1.1 集合的概念（含解析）

1.1 集合的概念
考点1：判断元素是否能够组成集合
1．下列说法错误的是（ ）
A．我校家庭贫困的学生不能组成一个集合
B．若，则
C．若p是q的充分条件，那么一定有q是p的必要条件
D．，是一个假命题
2．下面给出的四类对象中，能构成集合的是（ ）
A．郑州回高2022年入学的高一年级新生中身高较高的全体学生
B．郑州市很受欢迎的主题游乐园
C．河南省所有的5A级风景区
D．中国全域内较大的湖泊
3．下列说法正确的是（ ）
A．由小于8的正整数组成一个集合
B．方程的解构成的集合不是空集
C．由，0，1组成的集合和由，1，0组成的集合不相等
D．某班中上课认真听讲的同学能够组成一个集合
4．判断下列说法是否正确？并说明理由．
(1)大于3的所有自然数组成一个集合；
(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；
(3)1,0.5，，组成的集合含有四个元素；
(4)接近于0的数的全体组成一个集合．
考点2：判断元素与集合的关系
5．已知集合A＝{x|x>2}，集合B＝{x|x>3}，以下命题正确的个数是
① x0∈A，x0 B；② x0∈B，x0 A；③ x∈A，都有x∈B；④ x∈B，都有x∈A．
A．4 B．3 C．2 D．1
6．设，，下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知＝{x∈R|x≥2}，a＝π，有下列四个式子：(1)a∈M；(2) {} ；(3) ；(4) .其中正确的是（ ）
A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)
8．用符号“”或“” ．
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
考点3：集合元素互异性的应用
9．已知集合，若，则实数的值为（ ）
A．1 B．1或 C． D．或
10．由实数，所组成的集合，最多含（ ）个元素
A．0 B．1 C．2 D．3
11．若，则 ．
12．（多选）下面说法中正确的是（ ）
A．集合中最小的数是1 B．若，则
C．若，则的最小值是2 D．的解组成的集合是
13．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝ ．
考点4：利用集合中的性质求集合元素个数
14．在平面直角坐标系xOy中，如果菱形OABC的边长为2，点A在x轴上，则菱形内（不含边界）整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是
A．{1，2} B．{1，2，3} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3}
考点5：列举法表示集合
15．集合的另一种表示法是（ ）
A． B． C． D．
16．一元二次方程的解集是 .
17．方程组的解集用列举法表示为：
考点6：描述法表示集合
18．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
19．用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是(　　)
A．{x|y＝3x＋1} B．{y|y＝3x＋1}
C．{(x，y)|y＝3x＋1} D．{y＝3x＋1}
20．设直线上的点集为，点与点集的关系为： (填“”或“”)．
21．集合用列举法表示应是 .
22．用适当的方法表示下列集合．
（1）方程组的解集；
（2）1000以内被3除余2的正整数所构成的集合；
（3）直角坐标平面上的第二象限内的点所构成的集合；
（4）所有三角形构成的集合．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】A由集合的性质判断正误；B易知即可知推出关系；C由题设有即可判断正误；D由于，是真命题，即可题设命题的真假.
【详解】A：“家庭贫困的学生”不够明确，不符合集合中元素的确定性，故不能组成集合，正确；
B：由题设，，则，错误；
C：由题设，，即q是p的必要条件，正确；
D：有成立，故题设命题为假命题，正确；
故选：B
2．C
【分析】根据给定条件，利用集合元素的特性逐一判断各选项作答.
【详解】对于A，高一年级新生中身高较高的学生，对象不能确定，没有衡量较高的标准，A不是；
对于B，很受欢迎的主题游乐园，对象不能确定，无法界定很受欢迎的标准，B不是；
对于C，河南省所有的5A级风景区，对象明确可知，能判断一个风景区是与不是河南省所有的5A级风景区中的元素，C是；
对于D，中国全域内较大的湖泊，对象不能确定，没有衡量较大的标准，D不是.
故选：C
3．A
【分析】根据集合的定义逐项分析可以求解.
【详解】对于A，小于8的正整数组成的集合为，正确；
对于B，方程 ，则必定为 ， 并 ，
矛盾，x不存在，所以集合是空集，错误；
对于C， ，所以由-1,0,1构成的集合与 构成的集合相等，错误；
对于D，上课时认真听讲不是具体指标，就是对“认真”二字不能具体判定，所以不能组成集合，错误；
故选：A.
4．见解析
【详解】试题分析：根据所给的对象是否具有确定性进行分析即可．
试题解析：
(1)中的对象是确定的，互异的，所以可构成一个集合，故(1)正确；
(2)和(4)中的“高科技”、“接近于0”都是标准不确定的，所以不能构成集合，故(2)、(4)错误；
（3）中，由于0.5＝，所以1,0.5，，组成的集合含有3个元素，故(3)错误．
5．C
【详解】试题分析：因为，，所以，即是的子集，①④正确，②③错误，故选C．
考点：命题的真假判定．
6．C
【分析】本题主要考查元素与集合的关系，根据集合元素的特征即可作出判断.
【详解】因为集合，
∵，，∴,故选项B错误，选项C正确；
因为，所以,故选项A错误；
因为是集合，所以，故选项D错误，
故选：C.
