山东省兰陵一中2014-2015学年高二必修5综合测试数学试题

兰陵一中2013级数学必修5综合测试 2014.11
高二（ ）班 姓名：_________________ 得分：_________________
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1. 若，则下列不等式成立的是 （ ）
A. B． C. D．
2. 已知数列中，，则（ ）
A. 3 B. 7 C. 15 D. 18
3. 在中,分别是角的对边，,则此三角形解的情况是 （ ）
A. 一解 B. 两解 C. 一解或两解 D. 无解
4. 若关于不等式的解集为，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
5. 在中,分别是角的对边，若（ ）
A. B. C. D.
6. 已知成等差数列，成等比数列，则= （ ）
A. B. C. D.
7. 如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）
A. 海里/时 B. 海里/时
C. 海里/时 D. 海里/时
8. 已知数列{}满足 (∈N*)且，则的值是 (　　)
A．－5 B．－ C．5 D. 
9．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≤－2或m≥4 B．m≤－4或m≥2 C．－210. △ABC中，, 则△ABC周长的最大值为（ ）
A. 2 B. C. D.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）
11．若实数满足，则的最小值为＿＿＿＿＿＿＿．
12. 的内角对边分别为，且满足，则＿＿＿＿．
13. 若不等式的解集是，则不等式的解集是＿＿＿＿＿＿＿．
14. 对于数列，定义数列为数列的“差数列”，若，的“差数列”的通项公式为，则数列的通项公式＝＿＿＿＿＿＿＿．
15. 研究问题：“已知关于x的不等式的解集为（1，2），解关于x的不等式”. 有如下解法： 解：由且，所以，得，
设,得,由已知得：,即，所以不等式的解集是. 参考上述解法，解决如下问题：已知关于x的不等式的解集是，则不等式的解集是 .
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本题满分12分）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1,BC=3,CD=DA=2.
（1）求C和BD ； （2）求四边形ABCD的面积.
17．（本题满分12分）已知，求：(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值； (2)z＝的范围．
18．（本题满分12分）已知在△ABC中，内角所对的边分别为，.
(1)求证：成等比数列； (2)若，求△的面积S.
19．（本题满分12分）已知单调递增的等比数列满足：,且是 的等差中项.
（1）求数列的通项公式； （2）若,为数列的前项和,求.
20．（本题满分13分）如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架(阴影部分)的材料为铝合金，宽均为6cm,上栏与下栏的框内高度（不含铝合金部分）的比为1:2，此铝合金窗占用的墙面面积为28800cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为cm和cm，铝合金窗的透光部分的面积为cm2.
（1）试用表示； （2）若要使最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？
21. （本题满分14分）设数列的前项和为，其中，为常数，且成等差数列．
（1）当时，求的通项公式；（2）当时，设，若对于，恒成立，求实数的取值范围；（3）设，是否存在，使数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
兰陵一中3013级数学必修5综合测试
参考答案与评分标准
1. C 【解析】A. 不成立,例如a>0>b; B．不成立，例如1>-5;
C.成立，在不等式的两边同时乘以即可得到（因为）； D．不成立，例如c=0时.
2. C 【解析】因为，所以.
3. B 【解析】因为，所以，所以此三角形有两解.
4. D 【解析】当时，原不等式为，满足题意；当时，要满足题意须，解得.综上知：实数的取值范围是.
5. C 【解析】由余弦定理得，所以.
6. A 【解析】因为成等差数列，所以，因为成等比数列，所以，所以=.
7. B 【解析】由题意知：SM=20，∠NMS=15°+30°=450，∠SNM=60°+45°=1050，所以∠NSM=300，在?MNS中利用正弦定理得：海里.所以货轮的速度为.
8. A 解析：因为，所以，所以.所以，所以.
9. D 【解析】因为x＋2y=（x＋2y）（＋）=4+，所以m2＋2m<8,解得－410. D 【解析】由正弦定理，得：，
所以△ABC的周长
，
因为，
所以，即△ABC周长的最大值为.
11．? 6 【解析】画出可行域，由可行域知：目标函数过点（4，-2）时取最小值，且最小值为-6.
12. 【解析】因为，所以由正弦定理，得：，不妨设，所以.
13. 解析：依题意可知方程的两个实数根为和2，由韦达定理得：+2=，所以=－2，所以，，所以不等式的解集是.
14. 【解析】因为的“差数列”的通项公式为，所以，所以
，，，……，，以上n-1个式子相加，
得，所以.
15. 【解析】因为关于x的不等式的解集是:，用，不等式可化为：，可得.
16．（本题满分12分）
解：（1）由题设及余弦定理得-2BC·CDcos C=13-12cos C,①
-2AB·DAcos A=5+4cos C.②, -----------------------------------4分
由①②得cos C=， 故C=60°，BD=.-----------------------------------7分
（2）四边形ABCD的面积S=AB·DAsin A+BC·CDsin C= sin 60°=2.-----------12分
17．（本题满分12分）
作出可行域如图所示，
． -----------------------------------4分
(1)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0，5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是|MN|2.-----------6分
(2)z＝2·表示可行域内任一点(x，y)与定点Q连线的斜率的2倍，
由图可知QA的斜率最大，QB的斜率最小. -------------------------------8分
可求得点A(1,3)、B(3,1)，所以kQA＝，kQB＝， -------------------------------------11分
故z的范围为. ------------------------------------12分
18．（本题满分12分）
解： (１)由已知得：，所以，
所以， ------------------------------------4分
再由正弦定理可得：，所以成等比数列. ------------------------------------6分
(２)若，则， ------------------------------------7分
所以， ------------------------------------9分
所以，
所以△的面积. ------------------------------------12分
19．（本题满分12分）
解：（1）设等比数列的首项为，公比为q， 依题意，有
代入，解得 -------------------------------2分
∴ ∴ 解之得或 ------------4分
又单调递增，∴ ∴ -------------------------------6分
（2）由（1）知，所以 ， ------------------------------7分
∴ ①
∴ ② -------------------------------10分
∴①-②得＝--------12分
20．（本题满分13分）
解：（1）∵铝合金窗宽为acm，高为bcm，a>0,b>0.ab=28800, ------------------------2分
又设上栏框内高度为hcm，下栏框内高度为2hcm,则3h＋18=b, ∴h=
∴透光部分的面积S=（a－18）×＋（a－12）×=（a－16）（b－18）
=ab－2（9a＋8b）＋288=29088－18a－16b ------------------------------------7分
（2）∵9a＋8b2=2880, ∴ S=29088－18a－16b=29088－2(9a+8b) 29088-2×2880
当且仅当9a=8b, 即a=160,b=180时S取得最大值. --------------------------11分
∴铝合金窗宽为160cm，高为180cm时透光部分面积最大. ---------------------------13分
21. （本题满分14分）
解：（1）由题意知：即
当时，，两式相减得： ------3分
当时，，∴，满足 ------------4分
所以是以为首项，以2为公比的等比数列，因为，所以 ------------5分
（2）由（1）得，所以=， ------------6分
所以， ------------7分
所以
=----------10分
因为，所以，所以 -----------------11分
（3）由（1）得是以为首项，以2为公比的等比数列
所以= --------------------------12分
要使为等比数列，当且仅当
所以存在，使为等比数列 --------------------------------14分