专题7 认识一元二次方程【八大题型分类归纳】2023-2024学年北师大版数学九年级上册·重点题型全归纳（含解析）

2023-2024学年北师大版数学九年级上册·重点题型全归纳
专题7 认识一元二次方程【八大题型分类归纳】
思维导图：
考点1：一元二次方程的概念
1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
2．下列方程中，是一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
3．下列方程中，关于的一元二次方程是　　
A． B． C． D．
考点2：一元二次方程的一般形式
4．关于的一元二次方程的一次项系数是　　
A．1 B．2 C． D．
5．在一元二次方程中，常数项为　　
A．2 B． C．5 D．
6．关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是　　
A．1，， B．，， C．1，，1 D．1，5，1
7．把一元二次方程化成一般形式，正确的是　　
A． B． C． D．
8．关于的一元二次方程的常数项是0，则的值　　
A．1 B．1或2 C．2 D．
9．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是　　
A．1，4，5 B．0，， C．1，，5 D．1，，
考点3：根据一元二次方程的概念确定参数
10．关于的方程是一元二次方程，则　　
A． B． C． D．
11．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
12．若关于的方程是一元二次方程，则的值是　　
A． B． C． D．
考点4：一元二次方程的解
13．关于的一元二次方程的一个根是，则的值为　　
A．3 B．1 C． D．
14．若是方程的根，则的值为　　
A． B． C． D．
15．若关于的方程有一个解是，则的值是　　
A． B．0 C．1 D．2
考点5：根据一元二次方程的解整体代换
16．已知为一元二次方程的一个解，则值为　　
A． B． C． D．
17．是关于的一元二次方程的解，则　　
A． B． C．4 D．
18．若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是　　
A．2016 B．2020 C．2025 D．2026
考点6：试根法和利用整体未知数求解方程
19．已知是方程的一个根，则代数式的值是　　
A．6 B．5 C． D．
20．关于的方程，其中，，满足和．则该方程的根是　　
A．1，2 B．1， C．，2 D．，
21．若的一个解为，则的值为　　
A．5 B． C． D．
考点7：复杂的一元二次方程的解的求值
22．若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为　　
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
23．若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的两根分别是　　
A．， B．， C．， D．，
24．已知关于的方程．
（1）为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）为何值时，此方程是一元二次方程？
25．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）判断一元二次方程是否为黄金方程，并说明理由．
（2）已知是关于的黄金方程，若是此黄金方程的一个根，求的值．
26．如图，点与点表示的数分别为1和3，宸宸同学在数轴上以为直角顶点作，，再以为圆心，为半径画圆，交数轴于、两点，莲莲同学说，若、分别表示和，我发现是一元二次方程的一个根，琮琮说一定不是此方程的根．
（1）写出与表示的数
（2）求出的值
（3）你认为琮琮说的对吗？为什么？
27．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．
（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
考点8：一元二次方程的解的估算
28．根据下列表格的对应值：
1 1.1 1.2 1.3
0.84 2.29
由此可判断方程必有一个根满足　　
A． B． C． D．
2023-2024学年北师大版数学九年级上册·重点题型全归纳
专题7 认识一元二次方程【八大题型分类归纳】
考点1：一元二次方程的概念
1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项错误；
、当时，该方程不是关于的一元二次方程，故本选项错误；
、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
、该方程中含有两个未知数，不属于一元二次方程，故本选项错误；
故选：．
2．下列方程中，是一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
．该方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
．该方程是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：．
3．下列方程中，关于的一元二次方程是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：．方程是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意，
．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意，
．方程是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意，
．方程是一元二次方程，故本选项符合题意，
故选：．
考点2：一元二次方程的一般形式
4．关于的一元二次方程的一次项系数是　　
A．1 B．2 C． D．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的一般形式找出一次项系数即可．
【解答】解：关于的一元二次方程的一次项系数是，
故选：．
5．在一元二次方程中，常数项为　　
A．2 B． C．5 D．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的一般形式得出答案即可．
【解答】解：一元二次方程中，常数项为，
故选：．
6．关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是　　
A．1，， B．，， C．1，，1 D．1，5，1
【答案】
【分析】首先将原方程化为一般式，然后由一般式即可求得一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．
【解答】解：由原方程得到：，则该方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，，1．
故选：．
7．把一元二次方程化成一般形式，正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据一元二次方程，，是常数且的一般形式，、、分别是二次项系数、一次项系数、常数项，可得答案．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
8．关于的一元二次方程的常数项是0，则的值　　
A．1 B．1或2 C．2 D．
【分析】一元二次方程，，是常数且中、、分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【解答】解：由题意，得
且，
解得，
故选：．
9．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是　　
A．1，4，5 B．0，， C．1，，5 D．1，，
【答案】
【分析】一元二次方程的一般形式为：，其中称为二次项，为二次项系数，称为一次项，为一次项系数，为常数项，根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可．
