1.1集合的概念 课件（共25张PPT）

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1.1 集合的概念
第一章 集合与常用逻辑用语
一、引入
想一想，小学和初中我们接触过哪些与集合有关的概念？
自然数的集合, 有理数的集合，实数集合……
不等式x-7<3的解的集合；
到一个定点的距离等于定长的点的集合(即圆)；
……
初中阶段我们所学的内容可以用集合定义的概念还有很多，如角平分线、线段垂直平分线、函数图像等等
数学定义里的静态集合定义；动态轨迹定义；
一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）。
集合是现代数学无法被定义的基础性语言，可以简洁、准确地表达数学内容。我们只能用描述性的语言来说明集合的含义。
①集合是一个整体，暗含“所有”、“全体”、“全部”的意思，一些对象组成了一个集合，这个集合就是这些对象的全体，而不是个别的对象。
②集合中的“研究对象”所指的范围非常广泛，可以是数学中的数、点、代数式等数学对象，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等．
看下面的例子：
（1）1~10 之间的所有偶数；
（2）立德中学今年入学的全体高一学生；
（3）所有的正方形；
（4）到直线 l 的距离等于定长 d 的所有点；
（5）方程 x2－3x＋2＝0 的所有实数根；
（6）我国五大淡水湖．
一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）。
集合与元素该怎么表示呢？
通常用大写字母A、B、C、…表示集合；
用小写字母a、b、c、…表示集合中的元素，各元素之间要用逗号隔开。
常用数集的意义及表示:
意义 名称 记法
组成的集合 自然数集 N
组成的集合 整数集 Z
组成的集合 有理数集 Q
组成的集合 实数集 R
自然数
整数
有理数
实数
想一想“我们班上高个子的同学”、“我国的小河流”能构成集合吗？
【提示】“高个子”是一个含糊不清的概念,具有相对性,多高才算高？同样地,“小河流”的“小”具体指什么,是流量还是长度？它们都没有明确的标准,也就是说,它们都是一些不能够确定的对象。因此,它们都不能构成集合．
2、集合中元素的三大特征：确定性，互异性，无序性。
例题分析：
下列各组对象能够成一个集合的是 。
①不超过20的非负数；
②方程 x2－4x＋3＝0 的所有实数根；
③数学必修1课本中所有的难题；
④π的近似值。
（1）确定性：作为集合中的元素，必须是确定的。
①构成集合的对象具有明确的特征，这个特征不能是模棱两可的；
②判断指定的对象能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，确定任意一个对象是否是给定集合中的元素。
想一想：“由1,2,2,4,2,1能构成一个集合，这个集合中共有6个元素”这一说法是否正确？
【提示】在1,2,2,4,2,1中,只有3个不同的数(对象)1,
2,4，并且都是确定的不同对象．因此，它们能构成集合，但在这个集合中只有3个元素．
（2）互异性：对于一个给定的集合，它的元素一定是不同的（互异的）。
①集合中的任何两个元素（对象）都是不同的；
②相同的对象归入同一集合。时，只能作为集合的一个元素
例题分析：
1、如果一个书架上有十种不同的书各2本，那么由这个书架上的书组成的集合中含有 个元素。
2、已知关于x的方程x2－（a＋2)x＋b＝0的根组成的集合A中仅有一个元素a，求ab的值。
解：由已知条件可得，方程x2－（a＋2)x＋b＝0有两个相等的实数根，x1=x2=a
由根与系数关系可得：a＋a=a＋2 a=2
a×a=b b=4
ab=8
(3)无序性：集合中的元素没有先后顺序，只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素的排列顺序无关。如果两个集合的元素相同，即使排列的顺序不同，我们都可以说这两个集合相等。
如果 集合A=｛1，2，3｝，集合B=｛2，3，1｝
则 A=B
判定两个集合是否相等，不能只从两个集合的形式上看，应先确定两个集合中的所有元素，若两个集合中的元素完全相同，则这两个集合相等。
3、集合的表示方法——列举法：
将集合中的元素一一列举出来，并用大括号“{ }”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法。
例如：我们可以把“地球上的四大洋”组成的集合表示为：{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}，
把“方程( x-1)( x+2)=0的所有实数根”组成的集合表示为：{1，-2}
例1 用列举法表示下列集合：
（1）大于3小于10的整数组成的集合；
（2）方程 x2-9=0的解的集合.
{4，5，6，7，8，9}
{-3，3}
3、集合的表示方法——描述法：
用描述性语言或数学表达式将集合的所有元素都具有的特征性质（满足的条件）表示出来，通常写成{x︱p(x)}的形式。
表示元素的一般符号及取值（变化）范围
描述元素共同特征的数学表达式
例2 用描述法表示下列集合：
（1）小于10的所有有理数组成的集合；
（2）所有偶数组成的集合.
3、集合的表示方法——Venn图：
用平面内封闭曲线的内部来形象直观地表示集合。
a,b,c…
R
Q
Z
N
3、集合的表示方法——文字叙述法：
Veen图的边界是封闭的曲线，它可以是圆，矩形，也可以是其他的封闭曲线。
如：不等式x-7<3的解集
1~10 之间的所有偶数
我国五大淡水湖
4、元素与集合的关系
若a在集合A中，就说a属于集合A，记作a∈A；
若a不在集合A中，就说a不属于集合A，记作a A。
如：A={a}，A表示含有一个元素a的集合；
a则是集合A的元素。
{a}表示集合，a是元素。
a∈A 或 a∈{a}
用符号“∈”或“ ”填空：
(1) 0____N
(2) 0____N+
(3) (-0.5)0____Z
(4) 3.14____Q
(5) π____Q
(6) 2 ____R
(7) a____{a,b,c}
(8) 3____{1,2,3}
(9) 阿拉善____{中国的直辖市}
(10) 太平洋____{地球的四大洋}
∈
∈
∈
∈