7．AB
【分析】因为集合A中的元素是大于等于2的所有实数，而a＝π，所以元素a在集合M中，根据集合与元素及集合与集合之间的关系逐一判断各选项．
【详解】由于M＝{x∈R|x≥2}，知构成集合M的元素为大于等于2的所有实数，因为a＝π＞2，
所以元素a∈M，且{a} M，同时{a}∩M＝{π}，所以（1）和（2）正确，
故选：AB．
【点睛】本题考查了元素与集合、集合与集合之间的关系，解答的关键掌握概念，属基础题．
8．
【分析】（1）表示正整数集，不包括零；
（2）是有理数集，是有理数；
（3），所以不是集合的元素；
（4）而不是正整数，故3不是的元素.
【详解】（1）因为表示正整数集，不包括零，所以；
（2）因为是有理数集，是有理数，所以;
（3）因为，所以不在集合里，即
；
（4）而不是正整数，故3不是的元素，所以 .
【点睛】本题考查了集合与元素之间的关系，解决本题的关键是看元素符合不符合集合元素的属性特征.
9．C
【分析】依题意可得或，解得的值，再代入检验即可.
【详解】解：因为且，
所以或，
所以或，
当时，不符合集合元素的互异性，故舍去，
当时，，符合题意.
故选：C
10．C
【解析】直接根据集合中元素的特点，即可求解．
【详解】若所解得：，
故时，实数，所组成的集合只有一个元素0，
时，实数，所组成的集合有两个元素，，
故最多2个元素，
故选：C．
【点睛】本题考查了集合中元素的特征，其中互异性考查较多，解题时注意分类讨论，属于基础题.
11．
【分析】根据元素与集合的关系分情况求得的值，然后利用集合的元素的互异性检验.
【详解】由题意知，或.
①当时，.
把代入，得集合的三个元素为，不满足集合中元素的互异性；
②当时，或(舍去)，
当时，集合的三个元素为，满足集合中元素的互异性.
由①②知.
故答案为：.
12．AC
【分析】根据正整数集的含义即可判断A，B，C的正误，根据集合中列举法即可判断D选项的正误.
【详解】对于A，因为是正整数集，而最小的正整数是1，故A正确；
对于B，当时，，且，故B错误；
对于C，若，则的最小值是1，若，则的最小值也是1，当和都取最小值时，取得最小值2，故C正确；
对于D，由得，解得，故其解集为，而不符合集合的表示方法，故D错误.
故选：AC．
13．3
【分析】根据集合与元素的关系，分类求得m的值，然后利用集合元素的互异性检验取舍.
【详解】由题意知，m＝2或m2－3m＋2＝2，
解得m＝2或m＝0或m＝3，经验证，
当m＝0或m＝2时，
不满足集合中元素的互异性，
当m＝3时，满足题意，
故m＝3.
答案：3
14．C
【分析】设，则，，根据菱形的不同位置讨论进行判断即可．
【详解】解：根据对称性我们只研究在第一象限内的整点情况，
设，则，，
若，则，此时区域内整点个数为0，排除A，B，
②若，则，，，此时区域内整点为，个数为1，
③若，则，，此时区域内整点为，，个数为2，
④若，则此时区域内整点为，个数为1个，
综上菱形内（不含边界）整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是，1，，
故选：C．
15．B
【解析】题中所给集合中元素为小于5的正自然数，改用列举法表示即可.
【详解】集合中元素为小于5的正自然数，可用列举法表示为.
故选：B
【点睛】本题考查集合的表示方法，属于基础题.
16．
【分析】解原一元二次方程，即可得解.
【详解】由可得，解得.
故原一元二次方程的解集为.
故答案为：.
17．
【详解】试题分析：的解为，所以方程的解集为
考点：集合的表示方法
18．B
【分析】先求得集合，再根据集合交集的概念及运算，即可求解.
【详解】由题意，集合，
又由，根据集合交集的概念及运算，可得.
故选：B.
19．C
【分析】根据集合是点集，代表元素是判断结果.
【详解】因为集合是点集，所以代表元素是，所以用描述法表示为.
故选C.
【点睛】本题考查了点集的表示方法，属于简单题型.
20．
【分析】利用点集的定义判断点是否满足关系即可.
【详解】因为直线上的点的横坐标x和纵坐标y满足关系：，即只要具备此关系的点就在直线上．
由于当时，，所以．
故答案为：.
21．
【分析】解不等式可得，再由列举法即可得解.
【详解】由题意，.
故答案为：.
【点睛】本题考查了集合的表示，考查了运算求解能力，属于基础题.
22．（1）{（4，﹣2）}；（2）{x|x＝3k+2，k∈N且x＜1000}；（3）{（x，y）|x＜0且y＞0}；（4）{三角形}．
【分析】根据题意以及集合的表示法，选择恰当的方法表示各集合即可．
【详解】（1）解方程组，得，故解集为{（4，﹣2）}；
（2）集合的代表元素是数x，用描述法表示为{x|x＝3k+2，k∈且x＜1000}．
（3）集合的代表元素是点（x，y），用描述法表示为{（x，y）|x＜0且y＞0}
（4）集合用描述法表示为{x|x是三角形}，简写为{三角形}．
【点睛】本题考查集合的表示方法，准确理解自然语言的表述以及方法的选取，是解题关键，属简单题.
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