专题9 用因式分解法解一元二次方程【六大题型分类归纳】2023-2024学年北师大版数学九年级上册·重点题型全归纳（含解析）

2023-2024学年北师大版数学九年级上册·重点题型全归纳
专题9 用因式分解法解一元二次方程【六大题型分类归纳】
思维导图：
考点1：因式分解法解一元二次方程
1．解方程最适当的方法是　　
A．直接开方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法
2．方程的两个根为　　
A．， B．， C．， D．，
3．方程的两个根是　　
A．， B．， C．， D．，
4．一元二次方程的解是　　
A． B． C．， D．，
5．方程的解是　　
A． B． C．； D．；
6．一元二次方程的解为　　
A． B． C． D．
7．一元二次方程的解是　　
A． B． C．， D．，
8．一元二次方程的根为　　
A． B．
C．， D．，
9．方程的解是　　
A． B． C．， D．，
10．一元二次方程的解是　　
A．， B．， C．， D．，
考点2：因式分解法解一元二次方程易错题
11．方程的解是　　
A． B． C．， D．，
12．用因式分解法解下列方程，变形正确的是　　
A．，可得或
B．，可得或
C．，可得或
D．，可得
13．下列各数：，，，3，4，6，其中是一元二次方程的解是　　
A．，6 B．，4 C．3，4 D．，3
14．一元二次方程的根是　　
A． B．0 C．1和2 D．和2
15．已知三角形两边长分别为5和9，第三边长是方程的根，则第三边长是　　
A．1 B．6 C．8 D．9
三．考点3：因式分解法解一元二次方程的应用
16．在正数范围内定义运算“※”，其规则为※，则方程※的解是　　
A． B． C．， D．，
17．老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解一元二次方程，规则是：每人只能看到前一人计算的结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后得到方程的解．部分过程如图所示，接力中，谁负责的一步开始出现错误　　
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
18．方程的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个三角形的周长是　　
A．12 B．15 C．12或15 D．18或9
19．关于的方程，下列解法完全正确的是　　
A．两边同时除以得
B．整理得，，，，，
C．整理得，配方得，，，，
D．移项得：，或，，
20．已知一个直角三角形的两边长是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长为　　
A．3 B． C．3或 D．5或
21．已知直线的图象如图所示，则关于的方程的根是　　
A．1，5 B．2，3 C．1， D．1，
22．一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的底边和腰长，则这个等腰三角形周长是　　
A．16 B．20 C．16或20 D．30
考点4：换元法
23．我们知道方程的解是，，现给出另一个一元二次方程，它的解是　　
A．， B．， C．， D．，
24．解方程：．
考点5：分类讨论思想
25．一元二次方程两实根都是整数，则满足上述条件的非负整数有　　
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
26．关于的一元二次方程的两实根都是整数，则整数的取值可以有　　
A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个
考点6：创新题型
27．定义一种新运算： ，※，则方程※ 的解是　　
A．， B．， C．， D．，
28．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体相对两个面上的数相同，且不相对两个面上的数值不相同，则“★”面上的数为　　
A．1 B．1或2 C．2 D．2或3
29．如图，“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一，从图中取一列数1，3，6，10，，记，，，，，那么，则的值是　　
A．13 B．10 C．8 D．7
30．已知一元二次方程的一个根与方程的一个根互为相反数，那么的根是　　
A．0， B．0， C．，2 D．1，
2023-2024学年北师大版数学九年级上册·重点题型全归纳
专题9 用因式分解法解一元二次方程【六大题型分类归纳】
考点1：因式分解法解一元二次方程
1．解方程最适当的方法是　　
A．直接开方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法
【分析】方程移项得到，利用提公因式分解即可得到，则或，解一元一次方程即可．
【解答】解：（此题用分解因式法最适当）
移项得，，
，
或，
，．
故选：．
2．方程的两个根为　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：，
，
或，
所以，．
故选：．
3．方程的两个根是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】根据已知方程得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：
，
或，
解得，，
故选：．
4．一元二次方程的解是　　
A． B． C．， D．，
【答案】
【分析】通过对进行因式分解即可解答．
【解答】解：，
，
或，
，．
故选：．
5．方程的解是　　
A． B． C．； D．；
【答案】
【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：，
，
或，
所以，，
故选：．
6．一元二次方程的解为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：，
，
，
或，
所以，．
故选：．
7．一元二次方程的解是　　
A． B． C．， D．，
【答案】
【分析】利用因式分解法直接解方程即可．
【解答】解：，
可得或，
解得：，．
故选：．
8．一元二次方程的根为　　
A． B．
C．， D．，
【答案】
【分析】先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：，
，
，
或，
所以，．
故选：．
9．方程的解是　　
A． B． C．， D．，
【答案】
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：，
，
，
或，
，，
故选：．
10．一元二次方程的解是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】利用因式分解法解答，即可求解．
【解答】解：，
，
或，
，．
故选：．
考点2：因式分解法解一元二次方程易错题
11．方程的解是　　
A． B． C．， D．，
【答案】
【分析】利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
，，
故选：．
12．用因式分解法解下列方程，变形正确的是　　
A．，可得或
B．，可得或
C．，可得或
D．，可得
【答案】
【分析】利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：、，
整理得：，
，
，
，
或，
故不符合题意；
、，可得或，故符合题意；
、，
整理得：，
，
