2023年浙江省宁波市松阳县中考数学冲刺试卷(含解析)

2023年浙江省宁波市松阳县中考数学冲刺试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图是某工厂要设计生产一类由五个相同的小立方块搭成的几何体，则它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
2. 在平面直角坐标系中，点落在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 若与互为相反数则的值为( )
A. B. C. D.
4. 计算的结果是( )
A. B. C. D.
5. 节约用水是全社会的共识，小明统计了学校日的用水量，并绘制了如下统计图，对于统计图中的数据，下列说法正确的是( )
A. 平均数是 B. 众数是 C. 中位数是 D. 方差是
6. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压单位：是气体体积单位：的反比例函数，其图象如图所示当气球内的气压大于时，气球将爆炸为了安全起见，气球的体积应( )
A. 不小于 B. 不小于 C. 小于 D. 小于
7. 中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因为传承优秀传统文化，提升文化自信和民族自豪感，某校为各班购进红楼梦和西游记连环画若干套，其中每套红楼梦的价格比每套西游记的价格贵元，用元购买西游记的套数是用元购买红楼梦套数的倍，设每套西游记的价格为元，根据题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
8. 如图，小李身高，在路灯的照射下，影子不全落在地面上小李离路灯的距离，落在地面上影长，留在墙上的影高，则路灯高为( )
A. B. C. D.
9. 如图，在中，是上一点，以为直径的半圆恰好切于点连接，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
10. 如图，平行四边形中，，，，点为对角线，交点，点为延长线上一动点，连接交于点，当∽时，求的长度为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 因式分解： ______ ．
12. 关于的方程解为正数，则实数的取值范围是______ ．
13. 为响应创建全国卫生城市，改善生态环境的号召，某小区将生活垃圾分成四类：厨余垃圾、可回收垃圾、不可回收垃圾、有害垃圾，且设置了除颜色不同，其余均相同的垃圾箱：“厨余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱，“不可回收垃圾”箱，“有害垃圾”箱，分别记为，，，如果将一袋有害垃圾任意投放进垃圾箱，则投放正确的概率是______ ．
14. 在中，，，，是边上的中线如图将绕着点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处，边与边交于点，那么的长是______ ．
15. 课堂上，师生一起探究用圆柱形管子的内径去测量球的半径嘉嘉经过思考找到了测量方法：如图，把球置于圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高，底面内径，球的最高点到瓶底的距离为，则球的半径为______ ．
16. 如图，在边长为的正方形中，点为边的中点，点为边上的动点，以为一边在的右上方作等边三角形，当最小时，的周长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
中华文化源远流长，文学方面，西游记、三国演义、水浒传、红楼梦是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大名著”某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大名著你读完了几部”的问题在八年级共名学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制如图尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解决以下问题：
本次抽样调查中读了两部的学生有______ 人，扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为______ 度；
估计八年级有多少学生读完了“四大名著”？
没有读过四大古典名著的两名学生准备从“四大名著”中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
19. 本小题分
根据河南省教育厅豫教体卫艺号文件河南省中招体育考试改革方案的通知，从年起河南省中招体育考试成绩，由现在的满分分提高到分计入总分某中学为了满足体育课的需要，计划购买一批篮球和足球市场调研得知，购买个篮球和个足球共需元；购买个篮球和个足球共需元．
求篮球和足球的单价；
若学校计划购买篮球和足球共个，且足球购买数量不多于篮球购买数量的经过与商家沟通，篮球可打八折如何购买才能使花费最少？最少的费用为多少元？
20. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
21. 本小题分
如图，是半圆的直径，是半圆上的一点，平分交半圆于点，过点作半圆的切线交于点．
求证：；
请用无刻度的直尺和圆规在备用图图中作出的中点不写作法，保留作图痕迹．
22. 本小题分
下面是小慧同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
直角三角形的两条直角边与它的外接圆截直角平分线所得线段的数量关系
解数学题的关键是寻找解题思路，从熟悉的数学模型人手是寻找解题思路的重要方法之一，在数学学习中注意归纳，总结一些数学模型，对积累解题经验，提高解题能力有重要的促进作用．
问题：如图，是的外接圆，平分交于点，试探究线段，，的之间的数量关系．
探究思路：因为该问题给出了的平分线，所以我们可以利用轴对称变换构造全等三角形来解决这个问题，具体解答过程如下：
如图，过点作，交的延长线于点，作于点，连接，．
，四边形是矩形．
又平分，，，，依据
四边形是正方形．
，，平分，
，．
又，≌，
，
．
探究思路：如图，连接，，则四边形是圆的内接四边形由于圆内接四边形对角互补，并且由图的解答过程可知，所以我们也可以利用旋转变换解决这个问题具体解答过程如下：
延长到点，使得，连接．
结论：直角三角形的两条直角边与它的外接圆截直角平分线所得线段的数量关系是：
任务：画横线部分的“依据”是______ ．
请将“探究思路”的解答过程补充完整．
请用上面探究到的结论解决问题：如图，已知，两点的坐标分别为，，是外接圆上的一点，，则点的坐标为______ ．
23. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，点在点的右侧，抛物线的图象经过，，三点，，，若点以每秒个单位的速度从点出发沿边向点运动，同时点以每秒个单位的速度从点出发沿边向点运动，点在上，，设运动时间为．
求抛物线解析式；
设和的面积和为，当为何值时，最小，并求出的最小值；
若点在抛物线上，当时，在平面内是否存在点，使得以为边、点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
24. 本小题分
菱形中，，为等边三角形，将绕点顺时针旋转，为线段的中点，连接、．
如图，为边上一点点、不重合，则、的关系是______ ，请说明理由．
将旋转至如图所示位置，中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：从上面看易得上面一层有个正方形，下面中间有一个正方形．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
2.【答案】
【解析】解：，，
点在第三象限，
故选：．
根据第三象限中点的坐标特征：横坐标为负数，纵坐标为负数，由此可确定点位置．
本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握平面直角坐标系中各象限点的坐标特点是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
与互为相反数，
．
故选：．
负数的绝对值是它的相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，绝对值，关键是掌握相反数的定义，绝对值的意义．
4.【答案】
【解析】解：
．
故选：．
利用同底数幂的除法的法则进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】
【解析】解：由题意知，
平均数为：，
不存在众数；
中位数为：；
方差为：；
故选：．
根据图中数据分别求出平均数、众数、中位数及方差即可得出结论．
本题主要考查平均数、众数、中位数及方差的概念，熟练掌握平均数、众数、中位数及方差的概念是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：设球内气体的气压和气体体积的关系式为，
图象过点
，
即在第一象限内，随的增大而减小，
当时，．
故选：．
根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，且过点故；故当，可判断．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式．
7.【答案】
【解析】解：设每套西游记的价格为元，则每套红楼梦的价格为元，
根据题意得：，故A正确．
故选：．
设每套西游记的价格为元，则每套红楼梦的价格为元，根据用元购买西游记的套数是用元购买红楼梦套数的倍，列出方程即可．
本题主要考查了列分式方程，解题的关键是根据题目中的等量关系式列出方程．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的应用，中心投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点作，垂足为，延长交于点，由题意得：，，米，米，米，根据垂直定义可得，然后证明字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】
解：过点作，垂足为，延长交于点，
由题意得：，，米，米，米，
，
，
∽，
，
，
米，
米，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：连接，
与相切于，
半径，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，由切线的性质得到，求出，由，得到，由三角形外角的性质即可求出的度数．
本题考查切线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，关键是由切线的性质得到，求出，得到，由三角形外角的性质即可求出度数．
10.【答案】
【解析】解：作于，延长交于，
，
令，，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形是平行四边形，
，
∽，
：：，
：：，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
∽，
：：，
：：，
．
故选：．
作于，延长交于，由锐角的正切在等于求出，的长，由等腰直角三角形的性质得到的长，由平行四边形的性质得到的长，由∽，求出的长，由≌，得到，因此，由∽，得到：：，即可求出的长．
本题考查平行四边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，关键是由∽求出的长，由≌，得到，即可得到的长，由∽，即可求出的长．
11.【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：．
原式提取公因式即可．
此题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，
解得：，
方程解为正数，
，
，
解得：，
故答案为：．
先解一元一次方程可得，然后根据题意可得，从而可得，再按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：将一袋有害垃圾任意投放进垃圾箱有种等可能结果，其中投放正确的只有种结果，
投放正确的概率是．
故答案为：．
直接利用概率公式求解可得答案；
本题考查了概率的知识，掌握概率所求情况数与总情况数之比是关键．
14.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，过点作于，
，，，
，
是边上的中线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
将绕着点逆时针旋转，
，，
，，
，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
故答案为：．
先证，由锐角三角函数可求，的长，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，通过证明∽，可得，可求的长，通过证明∽，由相似三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，连接设．
由题意，，
，
，
则有，
．
故答案为：．
如图，连接设利用勾股定理构建方程求解．
本题考查垂径定理，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16.【答案】
【解析】解：以为一边在正方形内作等边，连接，
过点作于点，过点作于点，

四边形为正方形，且边长为，
，，
点为的中点，
，
和均为等边三角形，，
，，，，
，，，