【解答】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，，，故正确．
故选：．
考点3：根据一元二次方程的概念确定参数
10．关于的方程是一元二次方程，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：根据题意得：，
解得：．
故选：．
11．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】直接利用只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，进而得出答案．
【解答】解：关于的方程是一元二次方程，
，
解得：．
故选：．
12．若关于的方程是一元二次方程，则的值是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可．
【解答】解：关于的方程是一元二次方程，
且，
解得：，
故选：．
考点4：一元二次方程的解
13．关于的一元二次方程的一个根是，则的值为　　
A．3 B．1 C． D．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把代入方程得，然后解关于的一次方程即可．
【解答】解：把代入得，解得．
故选：．
14．若是方程的根，则的值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】把代入原方程得到，然后解一次方程即可．
【解答】解：把代入方程得，
解得．
故选：．
15．若关于的方程有一个解是，则的值是　　
A． B．0 C．1 D．2
【答案】
【分析】把代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可．
【解答】解：把代入方程得，
解得．
故选：．
考点5：根据一元二次方程的解整体代换
16．已知为一元二次方程的一个解，则值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用一元二次方程的解，可得出，再将其代入中，即可求出结论．
【解答】解：为一元二次方程的一个解，
，
，
．
故选：．
17．是关于的一元二次方程的解，则　　
A． B． C．4 D．
【答案】
【分析】根据题意可得：把代入方程中得：，从而可得，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：把代入方程中得：
，
解得：，
，
故选：．
18．若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是　　
A．2016 B．2020 C．2025 D．2026
【答案】
【分析】利用一元二次方程解的定义得到，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把代入方程得，
所以，
所以．
故选：．
考点6：试根法和利用整体未知数求解方程
19．已知是方程的一个根，则代数式的值是　　
A．6 B．5 C． D．
【答案】
【分析】根据方程的根的定义，把代入方程求出的值，然后整体代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：是方程的一个根，
，
整理得，，
．
故选：．
20．关于的方程，其中，，满足和．则该方程的根是　　
A．1，2 B．1， C．，2 D．，
【答案】
【分析】把，，，代入代入，整理后即可得出答案．
【解答】解：①把代入得：，
整理得：，
②把代入得：，
整理得：，
③把代入得：，
整理得：，
④把代入得：，
整理得：，
所以方程的根是1和，
故选：．
21．若的一个解为，则的值为　　
A．5 B． C． D．
【答案】
【分析】首先根据的一个解为得到，从而得到，然后整体代入即可求解．
【解答】解：的一个解为，
，
，
，
故选：．
考点7：复杂的一元二次方程的解的求值
22．若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为　　
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】
【分析】把化为：再结合题意可得，从而可得方程的解．
【解答】解：可化为：
关于的一元二次方程有一个根为，
把看作是整体未知数，则，
，
即有一根为．
故选：．
23．若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的两根分别是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】设关于的一元二次方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，所以，再把方程看作关于的一元二次方程，则或，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：设关于的一元二次方程的另一个根为，
根据根与系数的关系得，
解得，
即关于的一元二次方程的根为，，
把方程看作关于的一元二次方程，
所以或，
解得，．
故选：．
24．已知关于的方程．
（1）为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）为何值时，此方程是一元二次方程？
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由一元一次方程的定义得到：，由此可求得的值；
（2）根据一元二次方程的定义得到：，由此可求得的值．
【解答】解：（1）关于的方程是一元一次方程，
，
解得；
（2）关于的方程是一元二次方程，
，
解得．
25．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）判断一元二次方程是否为黄金方程，并说明理由．
（2）已知是关于的黄金方程，若是此黄金方程的一个根，求的值．
【答案】（1）一元二次方程是黄金方程，理由见解析；
（2）或．
【分析】（1）根据黄金方程的定义进行求解即可；
（2）根据黄金方程的定义得到，则原方程为，再由是此黄金方程的一个根，得到，解方程即可．
【解答】解：（1）一元二次方程是黄金方程，理由如下：
由题意得，，，，
，
一元二次方程是黄金方程；
（2）是关于的黄金方程，
，
，
原方程为，
是此黄金方程的一个根，
，即，
，
解得或．
26．如图，点与点表示的数分别为1和3，宸宸同学在数轴上以为直角顶点作，，再以为圆心，为半径画圆，交数轴于、两点，莲莲同学说，若、分别表示和，我发现是一元二次方程的一个根，琮琮说一定不是此方程的根．
（1）写出与表示的数
（2）求出的值
（3）你认为琮琮说的对吗？为什么？
【答案】（1），；
（2）；
（3）琮琮说得不对．
【分析】（1）先利用勾股定理计算出，则，，然后表示出点、表示的数，从而得到、的值；
（2）把代入方程得，然后解关于的方程即可；
（3）把代入方程得，所以可判断一定是此方程的根，原式可判断琮琮说得不对．
【解答】解：（1）在中，，，
，
，
，
，，
点表示的数为，即，
点表示的数为，即；
（2）把代入方程得，
解得，
即的值为；
（3）琮琮说得不对．
理由如下：
把代入方程得，
所以一定是此方程的根．
27．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．
（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【答案】（1）等腰三角形；
（2），．
【分析】（1）把代入方程得，整理后根据等腰三角形的判定判断即可；
（2）根据等边三角形的性质得出，代入方程，即可得出，再解方程即可．
【解答】解：（1）是等腰三角形，
理由是：把代入方程得：，
，
，
的形状是等腰三角形；
（2）是等边三角形，
，
，
，
即，
解得：，，
即这个一元二次方程的根是，．
考点8：一元二次方程的解的估算
28．根据下列表格的对应值：
1 1.1 1.2 1.3
0.84 2.29
由此可判断方程必有一个根满足　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个根满足．
【解答】解：时，，
时，，
时，，
即方程必有一个解满足，
故选：．