直线最短
D.两点确定一条直线
D
2.如图所示,小亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分,发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小,能解释这一现象的数学知识是( )
A.直线比线段长
B.经过一点有无数条直线
C.经过两点,有且仅有一条直线
D.两点之间,线段最短
3.平面上A,B两点间的距离是指( )
A.经过A,B两点的直线
B.射线AB
C.A,B两点间线段的长度
D.A,B两点间的线段
C
比较线段的长短
4.已知线段AB和线段CD,使A与C重合,若点D在AB的延长线上,则( )
A.AB>CD
B.AB=CD
C.ABD.无法比较AB与CD的长短
5.如图所示,点C,D在线段AB上,且AD>BC,则AC BD.(填“>”“<”或“=”)
C
>
线段的中点、有关计算及尺规作图
6.如图所示,点C,D是线段AB上的两点,CB=9 cm,DB=15 cm,点D为线段AC的中点,则线段AB的长为( )
A.21 cm B.24 cm
C.33 cm D.39 cm
A
②
8.如图所示,已知三条线段a,b,c.请画线段AB,使 AB=a+b+c.
C
9.在下列现象中,可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是 ( )
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上;
②在A,B两地之间架设电线时,总是尽可能沿线段AB架设;
③植树时,只要栽下两棵树,就可以把同一行树栽在同一条直线上;
④把弯曲的公路改直,就能缩短路程.
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
C
10.点C是线段AB的中点,点D是线段AC的三等分点.若线段AB=12 cm,则线段BD的长为( )
A.10 cm B.8 cm
C.10 cm或8 cm D.2 cm或4 cm
11.体育课上,小悦在点 O 处进行了四次铅球试投,铅球分别落在图中的 M,N,P,Q 四个点处,则表示他最好成绩的点是 .
P
10 cm或
12.直线上有A,B,C三点,已知AB=8 cm,BC=2 cm,则AC的长是 .
.
13.如图所示,点C为线段AB的中点,AD=2BD,则CD∶AB的值为 .
6 cm
14.已知线段a,b,c(a>b),画一条线段使它等于a-b+c.
15.如图所示,设A,B,C,D为4个居民小区,现要在四边形ABCD内建一个购物中心,试问应把购物中心建在何处,才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小 并说明理由.
解:应建在AC,BD连线的交点处.
理由:由两点之间线段最短,知将A和C,B和D分别用线段连起来,在两线段的交点处建购物中心,才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小.
16.如图所示,点C在线段AB上,点M,N分别是AC,BC的中点.
(1)若AC=9 cm,CB=6 cm,求线段MN的长.
解:(1)因为AC=9 cm,点M是AC的中点,所以CM=4.5 cm.
因为BC=6 cm,点N是BC的中点,
所以CN=3 cm.
所以MN=CM+CN=7.5 cm,
所以线段MN的长度为7.5 cm.
(2)若C为线段AB上任一点,满足AC+CB=a cm,其他条件不变,求线段MN的长.你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗
(3)若点C在线段AB的延长线上,且满足AC-BC=b cm,M,N分别为AC,BC的中点,请画出图形,并求出线段MN的长.
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第四章 基本平面图形
1 线段、射线、直线
线段、射线、直线的概念
C
1.下列关于直线的说法,正确的是( )
A.一根拉直的细绳就是直线
B.课本的四边都是直线
C.直线是向两边无限延伸的
D.直线有两个端点
C
2.关于线段,下列说法正确的是( )
A.只有一个端点 B.有两个以上的端点
C.有两个端点 D.没有端点
3.下列说法不正确的是( )
A.射线是直线的一部分
B.线段是直线的一部分
C.直线是无限延伸的
D.直线的长度大于射线的长度
D
4.日常生活中,手电筒发射出来的光线,类似于几何中的( )
A.折线 B.直线
C.射线 D.线段
C
线段、射线、直线的表示方法
5.下列语句规范的是( )
A.直线a,b相交于一点m
B.延长直线AB
C.延长射线AO
D.延长线段AB到C,使BC=AB
D
6.如图所示,下列对图形描述不正确的是( )
A.直线AB
B.直线BC
C.射线AC
D.射线AB
B
7.下列说法正确的是( )
A.过一点P只能作一条直线
B.直线MN和直线NM表示同一条直线
C.射线MN和射线NM表示同一条射线
D.射线AB比直线l短
B
8.如图所示,已知平面上有A,B,C,D四个点.
(1)连接AB;
(2)画射线AD;
(3)画直线BC与射线AD交于点E.
