高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点导学案 新人教A版必修1

§3.1.1 方程的根与函数的零点
学习目标
1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与 方程根的联系；
2. 掌握零点存在的判定定理.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P86~ P88，找出疑惑之处）
复习1：一元二次方程+bx+c=0 (a0)的解法.
判别式= .
当= 0，方程有两个不相等的实数根，为x1= ,x2= ；
当= 0，方程有两个相等的实数根，为x1=x2= ；
当= 0，方程无实数根.
复习2：方程+bx+c=0 (a0)的根与二次函数y=ax+bx+c (a0)的图象之间有什么关系？
判别式
一元二次方程
二次函数图象
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：函数零点与方程的根的关系
问题：
① 方程的解为 ，函数的图象与x轴有 个交点，坐标为 .
② 方程的解为 ，函数的图象与x轴有 个交点，坐标为 .
③ 方程的解为 ，函数的图象与x轴有 个交点，坐标为 .
根据以上结论，可以得到：
一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的 .
你能将结论进一步推广到吗？
新知：对于函数，我们把使的实数x叫做函数的零点（zero point）.
反思：函数的零点、方程的实数根、函数 的图象与x轴交点的横坐 标，三者有什么关系？
※ 典型例题
例1. 函数的零点个数为（ ）.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

例2. 求函数的零点的个数.
小结：函数零点的求法.
① 代数法：求方程的实数根；
② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用
函数的性质找出零点．
※ 动手试试：
函数的零点为 ；
函数的零点为 ；

（3）函数的零点为 .

小结：方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点.
探究任务二：零点存在性定理
问题：
① 作出的图象，求的值，观察和的符号
② 观察下面函数的图象，
在区间上 零点； 0；
在区间上 零点； 0；
在区间上 零点； 0.
新知：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有<0，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根.
讨论：零点个数一定是一个吗？ 逆定理成立吗？试结合图形来分析.
※ 典型例题

例3. 函数的零点所在区间为（ ）.

A. B. C. D.
※ 动手试试：
函数零点所在大致区间是（　　　）
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
三、总结提升
※ 学习小结
零点概念；
零点、与x轴交点、方程的根的关系；
零点存在性定理；
归纳演绎；
数形结合。
学习评价
※ 当堂检测：
1.已知函数，如果，且，则它的函数图象是哪个 （ ）

A B C D
2．若函数只有一个零点2，那么函数的零点是（）
Ａ、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、
3．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于 (　　)
A．0 B．1 C．－1 D．不能确定
4. 函数的零点为 .
5.函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点。
6.已知函数在上是减函数，在上是增函数，两个零点求这个二次函数的解析式
7．函数有两个零点，且都大于２，求的取值范围。
8.关于的二次方程，若方程式有两根，其中一根在区间内，另一根 在(1,2)内，求的范围。