或，
故不符合题意；
、，可得或，故不符合题意；
故选：．
13．下列各数：，，，3，4，6，其中是一元二次方程的解是　　
A．，6 B．，4 C．3，4 D．，3
【答案】
【分析】利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
或，
，，
故选：．
14．一元二次方程的根是　　
A． B．0 C．1和2 D．和2
【答案】
【分析】利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
或，
，，
故选：．
15．已知三角形两边长分别为5和9，第三边长是方程的根，则第三边长是　　
A．1 B．6 C．8 D．9
【答案】
【分析】先利用解一元二次方程因式分解法求出，，然后再利用三角形三边关系，逐一判断即可解答．
【解答】解：，
，
或，
，，
当时，
，
不能组成三角形；
当时，
，
能组成三角形；
综上所述：第三边长是8，
故选：．
三．考点3：因式分解法解一元二次方程的应用
16．在正数范围内定义运算“※”，其规则为※，则方程※的解是　　
A． B． C．， D．，
【分析】根据已知得出，求出方程的解即可．
【解答】解：※，
即，
，
，
，，
，，
在正数范围内定义运算“※”，
．
故选：．
17．老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解一元二次方程，规则是：每人只能看到前一人计算的结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后得到方程的解．部分过程如图所示，接力中，谁负责的一步开始出现错误　　
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】
【分析】甲在进行计算时，方程两边同除，导致方程少了一个解，可得选项．
【解答】解：甲在解方程时，方程两边同除，导致少了一个解，
所以从甲开始就错了．
正确的解法为：移项得，分解因式得，
解之得或，
故选：．
18．方程的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个三角形的周长是　　
A．12 B．15 C．12或15 D．18或9
【答案】
【分析】利用因式分解法解方程得到，，再根据三角形三边的关系得等腰三角形的底为3，腰为6，然后计算三角形的周长．
【解答】解：，
，
所以，，
所以等腰三角形的底为3，腰为6，这个等腰三角形的周长为．
故选：．
19．关于的方程，下列解法完全正确的是　　
A．两边同时除以得
B．整理得，，，，，
C．整理得，配方得，，，，
D．移项得：，或，，
【答案】
【分析】方程右边整体移到左边，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：．不符合解一元二次方程的方法；故错误，不符合题意；
．不是，故错误，不符合题意；
．配方时，等式两边应该加4，故错误，不符合题意；
．，
，
，
或，
，．故正确，符合题意；
故选：．
20．已知一个直角三角形的两边长是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长为　　
A．3 B． C．3或 D．5或
【答案】
【分析】利用因式分解法解方程求出的值，再分情况讨论求解即可．
【解答】解：，
，
则或，
解得，，
若4、5均为直角边长度，则斜边长度为，
若4、5有一边是斜边长度，则斜边长度为5，
故选：．
21．已知直线的图象如图所示，则关于的方程的根是　　
A．1，5 B．2，3 C．1， D．1，
【答案】
【分析】利用待定系数法求得、的值，即可得到关于的方程为，利用因式分解法求解即可求得方程的解为1或．
【解答】解：由图象可知直线经过点，，
，
解得，
关于的方程为，
，
，
解得或，
故选：．
22．一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的底边和腰长，则这个等腰三角形周长是　　
A．16 B．20 C．16或20 D．30
【答案】
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理列出不等式，确定是否符合题意．
【解答】解：解方程，得，，
当8为腰，4为底时，，能构成等腰三角形，周长为；
当4为腰，8为底时，，不能构成等腰三角形．
故选：．
考点4：换元法（共2小题）
23．我们知道方程的解是，，现给出另一个一元二次方程，它的解是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】根据一元二次方程的解的定义，可得或，解方程即可求解．
【解答】解：方程的解是，，
，
或，
解得，，
故选：．
24．解方程：．
【答案】，．
【分析】设，则，可得，再利用因式分解法可得，，再代入，即可求解．
【解答】解：设，则，
，即，
解得：，，
或，
解得：，，
原方程的解为，．
考点5：分类讨论思想（共2小题）
25．一元二次方程两实根都是整数，则满足上述条件的非负整数有　　
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】求得和为4，积为的所有非负整数解，也就求得了的个数．
【解答】解：，，，
或或，
或3或4．
故选：．
26．关于的一元二次方程的两实根都是整数，则整数的取值可以有　　
A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个
【答案】
【分析】求得和为，积为的所有整数解，也就求得了的个数．
【解答】解：；；；；；；
或或或或；或；或．
故选：．
考点6：创新题型（共4小题）
27．定义一种新运算： ，※，则方程※ 的解是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】根据新定义把原方程变形，化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：原方程变形为：，
整理得：，
因式分解，得，
解得：，，
故选：．
28．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体相对两个面上的数相同，且不相对两个面上的数值不相同，则“★”面上的数为　　
A．1 B．1或2 C．2 D．2或3
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点可得：面“”与面“”相对，面“★”与面“”相对；再由题意可列方程求的值，从而求解．
【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“”与面“”相对，面“★”与面“”相对．
因为相对两个面上的数相同，所以，解得或，
又因为不相对两个面上的数值不相同，当时，，，
，不符合题意，
只能为1，即★．
故选：．
29．如图，“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一，从图中取一列数1，3，6，10，，记，，，，，那么，则的值是　　
A．13 B．10 C．8 D．7
【分析】由已知数列得出，再求出、、的值，代入计算可得．
【解答】解：由，，，，，知，
、、，
则，
可得：，
解得：，
故选：．
30．已知一元二次方程的一个根与方程的一个根互为相反数，那么的根是　　
A．0， B．0， C．，2 D．1，
【答案】
【分析】根据一元二次方程的一个根与方程的一个根互为相反数，可得关于的方程，解方程可求的值，将的值代入方程求解即可．
【解答】解：一元二次方程的一个根与方程的一个根互为相反数，
，
，
解得（舍去），，
把代入得，
解得，．
故选：．