两点确定一条直线
9.在墙壁上固定一根横放的木条,至少需要 枚钉子.( )
A.1 B.2
C.3 D.随便多少枚
B
10.为了让一队学生站成一条线,先让两名学生站好不动,其他学生依次往后站,要求目视前方只能看到各自前面的那名同学,这种做法依据的几何知识是( )
A.直线没有端点
B.射线只有一个端点
C.线段有两个端点
D.两点确定一条直线
D
B
11.如图所示,下列说法正确的是( )
A.图中有两条线段
B.图中共有6条射线
C.射线AB与射线BC是同一射线
D.直线AC与直线BC不同
12.经过平面上四点中的两点画直线,最多可画出( )
A.三条 B.四条 C.五条 D.六条
D
2
13.如图所示,能用字母表示的以点C为端点的线段的条数为m,能用字母表示的以点C为端点的射线的条数为n,则m-n的值为 .
14.往返于甲、乙两地的列车,中途需要停靠4个车站,若每两站的路程都不相同,则甲、乙两地之间:
(1)有 种不同的票价;
(2)有 种不同的车票.
15
30
解:(1)数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.
(2)数轴在原点O左边的部分(包括原点)是一条射线,表示为射线OB.
16.(1)观察思考:如图所示,线段AB上有C,D两个点,则图中共有多少条线段
解:(1)因为以点A为左端点的线段有线段AB,AC,AD,
以点C为左端点的线段有线段CD,CB,
以点D为左端点的线段有线段DB,
所以共有3+2+1=6(条)线段.
(2)模型构建:如果线段上有m个点(包括线段的2个端点),那么该线段上共有多少条线段
(3)拓展应用:
①某班有45名同学,在毕业后的一次聚会中若每2人握1次手问好,则共握多少次手
②平面上有n个点,过任意两点画直线,最多能画几条直线
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第四章 章末复习
线段、射线和直线
1.(2022平昌期末)下列叙述正确的是( )
A.线段AB可表示为线段BA
B.射线CD可表示为射线DC
C.直线可以比较长短
D.射线可以比较长短
A
2.(2022滕州期末)如图所示,点A,B,C是直线l上的三个点,则图中的直线和线段分别有( )
A.1条,2条 B.3条,1条
C.3条,3条 D.1条,3条
3.(2022柳州)如图所示,从学校A到书店B有①②③④四条路线,其中最短的路线是( )
A.① B.② C.③ D.④
D
B
4.(2022临沂)如图所示,A,B位于数轴上原点两侧,且OB=2OA.若点B表示的数是6,则点A表示的数是( )
A.-2 B.-3 C.-4 D.-5
5.(2022桂林)如图所示,点C是线段AB的中点,若AC=2 cm,则AB=
cm.
B
4
角
B
6.(2022晋州期中)下列运算正确的是( )
A.34.5°=34°5′ B.90°-23°45′=66°15′
C.12°34′×2=25°18′ D.24°24′=24.04°
7.(2022青岛期末)如图所示,将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合,∠1=26°18′,则∠2的度数是( )
A.26°18′ B.52°20′ C.56°23′ D.56°18′
D
B
8.(2022仙居期末)如图所示,点O在直线AB上,∠COD=90°,若∠BOD= 32°,OE平分∠AOC,则∠AOE等于( )
A.60° B.61° C.66° D.56°
9.(2022益阳)如图所示,PA,PB表示以P为起点的两条公路,其中公路PA的走向是南偏西34°,公路PB的走向是南偏东56°,则这两条公路的夹角∠APB= °.
90
160°
10.(2022晋中期末)如图所示,9:20时,时针和分针的夹角(小于180°)的度数是 .
11.(2022长安期末)如图所示,点A,O,B在同一条直线上,∠AOC= ∠BOD,OM,ON分别是∠AOC,∠BOD的平分线.
(1)若∠COD=80°,求∠MON的度数;
解:(1)130°.
(2)比较∠DOM和∠CON的大小.
A B C D
多边形和圆的初步认识
12.(河北中考)下列图形为正多边形的是( )
D
13.(2022兰州改编)图①是一块扇面宣传展板,该展板的部分示意图如图②所示,它是以O为圆心,OA,OB长分别为半径,圆心角∠O=120°形成的扇面,若OA=3 m,OB=1.5 m,则阴影部分的面积为( )
A.4.25π m2 B.3.25π m2
C.3π m2 D.2.25π m2
① ②
D
14.(陕西中考)七边形一共有 条对角线.
14
15.(2022榆阳期末)已知从一个六边形的某一个顶点出发的所有对角线将这个六边形分成了m个三角形,且这些对角线的条数是n,求m+n 的值.
解:因为从一个六边形一个顶点出发的所有对角线将多边形分成 (6-2)个三角形,这些对角线有(6-3)条,
所以m=4,n=3,
所以m+n=4+3=7.
16.(2022大庆期末)一个圆由甲、乙、丙三个扇形组成,它们的面积之比为1∶2∶5,分别求出它们圆心角的度数.
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