四边形为矩形，
，，
，
，
即：，
在和中，
，
≌，
，
，
，
当点与点重合时，为最小，
即为最小，最小值为，
在中，，，
，
由勾股定理得：，
，
在中，，，
由勾股定理的：，
，
的周长为：．
即当最小时，的周长为．
故答案为：．
以为一边在正方形内作等边，连接，过点作于点，过点作于点，先证四边形为矩形，再证和全等得，再由得，由此可得出当点与点重合时，为最小，即为最小，最小值为，然后再求出，即可得出当最小时，的周长．
此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握正方形及等边三角形的性质，难点是正确的作出辅助线，构造全等三角形．
17.【答案】解：原式
．
【解析】先将二次根式化简、分别得出零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，然后根据实数的运算法则求得计算结果即可．
本题主要考查二次根式化简、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式化简、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值的化简计算是解决本题的关键．
18.【答案】
【解析】解：本次调查的人数为：人，
读部的学生有：人，
扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为：，
故答案为：，；
人．
估计读完的有人；
西游记三国演义水浒传红楼梦分别用字母、、、表示，
树状图如图所示：
一共有种可能性，其中他们恰好选中同一名著的可能性有种，
故他们恰好选中同一名著的概率是，
即他们恰好选中同一名著的概率是．
根据读部的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后即可得到众数和中位数；
根据统计图中的数据，可以得到扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角的度数；
根据中读部的人数，可以将条形统计图补充完整；
根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到相应的概率．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、中位数和众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，
根据题意得：，
解得，，
篮球的单价为元，足球的单价为元．
设篮球购买个，则足球购买个，费用为元，
根据题意得：，
足球购买数量不多于篮球购买数量的，
，
解得：，
，
随的增大而增大．
当时，最小，此时，
，
答：购买篮球个，足球个，费用最少，最少为元．
【解析】设篮球的单价为元，足球的单价为元，可得：，即可解得篮球的单价为元，足球的单价为元．
设篮球购买个，费用为元．根据足球购买数量不多于篮球购买数量的得：，，而，由一次函数性质即可得到答案．
本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
20.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21.【答案】证明：连接，则，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：如图，点即为所求．
【解析】根据“根据两直线平行，同旁内角互补“进行证明；
根据垂径定理进行作图．
本题考查了复杂作图，掌握平行线的性质和垂径定理是解题的关键．
22.【答案】角平分线上的点到角两边的距离相等
【解析】解：平分，，，
角平分线上的点到角两边的距离相等，
延长到点，使得，连接如图：
四边形是圆的内接四边形，
，
，
是角平分线，
，，
≌，
，，，
是直径，
，
，
，即，
连接，，过点分别作轴，作轴，如图：
，
，
是角平分线，，
，
≌，
，
四边形是正方形，
设，
则，
解得，
，
点的坐标为．
平分，，，，角平分线上的点到角两边的距离相等，
延长到点，使得，连接构造≌，即可得出，再证是等腰直角三角形，即可得出和的关系，即、、的关系．
连接，过点分别作轴，作轴，即可得到≌，从而得到，四边形是正方形，设，列出方程即可求解．
本题考查角平分线的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的性质和判断，及坐标的知识，掌握以上知识是解题关键．
23.【答案】解：如图，过作轴于，
，，
，
，，
，
菱形的边在轴上，
，轴，
，
设抛物线解析式为，
，解得，
抛物线解析式为；
如图，过作轴于，
四边形是菱形，，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
由题意得，，，，
，
，
，
，
当时，最小，的最小值为；
如图，过作轴于，
当时，，，，，
，，，
分别过作，过点作，与抛物线的交点即为点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
联立抛物线得，
解得或，
点的横坐标为或，
，，
点的横坐标为或；
，，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
联立抛物线得，
解得或，
点的横坐标为或，
，，
点的横坐标为或；
综上，存在，点的横坐标为或或或．
【解析】根据菱形的性质以及含角的直角三角形的性质求出点，可得，利用待定系数法即可求解；
过作轴于，证明和∽，根据相似三角形的性质得出的面积，可得，根据二次函数的性质即可得的最小值；
过作轴于，则，分别过作，过点作，与抛物线的交点即为点，求出直线的解析式，联立抛物线可得方程，解方程求出点的横坐标，根据矩形的性质即可得点的横坐标．
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、矩形的性质，两直线平行问题，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
24.【答案】
【解析】解：如图，
延长交于，
是等边三角形，
，，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
即，
平分，，
，
，
故答案为：，；
如图，
中的结论仍然成立，理由如下：
延长至，使，连接，交于，
在和中，
，
≌，
，，，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
．
延长交于，证明≌，进一步得出结论；
延长至，使，连接，交于，≌，进而证明≌，进一步得出结论．
本题考查了等边三角形性质，菱形性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，解决问题的关键是熟练掌握“倍长中线”等模型．
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