∈
∈

∈
用符号“∈”或“ ”填空：
(1) 2____ {x︱x<π }
3____ {x∈Z︱-5≤x≤2}
(2) 0____ {x︱x2-1=0}
1____ {x︱x2-1=0}
(3) (-1,1)____{y︱y=x2}
(-1,1)____{(x,y)︱y=x2}
(4) 4____ {x︱x=n2+1,n∈Z}
5____ {x︱x=n2+1,n∈Z}
∈
∈
∈
∈




5：集合的分类
③空集：不含有任何元素的集合，记作φ
①有限集：含有限个元素的集合
②无限集：含无限个元素的集合
1、下列指定的对象，能构成一个集合的是（ ）
①很小的数 ②不超过 30的非负实数
③直角坐标平面内横坐标与纵坐标相等的点
④ 的近似值 ⑤高一年级优秀的学生
⑥所有无理数 ⑦大于2的整数
⑧正三角形全体
B
A. ②③④⑥⑦⑧ B. ②③⑥⑦⑧
C. ②③⑥⑦ D. ②③⑤⑥⑦⑧
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[解析]　由题意可知，a＝1或a2＝a，
(1)若a＝1，则a2＝1，这与集合中元素的互异性a2≠1相矛盾，故a≠1.
(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．
综上可知，实数a的值为0.
例3　已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．
达标检测3 已知集合A中仅含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值为 .
[解析]
[解析]
∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意．
若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，实数a的值为0或－1.
0或－1
例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）方程x -2=0的所有实数根组成的集合；
（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合。
解：(1)描述法：A={x｜ x -2=0}。
列举法表示为：A={ ，- }。
(2) 描述法：B={x∈Z｜10列举法表：B={11，12，13，14，15，16，17，18，19}。
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思考1： 与{ }的含义是否相同？
思考2：集合{1，2}与集合{（1，2）}相同吗？
集合 与集合 相同吗？
思考3: 集合 的几何意义如何？
1.集合与元素的概念及关系;
3.集合元素的性质：确定性;互异性;无序性；
2.常用数集及有关符号：
4.集合的表示方法：　
5.集合的分类：